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机械工程控制基础第二章习题答案 第二章 系统的数学模型 第 2 讲 2.1 什么是线性系统,其最重要的特性是什么?什么是线性系统,其最重要的特性是什么? 答:线性系统:系统的运动状态可以用线性微分方程来表示。线性系统有一个重要的特性即 满足叠加原理: = +=+ )()(: )()()(: 2121 xafaxf xfxfxxf 齐次性 可加性 2.2(b)、对图(b)所示系统,由牛顿定律有 )()()( tymtyktf? ?= 其中 21 21 kk kk k + =,所以+ )(ty m? ? 21 21 kk kk + )(ty = )(tf 2.3(b) 图(题 2.3)中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程,图中 表示输入位移,表示输入位移,假设输出端无负载效应。 i x 0 x 解: (2)对图(b)所示系统,引入一中间变量 x ,并由牛顿定律有 )()( )( 01 020 xxckxx xkxxc i ? ? = = 消除中间变量有: i xckxkkxkkc? 1021021 )(=+ 2.4 解:解: (1)对图(a)所示系统,设为流过的电流,i为总电流,则有 1 i 1 R = = += dtii C uu iRuu idt C iRu i i )( 1 1 1 1 0 110 2 20 消除中间变量,并化简有: iii u RC u C C R R uRCu RC u C C R R uRC 122 1 1 2 210 12 0 1 1 2 021 1 )( 1 ) 2 1 (+=+? ? ? (2)对图()对图(b)所示系统,设 为电流,有:)所示系统,设 为电流,有: i += += iRidt C u idt C iRuui 2 2 0 1 10 1 1 消除中间变量,并化简有: ii u C uRu CC uRR 2 20 1 021 1 ) 2 11 ()(+=+? 第 3 讲 1、传递函数的定义 答:系统的传递函数记作,其定义为:在零初始条件下,系统输出的拉氏变换与引起 该输出的输入量的拉氏变换之比。它是以复变数 s 为自变量的函数。 )(sG 2、传递函数特点: 答: 作为复数域中的系统数学模型, 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述 系统的固有特性。 传递函数的分母反映了系统的结构与参数所决定的系统的固有特性, 而其 分子则反映了系统与外界之间的联系; 当系统的初始状态为零时, 对于给定的输入, 系统输出的拉氏变换完全取决于其传递函数。 一旦系统的初始状态不为零,则传递函数不能完全反映系统的动态历程; 传递函数分子中 s 的阶次不会大于分母 s 的阶次; 传递函数有无量纲和取何种量纲,取决于系统输出的量纲与输入的量纲; 不同用途、不同物理元件组成的不同类型系统、环节或元件,可具有相同的传递函数。 传递函数非常适用于对单输入、单输出线性定常系统的动态特性进行描述。但对多输入、 多输出系统,需对不同的输入量和输出量分别求传递函数。另外,系统传递函数只表示系统 输入量和输出量的数学关系, 即只描述系统的外部特性, 而未表示系统中间变量之间的关系, 即描述系统的内部特性。针对这个局限性,在现代控制理论中,往往采用状态空间描述法对 系统的动态特性进行描述。 3、传递函数的零、极对系统性能的影响: 答:传递函数的零、极点分布影响系统的动态性能。一般极点影响系统的稳定性,零点影响 系统的瞬态响应曲线的形状,即影响系统的瞬态性能。其中: 极点位置决定系统是否稳定; 零点对系统的稳定性没有影响,但它对瞬态响应曲线的形状有影响。 第 4 讲 1、微分环节的控制作用有哪些? 答:使输出提前;增加系统的阻尼;在强化激励作用的同时也强化了噪声的作用 2、熟悉常见典型环节类型及其传递函数。 答: 略 第 5 讲 2.5、解:已知图中 M 为输入转矩,为圆周阻尼,J 为转动惯量。 m C 设系统输入为 M=M(t),输出为=(t),分别对圆盘和质块进行动力学分析,列写动力学方 程如下: += += xcxmxRk xRRkCJM m ? ? ? ? )( )( 消除中间变量,并化简有: kMMcMmCcRkkJcCkmRcJmCmJ mmm +=+ ? ? ? ? ? )()()( 22)4( 2.6(4)解:)(4)( 1 4)(6)(3)( 2 sRsY s sYssYsYs=+, 所以:)463(4)()( 23 +=sssssRsY 2.7 解:由传递函数的定义,有:ssXi1)(=, 1 2 2 11 )( + + + = sss sY 所以 23 262 )( )( 2 2 + + = ss ss iX sY 2.8、输出与输入的关系为: )(ty)(tx)(5 . 0)(2)( 3 txtxty+= 解: (a)将分别代入中,可得当工作点为 时相应的稳态输出值分别为 2, 1, 0 000 =xxx)(5 . 0)(2)( 3 txtxty+= 2, 1, 0 000 =xxx8, 5 . 2, 0 000 =yyy (b)根据非线性系统线性化的方法有,在工作点附近,将非线性函数展开成 泰勒级数,并略去高阶项得: ),( 00 yx xxxxyy xx +=+ = 0 )5 . 12(5 . 02 23 000 xxy xx += = 0 )5 . 12( 2 。若令yyxx=,有 当工作点为时, 0 0 =xxxxy2)5 . 12( 2 0 =+= 当工作点为时, 1 0 =xxxxy5 . 3)5 . 12( 2 0 =+= 当工作点为2 0 =x时, xxxy8)5 . 12( 2 0 =+= 2.11 解 对题 2.4(a)系统,可列出相应方程: m k 图(题 2.5)m C M R J x c = = += ) 3()( 1 )2( ) 1 ( 1 1 1 0 110 2 20 dtii c uu iRuu idt c iRu i i 对以上三式做 Laplace 变换,并注意到初始条件为零,即 I(0)= 0)0(=I?0)0()0( 11 = II ? 则 = = +=+= )6( )()( )()( )5()()()( )4()() 1 ( )( )()( 1 1 1 0 110 2 2 2 20 sC sI sC sI sUsU sIRsUsU sI sC R sC sI sIRsU i i (5) sC1 1 得: sC1 1 =)()( 0 sUsUi)7()( 1 1 1 sI sC R (6)得:= 1 R 1 R)()( 0 sUsUi)( 1 1 sI sC R )8()( 1 1 1 sI sC R (7)+(8)得:( sC1 1 +)= 1 R)()( 0 sUsUi)( 1 1 sI sC R 即=)()( 0 sUsUi sC R 1 1 )( 1 11 1 sI sCR sC + =)( 1 11 1 sI sCR R + 则有+)()( 0 sUsUi=)9()( 1 11 1 sI sCR R + 将(4)式中的代入(9)式得: )( 0 sU )(sUi=( sC2 1 +)I(s)+ 2 R)( 1 11 1 sI sCR R + =( sC2 1 + 2 R sCR R 11 1 1+ ) I(s) 再用(4)式与上式相比以消去 I(s), 即得电系统的传递函数为: G(s)= I(s) ) sCR1 R + R+ sC 1 ( )I(s) sC 1 + (R 11 1 2 2 2 2 0 + = sU sU i = sCR1 R + R+ sC 1 sC 1 + R 11 1 2 2 2 2 + 本题中,引入中间变量 x , 依动力学知识有: = =+ xkcxx cxxcxxkxx ii 110 102020 )( )()()( ? ? 对上二式分别进行拉氏变换有: + = =+ sck ssXc sX scsXsXsXsXscsXsXk ii 11 01 100202 )( )( )()()()()()( 消除有:)(sX s k c c s k c s k c sck sck sck sck sX sX sG i 1 1 12 2 2 2 11 11 22 220 1 )( )( )( + + + = + + + = 比较两系统的传递函数有: 22 1 ck , 11 1 ck , 22 Rc , 11 Rc 故两个系统有相似的传递函数,为相似系统。 2.14、系统传递函数方框图如下: 解: (1)以为输入。当)(sR0)(=sN时: 以为输出时有:)(sC )()()(1 )()( )( )( 21 21 sHsGsG sGsG sR sC GC + = 以为输出时有:)(sY )()()(1 )( )( )( 21 1 sHsGsG sG sR sY GY + = 以为输出时有:)(sB )()()(1 )()()( )( )( 21 21 sHsGsG sHsGsG sR sB GB + = 以为输出时有:)(sE )()()(1 1 )( )( 21 sHsGsGsR sE GE + = (2)以为输入。当)(sN0)(=sR时: 以为输出时有:)(sC )()()(1 )( )( )( 21 2 sHsGsG sG sR sC GC + = )( 1 sG )(sH )(sE )(sC )(sR - )(sB )( 2 sG )(sN )(sY 图(题 2.14) 以为输出时有:)(sY )()()(1 )()()( )( )( 21 21 sHsGsG sHsGsG sR sY GY + = 以为输出时有:)(sB )()()(1 )()( )( )( 21 2 sHsGsG sHsG sR sB GB + = 以为输出时有:)(sE )()()(1 )()( )( )( 21 2 sHsGsG sHsG sR sE GE + = 2.15、 已知某系统的传递函数方框图如下图所示, 其中为输入,为输出, 为干扰,试求为何值时,系统可以消除干扰的影响。 )(sXi)(sXo)(sN )(sG )(sN 解:只须求出当输入时,系统在干扰作用下,输出为零时的即可。 0)(=sXi)(sG 法一:输入0)(=sXi时,系统只在干扰作用下的方框图如下: 可移动相加点如下: 321 2 3 KKKsTs sK + )(sN 4 21 )( K s sGKK )(sXo 1 K )(sN s K2 4 K - )(sG )(sXo 1 3 +Ts K 1 K s K2 - 1 K )(sXo - 1 3 +Ts K )(sN s K2 4 K - )(sG 1 K )(sXo )(sXi - 1 3 +Ts K 4 K s K2- )(sG 图(题 2.15) 得系统在干扰作用下传递函数为: 321 2 21 4 321 )( )( KKKsTs s KK K sGKKK sGN + =。 显然当s KK K sG 21 4 )(=时,由干扰作用引起的输出为零,即系统可消除干扰的影响。 法二、利用线性系统的叠加原理 1 K )(sXo - 1 3 +Ts K )(sN s K2 4 K - )(sG )(sN 当输入时,系统在干扰作用下,输出传递函数为: 0)(=sXi )()()()()()( 241 sGKsNsGsGsNsX BBoN +=,其中: 321 2 321 32 1 32 1 1 1 1 1 )( KKKsTs KKK Ts K s K K Ts K s K K sG B + = + + + =, 321 2 3 32 1 3 2 1 1 1 )( KKKsTs sK Ts K s K K Ts K sG B + = + + + =,得: )( )( )( 321 2 21 4 321 sN KKKsTs s KK K sGKKK sXoN + =,结论与法一同。 2.17、求下图所示系统传递函数。 )(sXo)(sXi - 图(题 2.17) 3 G 1 G 2 G 2 H 3 H 1 H 4 G 得: 2132134321 4321 )(1)( )( )( HHGGGHGGGG GGGG sX sX sG i O B + + = 2.18、求下图所示系统传递函数。 得: 2325

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