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机械工程控制基础第二章习题答案 第二章 系统的数学模型 第 2 讲 2.1 什么是线性系统，其最重要的特性是什么？什么是线性系统，其最重要的特性是什么？ 答：线性系统：系统的运动状态可以用线性微分方程来表示。线性系统有一个重要的特性即 满足叠加原理： = +=+ )()(: )()()(: 2121 xafaxf xfxfxxf 齐次性 可加性 2.2(b)、对图(b)所示系统,由牛顿定律有 )()()( tymtyktf? ?= 其中 21 21 kk kk k + =，所以+ )(ty m? ? 21 21 kk kk + )(ty = )(tf 2.3（b） 图(题 2.3)中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中 表示输入位移，表示输入位移，假设输出端无负载效应。 i x 0 x 解： （2）对图（b）所示系统，引入一中间变量 x ,并由牛顿定律有 )()( )( 01 020 xxckxx xkxxc i ? ? = = 消除中间变量有： i xckxkkxkkc? 1021021 )(=+ 2.4 解：解： （1）对图（a）所示系统，设为流过的电流，i为总电流，则有 1 i 1 R = = += dtii C uu iRuu idt C iRu i i )( 1 1 1 1 0 110 2 20 消除中间变量，并化简有： iii u RC u C C R R uRCu RC u C C R R uRC 122 1 1 2 210 12 0 1 1 2 021 1 )( 1 ) 2 1 (+=+? ? ? （2）对图（）对图（b）所示系统，设 为电流，有：）所示系统，设 为电流，有： i += += iRidt C u idt C iRuui 2 2 0 1 10 1 1 消除中间变量，并化简有： ii u C uRu CC uRR 2 20 1 021 1 ) 2 11 ()(+=+? 第 3 讲 1、传递函数的定义 答：系统的传递函数记作，其定义为：在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与引起 该输出的输入量的拉氏变换之比。它是以复变数 s 为自变量的函数。 )(sG 2、传递函数特点： 答： 作为复数域中的系统数学模型， 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述 系统的固有特性。 传递函数的分母反映了系统的结构与参数所决定的系统的固有特性， 而其 分子则反映了系统与外界之间的联系； 当系统的初始状态为零时， 对于给定的输入， 系统输出的拉氏变换完全取决于其传递函数。 一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程； 传递函数分子中 s 的阶次不会大于分母 s 的阶次； 传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲； 不同用途、不同物理元件组成的不同类型系统、环节或元件，可具有相同的传递函数。 传递函数非常适用于对单输入、单输出线性定常系统的动态特性进行描述。但对多输入、 多输出系统，需对不同的输入量和输出量分别求传递函数。另外，系统传递函数只表示系统 输入量和输出量的数学关系， 即只描述系统的外部特性， 而未表示系统中间变量之间的关系， 即描述系统的内部特性。针对这个局限性，在现代控制理论中，往往采用状态空间描述法对 系统的动态特性进行描述。 3、传递函数的零、极对系统性能的影响： 答：传递函数的零、极点分布影响系统的动态性能。一般极点影响系统的稳定性，零点影响 系统的瞬态响应曲线的形状，即影响系统的瞬态性能。其中： 极点位置决定系统是否稳定； 零点对系统的稳定性没有影响，但它对瞬态响应曲线的形状有影响。 第 4 讲 1、微分环节的控制作用有哪些？ 答：使输出提前；增加系统的阻尼；在强化激励作用的同时也强化了噪声的作用 2、熟悉常见典型环节类型及其传递函数。 答： 略 第 5 讲 2.5、解：已知图中 M 为输入转矩，为圆周阻尼，J 为转动惯量。 m C 设系统输入为 M=M(t)，输出为=(t)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方 程如下： += += xcxmxRk xRRkCJM m ? ? ? ? )( )( 消除中间变量，并化简有： kMMcMmCcRkkJcCkmRcJmCmJ mmm +=+ ? ? ? ? ? )()()( 22)4( 2.6（4）解：)(4)( 1 4)(6)(3)( 2 sRsY s sYssYsYs=+， 所以：)463(4)()( 23 +=sssssRsY 2.7 解：由传递函数的定义，有：ssXi1)(=， 1 2 2 11 )( + + + = sss sY 所以 23 262 )( )( 2 2 + + = ss ss iX sY 2.8、输出与输入的关系为： )(ty)(tx)(5 . 0)(2)( 3 txtxty+= 解： （a）将分别代入中，可得当工作点为 时相应的稳态输出值分别为 2, 1, 0 000 =xxx)(5 . 0)(2)( 3 txtxty+= 2, 1, 0 000 =xxx8, 5 . 2, 0 000 =yyy （b）根据非线性系统线性化的方法有，在工作点附近，将非线性函数展开成 泰勒级数，并略去高阶项得： ),( 00 yx xxxxyy xx +=+ = 0 )5 . 12(5 . 02 23 000 xxy xx += = 0 )5 . 12( 2 。若令yyxx=,有 当工作点为时， 0 0 =xxxxy2)5 . 12( 2 0 =+= 当工作点为时， 1 0 =xxxxy5 . 3)5 . 12( 2 0 =+= 当工作点为2 0 =x时， xxxy8)5 . 12( 2 0 =+= 2.11 解 对题 2.4(a)系统,可列出相应方程： m k 图(题 2.5)m C M R J x c = = += ) 3()( 1 )2( ) 1 ( 1 1 1 0 110 2 20 dtii c uu iRuu idt c iRu i i 对以上三式做 Laplace 变换,并注意到初始条件为零,即 I(0)= 0)0(=I?0)0()0( 11 = II ? 则 = = +=+= )6( )()( )()( )5()()()( )4()() 1 ( )( )()( 1 1 1 0 110 2 2 2 20 sC sI sC sI sUsU sIRsUsU sI sC R sC sI sIRsU i i (5) sC1 1 得： sC1 1 =)()( 0 sUsUi)7()( 1 1 1 sI sC R (6)得：= 1 R 1 R)()( 0 sUsUi)( 1 1 sI sC R )8()( 1 1 1 sI sC R (7)+(8)得：( sC1 1 +)= 1 R)()( 0 sUsUi)( 1 1 sI sC R 即=)()( 0 sUsUi sC R 1 1 )( 1 11 1 sI sCR sC + =)( 1 11 1 sI sCR R + 则有+)()( 0 sUsUi=)9()( 1 11 1 sI sCR R + 将(4)式中的代入(9)式得： )( 0 sU )(sUi=( sC2 1 +)I(s)+ 2 R)( 1 11 1 sI sCR R + =( sC2 1 + 2 R sCR R 11 1 1+ ) I(s) 再用(4)式与上式相比以消去 I(s), 即得电系统的传递函数为： G(s)= I(s) ) sCR1 R + R+ sC 1 ( )I(s) sC 1 + (R 11 1 2 2 2 2 0 + = sU sU i = sCR1 R + R+ sC 1 sC 1 + R 11 1 2 2 2 2 + 本题中,引入中间变量 x , 依动力学知识有： = =+ xkcxx cxxcxxkxx ii 110 102020 )( )()()( ? ? 对上二式分别进行拉氏变换有： + = =+ sck ssXc sX scsXsXsXsXscsXsXk ii 11 01 100202 )( )( )()()()()()( 消除有：)(sX s k c c s k c s k c sck sck sck sck sX sX sG i 1 1 12 2 2 2 11 11 22 220 1 )( )( )( + + + = + + + = 比较两系统的传递函数有： 22 1 ck ， 11 1 ck ， 22 Rc ， 11 Rc 故两个系统有相似的传递函数，为相似系统。 2.14、系统传递函数方框图如下： 解： （1）以为输入。当)(sR0)(=sN时： 以为输出时有：)(sC )()()(1 )()( )( )( 21 21 sHsGsG sGsG sR sC GC + = 以为输出时有：)(sY )()()(1 )( )( )( 21 1 sHsGsG sG sR sY GY + = 以为输出时有：)(sB )()()(1 )()()( )( )( 21 21 sHsGsG sHsGsG sR sB GB + = 以为输出时有：)(sE )()()(1 1 )( )( 21 sHsGsGsR sE GE + = （2）以为输入。当)(sN0)(=sR时： 以为输出时有：)(sC )()()(1 )( )( )( 21 2 sHsGsG sG sR sC GC + = )( 1 sG )(sH )(sE )(sC )(sR - )(sB )( 2 sG )(sN )(sY 图（题 2.14） 以为输出时有：)(sY )()()(1 )()()( )( )( 21 21 sHsGsG sHsGsG sR sY GY + = 以为输出时有：)(sB )()()(1 )()( )( )( 21 2 sHsGsG sHsG sR sB GB + = 以为输出时有：)(sE )()()(1 )()( )( )( 21 2 sHsGsG sHsG sR sE GE + = 2.15、 已知某系统的传递函数方框图如下图所示， 其中为输入，为输出， 为干扰，试求为何值时，系统可以消除干扰的影响。 )(sXi)(sXo)(sN )(sG )(sN 解：只须求出当输入时，系统在干扰作用下，输出为零时的即可。 0)(=sXi)(sG 法一：输入0)(=sXi时，系统只在干扰作用下的方框图如下： 可移动相加点如下： 321 2 3 KKKsTs sK + )(sN 4 21 )( K s sGKK )(sXo 1 K )(sN s K2 4 K - )(sG )(sXo 1 3 +Ts K 1 K s K2 - 1 K )(sXo - 1 3 +Ts K )(sN s K2 4 K - )(sG 1 K )(sXo )(sXi - 1 3 +Ts K 4 K s K2- )(sG 图(题 2.15) 得系统在干扰作用下传递函数为： 321 2 21 4 321 )( )( KKKsTs s KK K sGKKK sGN + =。 显然当s KK K sG 21 4 )(=时，由干扰作用引起的输出为零，即系统可消除干扰的影响。 法二、利用线性系统的叠加原理 1 K )(sXo - 1 3 +Ts K )(sN s K2 4 K - )(sG )(sN 当输入时，系统在干扰作用下，输出传递函数为： 0)(=sXi )()()()()()( 241 sGKsNsGsGsNsX BBoN +=，其中： 321 2 321 32 1 32 1 1 1 1 1 )( KKKsTs KKK Ts K s K K Ts K s K K sG B + = + + + =， 321 2 3 32 1 3 2 1 1 1 )( KKKsTs sK Ts K s K K Ts K sG B + = + + + =，得： )( )( )( 321 2 21 4 321 sN KKKsTs s KK K sGKKK sXoN + =，结论与法一同。 2.17、求下图所示系统传递函数。 )(sXo)(sXi - 图(题 2.17) 3 G 1 G 2 G 2 H 3 H 1 H 4 G 得： 2132134321 4321 )(1)( )( )( HHGGGHGGGG GGGG sX sX sG i O B + + = 2.18、求下图所示系统传递函数。 得： 2325