概率论与数理统计复习题一答案.pdf

一、 单项选择题 一、 单项选择题 1.对任意两事件A、B,有 （ B ）. ()P AB （A） （B）( )( )P AP B( )()P AP AB （C） （D）( )( )()P AP BP AB( )( )()P AP BP AB 2.设随机变量 X的密度函数为 2 3,0 ( ) 0, xxA f x 其它 ,则A（ A ）. （A）1 （B） 1 2 （C） 1 3 （D） 1 4 3设二维随机变量(, )X Y的分布率如右边表格所示, Y X 0 2 3 则1,2P XY （ C ）. -1 1 9 1 6 1 18 1 1 12 1 9 1 24 2 1 24 2 9 1 6 （A）1 9 （B） 5 18 （C） 7 36 （D）17 36 4两个相互独立的随机变量X、的方差分别是 4 和 2,则 （ D ）. Y 32DXY （A）8 （B）16 （C）28 （D）44 5若随机变量X的数学期望为E X,方差为D X,则对任意正数,有 （ A ）. （A） 2 () () D X P XE X （B） 2 () () D X P XE X （C） 2 () () D X P XE X （D） 2 () () D X P XE X 6设 1,2 XX是取自的样本,其中 2 ( ,)XN 为未知参数,则是的无偏估计量的是 （ C ）. （A） 1 61 55 2 XX （B） 1 71 44 2 XX （C） 1 51 44 2 XX （D） 12 71 55 XX 7设随机变量( ,1)XN ,且 2( ) YnX、Y相互独立, / X T Y n ,则下列结论正确 的是 （ D ）. （A）, （B） 22(1) X(1Tt n), （C）, （D）. 2 ( ,1)TF n 2 (1, )TFn 8. 设A与B是两随机事件，且AB，则下列结论正确的是（ A ）. （A）； （B）)()(APBAP)()(APABP； （C）)()(BPABP； （D）)()()(APBPABP. 9. 设是取自总体是服从正态分布 321 ,XXXN( , )1的样本，则下列统计量中哪一个是 的无偏估计量（ C ）. （A） 321 2 1 10 3 5 2 XXX； （B） 321 9 4 9 1 3 1 XXX； （C） 321 2 1 6 1 3 1 XXX； （D） 321 12 7 4 1 3 1 XXX 10. 若二维随机变量 22 1212 (, ) (, ) X YN， 则下列结论错误的是 （ D ）. （A） 2 11 (,) XN； （B） 2 22 (,) YN； （C）相互独立的充要条件是YX,0； （D） 以上结论都不对 11. 设X 2 ( ,)N 其中已知， 2 未知， 12 , 3 XXX是一个样本，则下列选项中不是 统计量的是（ C ）. （A） 123 XXX； （B） 123 max,XXX； （C） 2 3 2 1 i i X ； （D） 1 X 12. 设满足YX,4 . 0,36)(,25)( XY YDXD，则)(YXD（ C ）. （A） ； （B）； （C） 85； （D） 617337 13. 设是 来 自 正 态 总 体 1021 ,XXX 2 (0,)N的 容 量 为10的 样 本 ， 则 统 计 量 10 4 2 3 1 2 3 7 i i i i X X V服从的分布是（ B ）. （A） ； （B） ； （C）； （D）. ) 3 , 7(F)7 , 3(F)10( 2 )10(t 14. 设总体, 其中),(pmBXp未知， 12 , n XXX为总体的一个样本, 则p的矩估计 量是（ D ）. （A） ； （B） 2 SXm； （C） ； （D）,max 21n XXX m X 二、填空题 二、填空题 1甲乙两台机器生产同型号产品,甲的产量是乙的 3 倍,次品率分别是 2%,3%,则从两台机器 生产的产品中任取一件是次品的概率是 0.0225（或 9/400） . X的分布率如右表，是( )F xX的 X-1 0 1 2 pk0.1 0.2 0.3 0.4 2设随机变量 (1.5)F 0.6 . 分布函数,则 3已知随机变量,Y) 1,0(UX21X,Y的概率密度函数为,则)(yfY)2( Y f 1 2 . 4. 若，则(3,4)XN3XP 0.5 . X0 1 3 4 pk0.2 0.3 0.4 0.1 X5设随机变量的分布率如右表， (21)EX 2.8 . 则 6 样本 12 , n XX(0,1)XN取自总体,则 1 i i 1 n X n 服从的分布是 X 1 (0, )N n .(注明参 数) 7若某地区成年男性的身高（单位：cm）,均未知,现随机抽取该地区 8 名男性,测量并计算知 2 ( ,)XN 2 , 175.6, 2 27.3s 11.9341,113.0769 x 2 cm , 2 则该地区成年男性身高的方差的置信 水平为 95%的置信区间为.（计算结果保留到小数点后四位） 9.设盒子中有 3 个白球，2 个红球，现从盒子中任抽 2 个球，则取到一红一白的概率为 0.6 . A与B相互独立，且10. 若事件3 . 0)(AP6 . 0)(,BP)(BAP，则 0.72 . , 01 ( ) 0, k x x f xk 其它 ，则 2 . X的概率密度函数11. 设连续型随机变量 12. 设二维随机变量的分布律如下表, 则)(,YX0XYP= 0.8 . Y X 0 1 0 1 0.1 0.6 0.1 0.2 X与Y相互独立，13.设随机变量X在区间0上服从均匀分布，Y服从参数为的泊松 分布，则 ,32 )(YXE -0.5 . 14.设容量 n样本的观察值为 , 6, 7, 8均值x 76, 9, 5, 7, 8,则, 9样本9的.22 ，样本方差 2 s 94 1(小数点后保留两位) X， 2 ( ,0.9 ) 12 ,N 9 ,XXXx95是容量为的简单随机样本，均值15.设总体，则未 知参数的置信水平为0.95的双侧置信区间是 (4.412 ,5.588) . 三、计算题 1. 三、计算题 1.设某种电子元件的使用寿命X（小时）的概率密度为 , 0 , 100 )( 2 x x x xf .100 ,100 某仪器内装有 3 个这样的电子元件（设各电子元件损坏与否相互独立）,试求： （1）随机观察一个元件,使用 300 小时没损坏的概率； （2）使用的最初 300 小时内至少一个电子元件损坏的概率. 解解. 1）每个电子元件寿命超过 300 小时的概率为 2 300 1001 300 3 P Xdx x . 2）设Y为三个元件中寿命不超过 300 小时的个数，则 2 , 3, 3 YB 故三个元件至少一个使用最初 300 小时内损坏的概率 03 2126 11. 3327 P YP Y 2 23 ,01,0 ) 0, 0 3 01C x 2. 设二维随机变量的联合概率密度为),(YX( , yxyx f x y 其它 ( ) X fx( ) Y 和fy； （2）判断 X 与 Y 是否相互独立并给出理由. （1）求边缘概率密度 解解. 1） 232 3 232,01 x 0 ,2 0, X xy dyxxx fxf x y dy 其它 1 232 Y ,33 0, y 22 2333,01xy dxyyyy fyf x y dx 其它 3232 2） YY 233 0, 322 233,01,01xxyyyxy fyfy 其它 , f x y ,X Y不相互独立. 3. 某电脑公司组装的电脑所用的显示屏是由甲乙丙三家工厂提供的，其中甲厂生产的占 15%，乙厂生产占 60%，丙厂生产占 25%. 已知甲乙丙三厂显示屏的次品率分别为 3%、1% 和 2%.现从这些电脑显示屏中任抽一台检验. （1）求所抽取的显示屏是次品的概率； （2）若取得的显示屏是次品，问该显示屏是由乙厂生产的可能性有多大？ A表示“抽取的显示屏是次品” ；解：设 1 B表示“产品由甲厂生产” ， 2 B表示“产品由乙厂生产” ，表示“产品由丙厂生产” 3 B （1） 由全概率公式 332211 )()()()(BAPBPBAPBPBAPBPAP 02. 025. 001. 06 . 003. 015. 0 0155. 0 （2）由贝叶斯公式 22 2 () (|) (|) P B P A B P BA ( )P A 3871. 0 0155 01. 0 . 0 6 . 0 4. 有一批建筑房屋用的木柱， 其中 80%的长度长于 3 米.现从这批木柱中随机地取出 100 根， 试用中心极限定理计算这 100 根木柱中至多有 75 根长于 3 米的概率. X是 100 根木柱中长于 3 米的根数，则100,0.8 ,XB 808 . 0100)(XE)( 解解. 设 ，XD N 7P X 162 . 08 . 0100 故由中心极限定理知 )1680(， 近似 X 5 7580 P X 1056. 08944. 01 4 ) 所求概率为 ( 1.25 )25. 1 (1 0.7 6900 5. 一个供电网内共有10000盏型号相同的电灯，夜晚每一盏灯开着的概率均为，假设 各盏灯开、关彼此独立，试用中心极限定理估算夜晚同时开灯数在到7100之间的概 率。 X表示夜晚的开灯数。则 ， 解：设)7 . 0,10000(BX 7 . 010000(npE21003 . 07 . 010000)且 ，70001 ()()XpnpXD 由拉普拉斯中心极限定理：) 1 , 0( N )1 (pnp npX ，即 ) 1 , 0( 7000 N X 2110 70007100700070006900 71006900 211021102110 X PXP .9708. 019854. 02) 1)18. 2(218. 2 7000 18. 2 2110 X P 1 , x ex 6. 设总体密度函数( ) 0, f x x 0), ，(已知，求的矩估计和极大 似然估计. 解：矩估计： 1 () () ()| xxx EXxedxx d e x eedxe xx 用X替换，解得矩估计为 EX X 极大似然估计： 1 () 1 1 ( ) i i i x nx n i Lee 1 n 取对数 1 1 ln ( )ln() n i i Lnxn 上式关于求导并令其等于 0： 2 1 ln ( )1 () n i i dLn xn d 0 解得的极大似然估计为： X 7. 为考察某大学成年男性的胆固醇水平，现抽取了样本容量为 25 的一个样本，并测得样本 均 值 为186,x样 本 标 准 差 为样 本 标 准 差 为12s. 假 定 胆 固 醇 水 平 服 从 正 态 分 布假 定 胆 固 醇 水 平 服 从 正 态 分 布 22 ), ,( ,N 均未知，分别求均未知，分别求和和的置信度为的置信度为 90%的置信区间的置信区间. 解：解：的的1的置信区间为的置信区间为 2 (1) /);186,12,25,0.1XtnSnxsn t 查分布表， 得 0.05 2 12 (251)1.7109,(1) /1.71094.106 25 ttnSn 的置信度为的置信度为 90%的置信区间为（的置信区间为（181.894，190.106） 从而 的的1的置信区间为的置信区间为 22 22 1 22 (1)(1) , (1)(1) nSnS nn ，查表得，查表得 22 0.10.1 1 22 (251)36.42,(251)13.85 ，于是置信下限为，于是置信下限为 2 2412 9.74 36.42 ， 2 2412 15.80 13.85 ，所求，所求的置信度为的置信度为 90%的置信区间为（的置信区间为（9.74，15.80） 置信上限为 8. 从某种食品罐头中随机抽取 9 个,测得其维生素含量(mg)如下： 16，21，20，19，23，28，15，12，17， 16，21，20，19，23，28，15，12，17， 假定维生素含量，在),( 2