DSP第二章课后答案.pdf

第二章第二章 离散傅立叶变换离散傅立叶变换 1.如果 x n是一个周期为N的序列， 则它也是周期为2N的序列。 令 1 X ( )k 表示当把 x n 看作周期为N的周期性序列的 DFS 系数，而 2 X ( )k 是把 x n看作是周期为2N的周期性 序列的 DFS 系数。当然， 1 X ( )k 是周期为N的周期性序列， 2 X ( )k 使周期为2N的周期性 序列。试根据 1 X ( )k 确定 2 X ( )k 。 解：因为 2 11 1 00 NN jkn kn N N nn Xkx n Wx n e 21 22 0 22 121 22 0 N kn N n kk NN jnjn NN nn N Xkx n W x n ex n e 令nnN ，则 22 11 22 2 00 2 1 2 0 1 1 1 2 kk NN jnjnN NN nn kn N j jk N n jk Xkx n ex nN e ex n e k eX 所以 1 2 2 2 0 k X Xk ， ， k k 为偶数 为奇数 2. ( )f t是连续的实限带周期信号，其周期为p；( )f t傅立叶级数中只有| 2/Mp 之 间为非零值项，即 2 ( ) jr M t p r rM f ta e ，其中 r a为实数。 ( )f t以 1 2 p T M 为周期取样的序列为 1( ) x n， 11 ( )()x nf nT；取 1( ) x n的主值区做 DFT 得到 1( ) X k，即 2 21 2 11 0 ( )( ) M jkn M n X kx n e 。 若以原本两倍的速率对( )f t取样，即有 22 ( )()x nf nT，其中 1 2 24 Tp T M ；令 2( ) Xk是取 2( ) x n的主值区做 DFT，如何从 1( ) X k求得 2( ) Xk？ 解：( )f t是实信号， rr aa， 2 21 2 11 0 ( )( ) M jkn M n X kx n e 将 2 2 11 ( )()() 2 jnr M M r rM np x nf nTfa e M 代入 1( ) X k 222 2121 () 222 1 00 ( ) jnr MMM jknjk r n MMM rr rnrMn X kaeeae 因为 2 21 () 2 0 2 02,0,1,2 0 02, M jk r n M n MklM l e klM 且MrM，所以 12 2 0,1,2,1 ( )2 21,22,1 2(+) k kM MM MakM X kMakMMM M aakM 而 2 41 4 22 0 ( )( ) M jkn M n Xkx n e 将 2 4 22 ( )()() 4 jnr M M r rM np x nf nTfa e M 代入 2( ) Xk 2 41 () 4 2 0 ( ) MM jk r n M r rMn Xkae 因为 2 41 () 44 4 0 44 4 ( )( ) 0 ( )( ) M jk r n MM M n MM Mkr e kr 因此 24 4 0,1,2, ( )4 41,42,3 0 1,2,31 k kM MakM XkMakMMM kMMM 所以 1 1 2 1 2( ) 0 () ,3 ( ) 0 131 2(2) 3141 X kkM X MkM kM Xk MkM X kMMkM 1( ) X k、 2( ) Xk的示意图如图 1 所示。 0 M2M-1 k 1( ) X k 0 M3M k 2( ) Xk 4M-1 图 1 3. 计算下列序列的 N 点 DFT。 ?1? ? ? 4 ? cos?2? ? ? ? ? 0,1,? ? 1 ?2? ? ? cos? ? ? 0,1,? ? 1 并比较（2）中当? 2?/?和? 2?/?的 DFT 值，并解释有什么不同。 解： (1) 先将余弦序列展开为复指数和的形式 利用复指数的周期性，可以将写成 所以可以得到 DFT 为 (2) 利用复指数表示该余弦序列 分别计算每一项的 DFT，可以得到 当时 根据正弦函数的正交性，可以得到此时的 DFT 为 当时，采用几何级数计算得到 分子分母提出一个复指数，可以得到 对于每一个 来说，除非是的整数倍，否则一般情况下是非零值。造成这种区 别 的 原 因 在 于DFT系 数是 对的DTFT的 采 样 结 果 。 在区间内进行点等间隔采样时，一般情况为非零值。而当时，除了 和两点，其余的采样点都在正弦函数的过零点上。 4. 已知( )x n是长度为 N 的有限长序列， X kDFT x n ，现采用两种补零方法： （1）在( )x n的每 2 点之间补进1r个 0 值，得到一个长度为rN的有限长序列 1( ) y n 1 ,0,.,1 0 n xnir iN r yn others 求证 1 DFT ynX k 与 的关系。 （2）将长度扩大 r 倍（补 0 增长） ，得到一个长度为rN的有限长序列 2( ) y n 2 01 01 x nnN yn NnrN 求证 2 DFT ynX k 与 的关系。 解： （1） 11 11 00 1 0 , 0,1 ,0,1 rNN n m nkkmr r rNrN nm N km N m Y kyn Wy mr W x m WX klNklNNlr 令 （2） 11 / 22 00 , rNN nknk r rNN nn kk Ykyn Wx n WX rr 当为整数时 5.已知两个有限长序列为 1, ( ) 0, n x n 03 46 n n 1, ( ) 1, y n 04 56 n n 试用作图表示( ), ( )x ny n以及圆周卷积( )( )( )f nx ny n。 解： 6. 已知序列( )4 ( )3 (1)2 (2)(3)x nnnnn，( )X k是( )x n的 6 点 DFT （a）若有限长序列( )y n的 6 点 DFT 是 4 6 ( )( ) k Y kWX k，求( )y n； （b）若有限长序列( )w n的 6 点 DFT 等于( )X k的实部，求( )w n； （c）若有限长序列( )q n的 3 点 DFT 满足，( )(2 ) 0,1,2Q kXkk，求( )q n。 解： （a） 序列( )y n的 DFT 由( )x n的 DFT 与复指数相乘组成， 相当于是将( )x n圆周移位， 所以， 6 ( )(4)4 (4)3 (5)2 ( )(1)y nx nnnnn （b）( )X k的实部是 1 Re( )( )( ) 2 X kX kXk ，又由 111 () 000 1 0 ( )( )( )( ) () NNN nknkN n k NNN nnn N nk N n Xkx n Wx n Wx n W xNn W 得 133 ( )( )()4,1,1,1, 222 N w nx nxNn （c）序列( )q n长度为 3，DFT 为( )(2 ) 0,1,2Q kXkk。由于( )X k是对( )X z在单 位圆上等间隔采样 6 点的结果，所以( )(2 ) 0,1,2Q kXkk相当于是对( )X z在单位 圆上等间隔采样 3 点，所以有 3 ( )(3 )( ) r q nx nrR n 故，(0)(0)(3)5, (1)(1)3, (2)(2)2 qxxqxqx 7. 两个序列 12 22 ( )cos(), ( )sin() nn x nx n NN （a）求 1( ) x n和 2 ( )x n的 N 点圆周卷积； （b）求 1( ) x n和其自身的 N 点圆周相关（自相关） ； （c）求 1( ) x n和 2 ( )x n的 N 点圆周相关。 解： （a） 有多种方法可以实现圆周卷积。 但由于 1( ) x n和 2( ) x n的DFT系数中只有两个非零值， 比较简单的方法是求 12 ( )( )X kXk的 IDFT， 2/2/2/2 (1) / 1 2/2 (1) / 2 11 ( ) 22 1 ( ) 2 jn Njn Njn NjNn N jn NjNn N x neeee x nee j 它们的 N 点 DFT 是： 1 2 1,1 ( )2 0 1 2 ( )1 2 0 N kkN X k N k j N XkkN j 其他 其他 所以， 2 2 12 1 4 ( )( )1 4 0 N k j N X kXkkN j 其他 其 IDFT 为： 12 ( )sin() 2 n x nN N （b）对于 1( ) x n的圆周自相关的 DFT，有 2 2 1 1,1 ( )( ) 4 0 x N kkN R kX k 其他 所以， 12 ( )cos() 2 x n r nN N （c）对于 1( ) x n和 2( ) x n的圆周相关的 DFT，有 1 2 2 2 12 1 4 ( )( )( )1 4 0 x x N k j N RkXk XkkN j 其他 所以， 1 2 12 ( )sin() 2 x x n rnN N 。 8. 设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为 2 的整数幂，假定没有采用任何特殊数 据处理措施，要求频率分辨力10Hz，如果采用的抽样时间间隔为 0.1ms，试确定： （1） 所允许处理信号的最高频率； （2）在一个记录中的最少点数； 解：(1): 1 0.1,10000 2, 1 5 2 ss s sh hs Tms fHz T ff ffkHz 由取样定理知则 (2): 00 0 min F,F10, 10000 N1000 F10 NN1024 s s f Hz N f 分辨力由于则 取2的整数幂，则 9. 离散余弦变换（DCT）图像压缩和处理中有着广泛的应用。DCT 和 DFT 相比，其基函 数为余弦函数。对一个NN图像块( , )f x y的二维 DCT 定义如下： 正变换： 11 00 2(21)(21) ( , )( , )coscos 22 NN xy C u C vxuyv F u vf x y NNN 反变换： 11 00 2(21)(21) ( , )( , )coscos 22 NN uv xuyv f x yC u C v F u v NNN 其中,0,1,1; ,0,1,1u vNx yN 1 , ( ) ( )2 1, C u C v ,0 ,0 u v u v 在图像压缩时，先进行如下处理（如下图所示） ：先对图像块( , )f x y（0( , )255f x y） 做 DCT，然后再量化，量化相当在( , )F u v上除一个整数值的量化模板( , )Q u v，并取整数 部分，即 ( , ) int( , )/( , )F u vF u vQ u v，其中 int 表示取整。最后对 ( , ) F u v进行编码。 ,f x y( , )F u v ( , ) F u v 现对8 8的图像块，试回答下列问题： 1）已知人的视觉对图像高频部