数理统计课后答案-第二章.pdf

1 习题二习题二 2.1 盒中有大小相同的三个球，其中两个球的标号为 0，另一个球的标号为 1，有放回地从 盒中随机取球 2 次，记( ) 12 ,XX为取到球的标号. （1）写出总体的分布，并求总体的期望和方差； （2）写出样本( ) 12 ,XX的联合分布； （3）写出样本均值X的分布，并求X的期望和方差. 解 解 （1） X 0 1 P 2 3 1 3 2 112 , 339 EXEXDX= ; （2） 2 X 1 X 0 1 0 4 9 2 9 1 2 9 1 9 (3) X 0 1 2 1 P 4 9 4 9 1 9 ( ) 11 , 39 EXDX= . 2.2 2.2 从一批铁钉中随机地抽取 16 枚，测得它们的长度（单位：cm）为 2.14， 2.10， 2.13， 2.15， 2.13， 2.12， 2.13， 2.10， 2.15， 2.12， 2.14， 2.10， 2.13， 2.11， 2.14， 2.11。 2 （1）求样本均值X，修正样本方差 2 *S，修正样本标准差*S，样本方差 2 S和样本标准 差S的观测值； （2）求样本极差R和样本中位数),(med 1n XX L的观测值。 解 解 （1） 用计算器的统计功能可以求得 X125. 2=， 2 *S00029333. 0=，017127. 0* =S， 2 S000275. 0=，016583. 0=S； （2）将样本观测值按照从小到大的次序排列，可以求得 05. 010. 215. 2 )1()16()1 ()( =XXXXR n ； 13. 2 2 13. 213. 2 22 ),(med )9()8( )1 2 () 2 ( 1 = + = + = + = +XX XX XX nn n L 。 2.3 2.3 设 ),( 21n XXXL，),( 21n YYYL 是两个样本，它们之间有下列关系： b aX Y i i = ，ni, 2, 1L= ， 其中 a，0b 是常数。求： （1）它们的样本均值 = = n i i X n X 1 1 与 = = n i i Y n Y 1 1 之间的关系； （2）它们的样本方差 = = n i ix XX n S 1 22 )( 1 与 = = n i iy YY n S 1 22 )( 1 之间的关系。 解 解 （1） = = n i i Y n Y 1 1 b aX b na n X n b aX n n i i n i i = = = = = 11 1 1 1 ； （2） = = n i iy YY n S 1 22 )( 1 2 2 1 2 2 1 2 )( 1 )( 1 b S XX nbb aX b aX n x n i i n i i = = = 。 2.4 2.4 设有样本),( 21n XXXL， = = n i i X n X 1 1 是样本均值， = = n i i XX n S 1 22 )( 1 是样 本方差，是常数，证明 = n i i X n 1 2 )( 1 22 )(+=XS 。 3 证 证 = n i i X n 1 2 )( 1 = += n i n i n i ii n X n X n 1 2 11 2 121 2 1 222 2 1 += = n i i XXXX n 22 )(+=XS 。 2.5 2.5 设 = = n i in X n X 1 1 和 = = n i nin XX n S 1 22 )( 1 分别是样本),( 21n XXXL的样本 均值和样本方差，现在样本中增加一个新观测值 1+n X，相应地，样本均值和样本方差变为 + = + + = 1 1 1 1 1 n i in X n X 和 + = + + = 1 1 2 1 2 1 )( 1 1 n i nin XX n S，证明： （1）)( 1 1 11nnnn XX n XX + += + ； （2） + + + = + 2 1 22 1 )( 1 1 1 nnnn XX n S n n S 。 证 证 （1） + = + + = 1 1 1 1 1 n i in X n X + + = + = 1 1 1 1 n n i i XX n 1 1 1 1 + + + + = nn X n X n n 1 1 1 ) 1 1 1 ( + + + + = nn X n X n )( 1 1 1nnn XX n X + += + ； （2） + = + + = 1 1 2 1 2 1 )( 1 1 n i nin XX n S 2 1 1 1 2 1 1 + + = + = n n i i XX n + + = + = 2 1 1 2 1 1 n n i i XX n 2 1 1 1 1 + + + +nn X n X n n + + + + + = + = 2 11 22 1 1 2 ) 1( 1 1 2 1 11 1 nnnnn n i i X nn XX n X n n X n X nn n + + + + + + = + = 2 11 22 1 2 1 1 1 2 1 11 1 nnnnn n i i X n XX n X n XX nn n + + + = + 2 1 2 )( 1 1 1 nnn XX n S n n 。 2.6 2.6 已知总体 服从指数分布，概率密度为 = 00 0e )( x x x x 4 其中，参数0，),( 21n XXXL 是 的样本，X 是样本均值， 2 S 是样本方差， 2 *S 是修正样本方差，求 XE，XD，)( 2 SE 和 )*( 2 SE。 解解 因为总体 服从参数为 的指数分布，所以 1 =E， 2 1 =D 。 由定理 2.1 可知 XE 1 =E，XD 2 1 nn D =，)( 2 SE 2 11 n n D n n = = ，)*( 2 SE 2 1 =D 。 2.7 2.7 设 ),( 21n XXXL 是总体 ),( 2 N 的样本， ),( 21n YYYL 是总体 ),( 2 N 的样本，两个样本相互独立， = = n i i X n X 1 1 ， = = n i i Y n Y 1 1 是 ， 的 样本均值，求统计量 = + n i ii YXYX 1 2 )( 的数学期望。 解法一解法一 因为),( 21n XXXL是),( 2 N的样本，),( 21n YYYL是),( 2 N 的样本，两个样本相互独立，所以 =EXE i) (，=EYE i) (，ni,2, 1L= 。 =EXE)(，=EYE)( 。 22 11 )( n n D n n SE x = =， 22 11 )( n n D n n SE y = = 。 因此有 + = n i ii YXYXE 1 2 )( += = n i i n i ii n i i YYYYXXXXE 1 2 11 2 )()(2)( + + = = n i i n i ii n i i YYEYYXXEXXE 1 2 11 2 )()(2)( )()()()()(2)( 2 1 2 y n i iix nSEYEYEXEXEnSE+= = )()(2)( 2 1 2 y n i x SnESnE+= = 5 22 1 0 1 n n n n n n + = 2 ) 1(2=n 。 解法二解法二 因为),( 21n XXXL是),( 2 N的样本，),( 21n YYYL是),( 2 N 的样本，两个样本相互独立，所以 i X),( 2 N， i Y),( 2 N，ni,2, 1L=，相互独立。 令 iii YXZ+=（ni,2, 1L=） ，则有 iii YXZ+=)2,2( 2 N（ni,2, 1L=） ，而且相互独立。 ),( 21n ZZZL可以看作是总体+=)2,2( 2 N的样本，它的样本均值 = = n i i Z n Z 1 1 = += n i ii YX n 1 )( 1 = += n i i n i i Y n X n 11 11 YX += ， 它的样本方差 = = n i iz ZZ n S 1 22 )( 1 = += n i ii YXYX n 1 2 )( 1 。 所以， + = n i ii YXYXE 1 2 )()( 2 z nSE=)( 2 z SnE=D n n n 1 = 2 2 1 = n n n 2 ) 1(2=n。 2.8 2.8 设),( 54321 XXXXX是总体) 1,0(N的样本。 （1）求常数ba,，使得 2 543 2 21 )()(XXXbXXa+服从 2(2) 分布，并指出其自 由度； （2）求常数c，使得 2 543 2 2 2 1 )( )( XXX XXc + + 服从F分布，并指出其自由度。 解 解 （1） 因为 （ 521 ,XXXL） 是) 1 ,0(N的样本， 所以 i X) 1 ,0(N，5,2, 1L=i， 521 ,XXXL 相互独立，所以 21 XX +)2,0(N， 543 XXX+)3,0(N ，而且相互独立， 即有 2 21 XX + ) 1 ,0(N， 3 543 XXX+ ) 1 ,0(N，而且相互独立。 6 由 2 分布的定义可知 3 )( 2 )( 2 543 2 21 XXXXX+ + + 2 543 2 21 32 + + + = XXXXX )2( 2 。 可见，只有当 2 1 =a， 3 1 =b 时， 2 543 2 21 )()(XXXbXXa+ 才服从 2 分 布，其自由度为 2。 （2） 因为 1 X) 1 ,0(N， 2 X) 1 ,0(N， 21, X X 相互独立，所以由 2 分布的定义可知 2 2 2 1 XX+)2( 2 。 又因为 3 543 XXX+ ) 1 ,0(N，所以由 2 分布的定义可知 2 543 3 +XXX ) 1 ( 2 。 而且，它与 2 2 2 1 XX+ 相互独立（因为 521 ,XXXL 相互独立） 。 因此，由F分布的定义可知， 2 543 2 2 2 1 )(2 )(3 XXX XX + + 1 3 2)( 2 543 2 2 2 1 + + = XXX XX )1 ,2(F。 可见，只有当 2 3 =c 时， 2 543 2 2 2 1 )( )( XXX XXc + + 才服从F分布，其自由度为) 1 ,2(。 2.92.9 设 ),( 21m XXXL是 ), 0( 2 N 的样本，),( 21n YYYL 是 ), 0( 2 N 的样本，两个样本相互独立，证明： （1） 2 1 2 1 2 = + n j j m i i YX )( 2 nm+ ； （2） m n Y X n j j m i i = = 1 2 1 )(nt 。 证证 （1）因为 ),( 21m XXXL 是 ), 0( 2 N的样本，所以 i X), 0( 2 N， mi, 2, 1L=， m XXX, 21 L 相互独立。 即有 i X ) 1 ,0(N，mi, 2, 1L=， m XXX , 21 L 相互独立。 7 由 2 分布定义可知 = = = m i i m i i X X 1 2 2 1 2 )( 2 m。 同理可证 2 1 2 = n j j Y )( 2 n 。 而且由于两个样本相互独立，所以 2 1 2 = m i i X 与 2 1 2 = n j j Y 相互独立。 因此，由 2 分布的可加性（定理 2.3）可知 2 1 2 1 2 = + n j j m i i YX )( 2 nm+ （2） 因为 ),( 21m XXXL 是 ), 0( 2 N 的样本，所以 i X), 0( 2 N， mi, 2, 1L= ，而且相互独立。因此有 = m i i X 1 ), 0( 2 mN，所以 = = 2 1 0 m X m i i = m i i X m 1 1 ) 1, 0(N 。 同时，在上面（1）中已经证得 2 1 2 = n j j Y )( 2 n，而且由于两个样本相互独立，所 以 = m i i X m 1 1 与 2 1 2 = n j j Y 相互独立。 因此，由 t 分布的定义可知 m n Y X n j j m i i = = 1 2 1 n Y X m n j j m i i 2 1 2 1 1 = = = )(nt 。 2.102.10 证明：若 T)(nt，则 2 T), 1 (nF 。 证 证 因为T)(nt，由t分布定义可知，必有) 1 ,0(N，)( 2 n，两者相互独立， 8 使得 n T = ，这时 2 T nn 1 2 2 = = 。 因为 ) 1 ,0(N，由 2 分布定义可知 2 ) 1 ( 2 ，而且因为 与 相互独立， 所以 2 与 )( 2 n 相互独立，因此，由F分布定义可知 2 T n 1 2 =), 1 (nF 。 2.11 设服 从 参 数 为的 指 数 分 布( )E， 试 证 明的 左 侧p分 位 数 ( )() 1 ln 1 p Ep = . 解解 由题意知，( )E，( ) = 1,0 0,0 x ex Fx x , ( )() ( ) =1 p E p pFEe得( )() 1 ln 1 p Ep = . 2.122.12 设（ nmmm XXXXX + , 121 LL）是总体 ),( 2 N 的样本，证明： + += = nm mi i m i i X n X m 1 2 1 2 )( 1 )( 1 ),(nmF 。 证 证 因为（ nmmm XXXXX + , 121 LL）是总体 ),( 2 N 的样本，所以 i X),( 2 N， i X ) 1, 0(N，nmi+=, 2, 1L ， 而且它们相互独立。 由 2 分布定义可知 = = m i i m i i X X 1 2 1 2 2 )( 1 )( 2 m， + += + += = nm mi i nm mi i X X 1 2 1 2 2 )( 1 )( 2 n， 9 而且两者相互独立。 所以，由F分布定义可知 + += = nm mi i m i i X n X m 1 2 1 2 )( 1 )( 1 nX mX nm mi i m i i + += = = 1 2 2 1 2 2 )( 1 )( 1 ),(nmF 。 2.132.13 设 （ m XXX, 21 L） 是总体 ),( 2 N 的样本，X 是样本均值， 2 *S 是 修正样本方差，另有 1+m X),( 2 N ， 1+m X 与 m XXX, 21 L 相互独立，证明： 1* 1 + + m m S XX m ) 1(mt 。 证法一 证法一 因为),( 21m XXXL是总体),( 2 N的样本，所以由定理 2.5 可知， X),( 2 m N 。 另外已知 1+m X),( 2 N， 它与 m XXX, 21 L相互独立， 因此它也与X相互独立， 由正态分布的可加性可知 1+ m XX),0( 2 2 + m N，即有 2 1 1 m m XX m + + ) 1, 0(N。 由定理 2.8（Fisher 引理）可知， 2 2 *) 1( Sm ) 1( 2 m，而且X与 2 *S相互独立。 另外又已知 1+m X与 m XXX, 21 L相互独立，因此 1+m X也与 2 *S相互独立，所以 2 1 1 m m XX m + + 与 2 2 *) 1( Sm 相互独立。 因此，由 t 分布的定义可知 10 1* 1 + + m m S XX m ) 1( *) 1( 1 2 2 2 1 + = + m Sm m m XX m ) 1(mt 。 证法二 证法二 因为 1+m X),( 2 N， 1+m X可看作是另一个总体 ),( 2 N的样本，样本容 量 1=n，样本均值 1+ = m XY。 由定理 2.12 可知 nm S YX w 11 )()( 21 + )2(+nmt ，其中 )()()()( 121 = +m XXYX 1+ = m XX ， 2 *) 1(*) 1( 22 + + = nm SnSm S yx w * 21 *) 11 (*) 1( 22 S m SSm y = + + = ， m m mnm 1 1 1111+ =+=+ ， 1212=+=+mmnm 。 所以有 1* 1 + + m m S XX m m m S XX m 1 * 1 + = + nm S YX w 11 )()( 21 + = ) 1(mt 。 2.142.14 设总体 ),( 2 1 aN ，),( 2 2 bN ，其中 0a，0b 是已知常数， ba 。),( 21n XXXL 是 的样本，),( 21n YYYL 是 的样本，两个样本相互 独立， = = n i i X n X 1 1 ， = = n j j Y n Y 1 1 是,的样本均值， = = n i ix XX n S 1 22 )( 1 1 *， = = n j jy YY n S 1 22 )( 1 1 * 是,的修正样本方差。证明： n ba b S a S YX y x 2 )( * * ( )()( 2 2 21 + )22(nt 。 证证 因为 ),( 2 1 aN ，),( 2 2 bN，所以由定理 2.5 可知 11 X),( 2 1 n a N ，Y),( 2 2 n b N ， 而且它们相互独立（因为两个样本相互独立） ，因此有 YX ) )( ,( 2 21 n ba N + ， 即有 n ba YX 2 21 )( )()( + ) 1 ,