固体物理第五章答案.pdf

1.在近邻近似下，按紧束缚近似，针对简立方晶体 S 能带 （1） . 计算 Es k 关系； （2） . 求能带宽度； （3） . 讨论在第一 BZ 中心附近等能面的形状。 注：CosX=1X2/(2！) + X4/(4！) 解： （1）.对简立方，最近邻原子处于 Rn =ai , a j ,ak Es=s at AB eeeeee ik a ik a ik aik a ik aik a xx yy zz =s at A2B（Coskxa+Coskya+Coskza） （2）. 当 Kx= Ky=Kz=0 时 Esmin=Es at A6B 当 Kx=Ky=Kz= a 时 Esmax=Es at A+6B 能带宽度EmaxEmin12B （3）当 Kx, Ky, Kz均趋于零时 Es（k ）Es at A2B（1 K a K a K a x y z 22 22 2 2 1 2 1 2 ） = Es at A2B 3 2 2 222 a KKK xyz 球形 2.在近邻近似下， 用紧束缚近似导出体心立方晶体 S 能带的 Es(k )， 试 画出沿 Kx方向（Ky=Kz=0）的散射关系曲线，并计算能带宽度。 解： 选体心原子为参考点， 最近邻原子的 2 位置 Rn = a 2i a 2j a 2 k (共八个) 则 Es(k )=Es at ABe iakkkiakkk xyzxyz e 22 ()() + )( 2 )( 2 zyxzyx kkk a ikkk a i ee +e iakkkiakkkiakkkiakkk xyzxyzxyzxyz eee 2222 ()()()() =Es at A2B e a kz iakk xy 2 2 () cos + )( 2 yx kk a i e cos a kz 2 +e iakk xy 2( ) cos a kz 2 + e a kz iakk xy 2 2 () cos = Es at A2B2e a kye a ky iakiak xx 22 22 coscos cos a 2kz =Es at A4B2(cos k a x 2 cos k a k a y z 22 cos ) =Es at A8Bcos k a x 2 cos k a k a y z 22 cos 当 Ky=Kz=0 时 Es(kx)=Es at A8Bcos k a x 2 同时 Kx=0 时 Esmin=Es at A8B 当 Kx=Ky=Kz=2 a 或 kx=2 /a;ky=kz=0 时 Esmax=Es at A+8B 能带宽度EmaxEmin16B 3一个晶格常数为 a 的二维正方晶格，求： （1）用紧束缚近似求 S 能带表示式，能带顶及能带底的位置及能带 宽度； （2）带底电子和带顶空穴的有效质量； （3）S 带电子的速度表示式 解： （1）选某一原子为坐标原点，最近邻的原子有四个，位置为 Rn = a 2 i ， a 2 j 由 Es=s atAB aikaik aik a ik yy xx eeee =s atA2B（Coskxa+Coskya） 在第一 B.Z 区 带底位置：Kx =Ky =0, 带顶位置：Kx = a Ky = a 带宽：8B （2）mxx* = 2 2 2 Kx E .= 2 /(2a2BcosKxa) myy* = 2 2 2 Ky E .= 2 /(2a2BcosKya) mxy* = myx* =0 把带底位置 Kx =Ky =0 代入 得：mxx* = myy* = m*= 2 /(2a2B) 把带顶位置：Kx = a，Ky = a 代入 得：mxx* = myy* = m*= 2 /(2a2B) 带顶空穴有效质量 mh* = m*= 2 /(2a2B) （3） 1 vkEs(k )= 1 *2aB(sinKxai +sinKyaj ) 4利用一维 Bloch 电子模型证明：在布里渊区边界上，电子的能量 取极值。 解：由教材式（676） 、 （677） ETh+ |Vh| + Th(2Th/|Vh| +1) E_Th|Vh|Th(2Th/|Vh|1) E 2Th(2Th/|Vh| +1) 0 处 0 ETh+ |Vh| E 2Th(2Th/|Vh|1) 0 处 0 E_Th|Vh| 5利用布洛赫定理，K(x+na)=K(x)eikna的形式，针对一维周期势场 中的电子波函数。 (1) K(x)=sin ax (2) K(x)icos 8 ax (3) K(x)=l f(xla) (f 为某一确定函数) 求电子在这些状态的波矢 K(a 为晶格常数) 解：(1) K(x)=sin a x K(x+na)=sin a(x+na)=sin( a x+n) =(-1)nsin( a x )=(-1)nK(x) eikna=(-1)n=ei(n+2m) (m 也为整数) kna=(n+2m) 所以 K a（1 2m n ） (2) K(x)=icos 8 ax K(x+na)=icos 8 a(x+na) =icos( 8 ax+8n)=K(x) eikna=1 kna=2m k= 2m na (3) K(x)=l f(xla) K(x+na)=l f(x+nala)=l fx(ln)a 设 l-n=m K(x+na)= m f(x-ma)=K(x) 所以 eikna=1 kna=2N N 也为整数和 零 K 2N na 6.已知一维晶体的电子能带可写成 E( k)= 2 2 ma ( 7 8coska+ 1 8cos2ka) 其中 a 为晶格常数，求（1）能带宽度； （2）电子在波矢 k状态的速度； （3）带顶和带底的电子有效质量。 解： （1） E(k)= 2 2 ma ( 7 8coska+ 1 8cos2ka) = 2 2 ma 7 8coska+ 1 8(2cos2ka1) 2 2 4ma (coska2)21 当 ka(2n+1)时， n=0.1.2 E(k)max= 2 2 2 ma 当 ka=2n 时 E(k)min=0 所以能带宽度EmaxEmin= 2 2 2 ma （2） (K )= 1 E (K )= K E =(ma )sinka(1/4) sin2ka (3) = m (coska1/2 cos2ka) 1 当 k=0 时 为带底，m* 2m; 当 k= /a 时 为带顶，m*2m/3 7. 证明面心立方晶体 S 电子能带 E（K）函数沿着布里渊区几个主要 对称方向上可化为： (1) 沿 X（Ky=Kz=0, Kx=2 a， 1） E=EsaA4B（12cos ） (2) 沿 L（Kx=Ky=Kz= 2 a， 1/2） E=EsaA12Bcos2 (3) 沿 K（Kz=0, Kx= Ky=2 a， 3/4） E=EsaA4B（cos2 2cos ） (4) 沿 W（Kz=0, Kx=2 a，Ky= a， 1） E=EsaA4B（cos cos /2cos cos /2） 解：面心立方最近邻的原子数为 12，根据禁束缚近似 S 带计算公 2 2 2 * K E m 式， （教材 P184） Es（K）=EsaA4B（cos2 a Kxcos2 a Ky+ cos2 a Kycos2 a Kz+ cos2 a Kzcos 2 a Kx） 把各方向的 Kx、 Ky、Kz 值代入上式即可得到相应的答案， 具体计算略 8.证明单位长度的一维晶体中电子态密度为 D(E)= 2 dk dE 证：一维 K 空间，K 点密度为 L 2 因为 E(K)是偶函数， dE 间隔对应正、 负二个 dk, 所以在 dk 对应 的能量间隔 dE间，第 n 个能带对应的电子状态数 dz4 L 2 dk= 2L dk 又有 dz=D(E)dE D(E)= 2L dk dE 当 L1(单位长度)时. D(E)= 2 dk dE 9.索未菲自由电子模型，证明在k 空间费米球半径为：Kf=(32n)1/3其 中 n 为电子浓度 证： 对自由电子 E m k 2 22 在k 空间等能面为球面，二等能面间 体积 v=4k2dk dk= 2m 1 2 E 1 2dE 考虑到自旋， v 内的状态数 d Z= 2 2 3 Vc () 4k2dk D= 2 1 3 2 3 )2(4 E h mV dE dz c 对索未菲自由电子 Ef= m k f 2 22 T0 时 电子均有费米球内 f = 1 1 / )( KTEE f e =1 常温时.费米能级略有下降，电子仍基本均在费米球内 电子数 N= 0 fDdE= 0 Ef DdE = 0 Ef 2 1 3 2 3 )2(4 E h mVc dE = 2 3 3 2 )2( 4 2 3 3 f c Em h V = 3 3 )( 3 24 f c k h V = V K cf 3 2 3 又 价电子浓度 n= c V N 所以 Kf=(32 3 1 ) c V N = (32n)1/3 12.据上题，当电子浓度 n 增大时，费米球膨胀。证明当电子浓度 n 与原子浓度 na之比 n na =1.36 时，费米球与 fcc 第一布里渊区的边界接 触。 解：由教材 p181 图 620，f.c.c 的第一 B、Z 为 14 面体，14 面体表 面离中心T点最近的点为L点。 坐标为 2 a (1/2.1/2.1/2) TL距离为 2 a 3 4 = a 35.4/a 由上题费米球半径为 Kf=(32n)1/3 f. c.c 原子密度为 3 4 a na 当 n=1.36na136 4 3 . a 时 Kf=(32 1364 3 . a )1/35.4/a 所以费米球与 f.c.c 的第一 b.z 相切。 Cu 的费米能 Ef=7.0ev，试求电子的费米速度 Vf。在 273K 时，Cu 的电 阻率为 1.5610 -8 m,试求电阻的 0 平均自由时间 和平均自 由程。 解：对金属处于费米面上的电子，其能量 m K Ef 2 22 其速度 m E m K V ff f 2 又因为 f f f mEmV K 2 由第 9 题 又有 Kf（3 2n e） 1/3 比较以上二式可得价电子密度 32 32 3 f