《现代控制理论》课后习题答案.pdf

现代控制理论第二章习题解答现代控制理论第二章习题解答 2.1 试叙述处理齐次状态方程求解问题的基本思路试叙述处理齐次状态方程求解问题的基本思路? 答：答：求解齐次状态方程的解至少有两种方法。一种是从标量其次微分方程的解推广得到，通 过引进矩阵指数函数，导出其次状态方程的解。 另一种是采用拉普拉斯变换的方法。 2.2 叙述求解预解矩阵的简单算法，并编程计算例叙述求解预解矩阵的简单算法，并编程计算例 2.1.1 中的预解矩阵。中的预解矩阵。 答：答：根据定义，为 1 1 ()adj( det() )sIAsIA sIA = (1) 式（1）中的adj()sIA和det()sIA可分别写成以下形式： 12 12 adj() nn nn sIAHsHsH =+? 0 0 (2) 1 1 det() nn n sIAsasa =+? (3) 将式（1）两边分别左乘det(，并利用式（2）和（3） ，可得 )()sIA sIA 12 1012101 ()() nnnn nnnn0 IsaIsa IHsHAHsHAH sAH +=+? (4) 上式左右两个多项式矩阵相等的条件是两边的系数矩阵相等，故 i s 1 21 011 00 0 n nnn HI HAHa HAHa I AHa I = =+ =+ =+ ? 1I 1 (5) 由此可以确定式（2）中的系数矩阵 0,n HH ?。另一方面，可以证明式（3）中的系数 可通过以下关系式来求取： 0,n aa ? 1 1 22 11 00 ( ) 1 () 2 1 () 1 1 () n nn atr A atr AH atr A n atr AH n = = = = ? H (6) 利用式（5）和（6） ，未知矩阵和可以交替计算得到，从而可求出预解矩阵 i H i a 1 ()sIA 的解。 求解预解矩阵 1 ()sIA 的 Matlab 程序为: function invsia A=1,1,0;3,-1,-2;0,0,-3; b=length(A(1,:); %确定 H 和 a% H=eye(b); J=eye(b); J0=eye(b); a(1)=-trace(A); J=A*J0+a(1)*eye(b); J0=J; H=H,J; a(2)=-trace(A*J)/2; J=A*J0+a(2)*eye(b); J0=J; H=H,J; a(3)=-trace(A*J)/3; %计算出 sI-A 的行列式% num=1,a(1),a(2),a(3); den=1 G1=tf(num,den) %计算出 sI-A 的伴随矩阵% for i=1:b for j=1:b num=H(i,j),H(i,j+b),H(i,j+2*b); G(i,j)=tf(num,den) end end %计算 inv(SI-A)% invsia=G/G1 2.3 状态转移矩阵的意义是什么？列举状态转移矩阵的基本性质。状态转移矩阵的意义是什么？列举状态转移矩阵的基本性质。 答：答： 状态转移矩阵的意义是：它决定了系统状态从初始状态转移到下一个状态的规 律， 即初始状态 0 ()A t-t e 0 x在矩阵的作用下， 时刻的初始状态 0 ()A t-t e 0 t 0 x经过时间后转移到了 时刻的状态 0 ttt ( )x t。 以为初始时刻的状态转移矩阵具有以下基本性质： 0t =( ) At te= (1) ( )( )tAt= ? (2) 对任意的 和， ts()( )(tsts+= ) (3) 对于任意的t， 1( ) ()tt = 2.4 线性定常系统状态转移矩阵的计算方法有哪几种？已知状态转移矩阵，写出齐次状态 方程和非齐次状态方程解的数学表达式。 线性定常系统状态转移矩阵的计算方法有哪几种？已知状态转移矩阵，写出齐次状态 方程和非齐次状态方程解的数学表达式。 答：答：线性定常系统状态转移矩阵的计算方法主要有以下 4 种： (1) 直接计算法 (2) 通过线性变换计算 (3) 通过拉普拉斯变换计算 (4) 凯莱哈密顿法 已知状态转移矩阵，则齐次状态方程和非齐次状态方程解的数学表达式分别为： 0 () 0 ( )( ) A t t x tex t = 和 () 0 ( )(0)( ) t AtA t x te xeBud =+ 2.5 试求下列矩阵试求下列矩阵A对应的状态转移矩阵对应的状态转移矩阵( )t。 (1) ， (2) 01 02 A = = 01 40 A = = ， (3) 01 12 A = = ， (4) ， (5) 010 001 254 A = = 0100 0010 0001 0000 A = = ， (6) 000 01 001 000 A 0 = = 答：答： （1） 11 ( )()tLsIA = 1 2 21 1 0 s L sss + = + 1 11 (2) 1 0 2 ss s L s + = + 2 2 11 1 22 0 t t e e = （2） 由凯莱-哈密尔顿定理，可得 01 (0)( ) At eaIa t=+A 系统的 2 个特征值为 1 2 j=， 2 2j= ，故 1 011 ( )( ) t ea ta t =+ 2 012 ( )( ) t ea ta t ，=+ =+ 2 cos(2 )sin(2 ) jt etjt = 且 2 cos(2 )sin(2 ) jt etjt, 解以上线性方程组，可得 22 0 22 1 ( )cos(2 ) 2 1 ( )sin(2 ) 22 jtjt jtjt ee a tt ee a tt + = + = 因此， 11 cos(2 )00sin(2 )cos(2 )sin(2 ) ( )22 0cos(2 ) 2sin(2 )02sin(2 )cos(2 ) ttt t t tt t t =+= （3） 系统的特征多项式是 2 det()21IA=+ 因此，矩阵A有一个二重特征值1= 。根据线性代数的知识可知变换矩阵 11 101010 1111 T = 1 满足 1 11 01 TATJ = 而 0 tt Jt t ete e e = 故系统的状态转移矩阵为 1 1010 ( ) 11110 ttttt Jt tt eteetete tT e T etete tt e + = + （4） 系统的特征多项式是 322 det()452(1) (2)IA=+= 因此，系统状态矩阵的特征值是 12 1=， 3 2=。应用凯莱哈密尔顿方法得： 1 2 0112 ( )( )( ) t ettt 1 =+ 1 12 ( )2( ) t tett 1 =+ 3 2 01323 ( )( )( ) t ettt =+ 将 12 1=， 3 2=代入，得到 012 ( )( )( ) t ett=+t t t t A 2 2 2t 12 ( )2( ) t tett=+ 2 012 ( )2( )4( ) t ett=+ 解以上线性方程组，可得： 2 0( ) 2 tt ttee= + 2 1( ) 232 tt tetee=+ 2 2( ) tt tetee= + 故 2 012 ( )( )( )( )tt It At=+ 22 22 22 2(32)2(1) 2(1)2(35)4(2)2 2(2)4(38)8(3)4 tttttt tttttt ttttt teeteetee t eeteetee t eeteetee + = + + （5） 由于A为约旦标准型，因此可直接得到: 23 2 11 1 26 1 01( ) 2 001 0001 ttt ttt t = （6） 由于A为约旦标准型，因此可直接得到: 2 1000 1 01 ( )2 001 0001 t tt te t = 2.6 试求状态转移矩阵试求状态转移矩阵 22 22 2 ( ) 552 tttt ttt eeee t eeee = + = + t t t 的逆矩阵。的逆矩阵。 1( ) t 答：答：由可得： 1( ) ()t = 22 1 22 2 ( )() 552 tttt ttt eeee tt eeee = = + 2.7 一个振动现象可以由以下系统产生一个振动现象可以由以下系统产生 01 10 xx = = ? ? 证明该系统的解是证明该系统的解是 cossin ( )(0) sincos tt x tx tt = = 并用并用 MATLAB 观察其解的形状。观察其解的形状。 答：答：考虑齐次状态方程 01 10 xx = ? 容易得到系统状态矩阵的两个特征根是 1 j=， 2 j= ，故 01 ( )( ) jt ea ta t=+jj =+cossin jt jt = ， 01 ( )( ) jt ea ta t = 而 cossin jt etjt，et 因此，。由此得到状态转移矩阵 0( ) cosa tt= 1( ) sina tt= 01 ( )(0)( ) At teaIa t A=+ cossin sincos tt tt = 系统的解是 cossin ( )(0) sincos tt x tx tt = 假设初始条件，用 Matlab 观察该系统解的形状。程序代码如下： 0 (0) 1 x = a=0 1;-1 0; b=0; 0; c=0 0; d=0; x0=0;1; y,x,t=initial(a,b,c,d,x0); plot(t,x(:,1),k,t,x(:,2),k:) xlabel(time(sec) ylabel(x1(solid),x2(dotted) 由此得到的图形为： 0510152025303540 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 time(sec) x1(solid),x2(dotted) 读者可自行更改初始条件(0)x的取值。 2.8 给定线性定常系统给定线性定常系统 01 32 xx = = ? ? 且初始条件为且初始条件为 1 (0) 1 x = = 试求该齐次状态方程的解。试求该齐次状态方程的解。 ( )x t 答：答： 由，可得 2 1 det()23 32 IA =+ + A的两个特征根： 1 12j= + 2 12j= 由凯莱-哈密尔顿定理可得： ( 12 ) 01 ( )( )( 12 ) j t ea ta t + =+ +j ( 12 ) 01 ( )( )( 12 ) j t ea ta t =+ j A 01 (0)( ) At eaIa t=+ 进一步可得： 2 011 ( )( )2( ) tjt e ea ta ta t j =+ 2 011 ( )( )2( ) tjt e ea ta ta t j = 再结合： 2 cos( 2 )sin( 2 ) jt etj=+t 2 cos( 2 )sin( 2 ) jt etj =t 由以上线性不等式组可得： 0 2 ( )cos( 2 )sin( 2 ) 2 t a tett =+ , 1 2 ( )sin( 2 ) 2 t a tet = 故， ( )( ) 01 At eat Ia t=+A ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01 01 00 032 ata t ata ta t =+ 1 ( )( ) ( )( )( ) 01 101 32 ata t a tata t = 22 cos( 2 )sin( 2 )sin( 2 ) 22 3 22 sin( 2 )cos( 2 )sin( 2 ) 22 t ttt e tt + = t ( )(0) At x te x= 22 cos( 2 )sin( 2 )sin( 2 ) 1 22 1 3 22 sin( 2 )cos( 2 )sin( 2 ) 22 t ttt e ttt + = cos( 2 ) cos( 2 )2sin( 2 ) t t e tt = 2.9 已知二阶系统的初始状态和自由运动的两组值：已知二阶系统的初始状态和自由运动的两组值： xAx=?=? 11 22 (0),( ) 1 t t e xx t e = = ； 22 12 (0),( ) 1 tt tt ete xx t ete + = + = + + 求系统的状态转移矩阵和状态矩阵。求系统的状态转移矩阵和状态矩阵。 答：答： 由，而 1212 ( )( )(0)(0) At x tx texx= 12 21 (0)(0) 11 xx = 是非奇异的，故 1 1212 ( )( )(0)(0) 1122 12 24 2 At ttt ttt ttt ttt ex tx txx eete eete etete teete = + = + = + 因此， 0 34 11 At t d Ae dt = = 2.10 为什么说状态转移矩阵包含了系统运动的全部信息， 可以完全表征系统的动态特性？为什么说状态转移矩阵包含了系统运动的全部信息， 可以完全表征系统的动态特性？ 答：答： 因为由状态转移矩阵可以确定系统的状态矩阵， 0 ( ) t t = A= ? ，而系统的状态转移矩阵 决定了系统自由运动的全部信息。 2.11 试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的状态矩阵试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的状态矩阵A。 (i) ， (ii) 100 ( )0sincos 0cossin tt tt = = t 2 2 10.5(1) ( ) 0 t t e t e = = 答：答：(i) 由于(0)I，所以不满足状态转移矩阵的条件。 ( )t (ii) 由于，所以满足状态转移矩阵的条件。 10 (0) 01 = 根 据计 算 对 应 的 状 态 矩 阵 。 当( )( )tAt= ? 0t =时 ，。 由 于 ， 因此 (0)A= ? 01 (0) 02 = ? 01 (0) 02 A = = ? 2.12 给定矩阵给定矩阵 A = = 证明证明: cos()sin() exp sin()cos() tt tt ete t ete t t = = 证明证明: 1 1 () s sIA s = 22 1 () s ss = + 故 11 cos()sin() exp() sin()cos() Att tt teLsIA tt e = 2.13 一般线性系统状态方程的解有哪几部分组成？各部分的意义如何？一般线性系统状态方程的解有哪几部分组成？各部分的意义如何？ 答：答： 一般线性系统状态方程的解由两部分组成，第一部分是系统自由运动引起的，是初始 状态对系统运动的影响；第二部分是由控制输入引起的，反映了输入对系统的影响。两部分 叠加构成了系统的状态响应。 2.14 考虑由下图给出的控制系统考虑由下图给出的控制系统 控 制 器被 控 对 象 + R(s) _ Y(s) 图 2.8 控制系统结构图 其中：控制器的传递函数是其中：控制器的传递函数是 1 ( ) 1 K s s = = + + 被控对象的传递函数是被控对象的传递函数是 2 1 ( ) 24 G s ss = = + + + 试分别确定控制器和被控对象的状态空间模型， 进而利用函数试分别确定控制器和被控对象的状态空间模型， 进而利用函数 series 和和 feedback 给出 闭环系统的状态空间模型，并画出闭环系统状态的脉冲响应图。 给出 闭环系统的状态空间模型，并画出闭环系统状态的脉冲响应图。 答答: 由控制器的传递函数可得其状态空间模型： xxu yx = + = ? 由被控对象的状态空间模型可得其状态空间模型： 010 421 10 xxu yx =+ = ? 编写并执行下列的 m-文件： A1=-1; B1=1; C1=1; D1=0; sys1=ss(A1,B1,C1,D1); A2=0 1;-4 -2; B2=0;1; C2=1 0; D2=0; sys2=ss(A2,B2,C2,D2); sys3=series(sys1,sys2); sys=feedback(sys3,1) impulse(sys) 得到下列结果： 010 421 101 a = ， 0 0 1 b = ， 100c =， 0d = 闭环系统的脉冲响应如下图所示 0123456 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 Impulse Response Time (sec) Amplitude 2.15 已 知 线 性 定 常 系 统 的 状 态 方 程 为已 知 线 性 定 常 系 统 的 状 态 方 程 为 010 231 xxu =+ =+ ? ?， 初 始 条 件 为 。若系统的输入为单位阶跃函数，试求状态方程的解。 ， 初 始 条 件 为 。若系统的输入为单位阶跃函数，试求状态方程的解。 1 (0) 1 x = = 答：答： 容易求出A的两个特征值为 1 1= ， 2 2= ，变换矩阵为 1 1121 1211 T = 所以 1 22 112100 121100 tt At tt ee eTT ee = 22 22 2 222 tttt tttt eeee eeee = + 单位阶跃输入的状态响应为 ( )( ) (0)()( ) 0 t x tt xtBud= + ()2()()2() ()2()()2() 02 (0)1( ) 01222 tttt At tttt teeee e xd eeee =+ + 22()2() 1 22()2( 2 (0)2 (0)02222 tttttt tttttt xteeeeee d xeeeeee ) =+ + 222 1 22 2 2 11 (0)2 22 (0)222 tttttt tttt tt xeeeeee xeeee ee + =+ + 由初始状态为，故状态方程的解为 1 (0) 1 x = 2 1 2 2 11 ( ) 22 ( ) t t x te x t e + = 2.16 连续时间状态空间模型离散化时需要注意哪些问题？连续时间状态空间模型离散化时需要注意哪些问题？ 答：答： 需要注意的问题有 (1) 采样脉冲宽度要比采样周期小很多，这样才可以不考虑脉冲宽度的影响； (2) 采样周期应该满足香农采样定理，以使得采样信号包含连续信号尽可能多的信息，从而 可以从采样得到的离散信号序列中完全复现原连续信号； 2.17 已知线性定常连续系统的状态空间模型为已知线性定常连续系统的状态空间模型为 100 ,10 021 xxuy =+= ? =+= ?x， 设采样周期设采样周期1T =秒，试求离散化状态空间模型。秒，试求离散化状态空间模型。 答答: A为非奇异矩阵，所以 2 0 ( ) 0 T AT T e G Te e = 1 ( ) ( )H TAG TI B = 2 10 010 1 1001 2 T T e e = 2 0 11 22 T e = + 由，可得 1T = 1 2 0 (1) 0 e G e = ， 2 0 (1) 11 22 H e = + 故离散化后的状态空间模型为 1 22 0 0 (1)( )( 11 0 22 e )x kx k ee +=+ + u k 2.18 试求以下线性时不变状态方程试求以下线性时不变状态方程 010 ( )( )( ) 021 x tx t =+ ? =+ ?u t 的离散化方程，假定采样周期的离散化方程，假定采样周期1T = =秒。秒。 答：答： 由 1 21 1 () 0(2) s sIA ss s + = + 10.50.5 2 1 0 2 sss s + + = + 可得 2 11 2 11 1 ()22 0 t At t e eLsIA e + = 2 2 11 1 ( )22 0 T AT T e G Te e + = 22 0 22 11 (1)(1 0 2424 ( )() 111 0(1)(1) 22 TT T A TT TT Tee H TedB ee =