四川大学理论力学课后习题答案第1周习题解答.pdf

静力学习题及解答静力学基础 第 1 周习题为 1.21.9； 1.101.12 为选作。 rFrF= 21 ，或者由rFrF= 21 ，不能断定 21 FF =。 1.1 举例说明由 0 21 =rFrF 21 FF解：若与都与 1 F 2 Fr垂直，则，但显然不能断定=； 若与都与 1 F 2 Fr平行，则0 21 =rFrF，也不能断定 21 FF =； 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 静力学习题及解答静力学基础 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 1.2 给定力)32(3kjiF+=)6, 4, 3，其作用点的坐标为(。已知轴上的 单位矢量 OE )( 3 3 kjie+=，试求力F在OE轴上的投影以及对OE轴之矩。 解：力F在OE轴上的投影 4321)( 3 3 )32(3=+=+=kjikjieF OE F 力F对坐标原点O之矩 )1015(3 33323 643)(kj kji Fm= = O 根据力系关系定理，力F对OE轴之矩 51015)( 3 3 )1015(3)()(=+=kjikjeFmF OOE m 静力学习题及解答静力学基础 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 1.3 长方体的长、宽和高分别为cm8=a、cm4=b、cm3=h，力和分别作 用于棱角 1 F 2 F A和B，方向如图示，且N10 1 =F，N5 2 =F。试求在图示各坐标轴 上的投影和对各坐标轴之矩。 1 F 2 F 解：力在坐标轴上的投影 1 F 8.48NN 89 80 1 222 1 = + =F hba a F x N24. 4N 89 40 1 222 1 = + =F hba b F y N18. 3N 89 30 1 222 1 = + =F hba h F z 力在坐标轴上的投影 2 F 0 2 = x F N4 2 22 2 = + =F hb b F y N3 2 22 2 = + =F hb h F z 2 F ) 3 , 0 , 8(), 0 ,=ha 2 F力作用线上的B点坐标为(，则对坐标原点之矩为 O cmN)322412( 340 308)( 2 += =kji kji FmO 2 F cmN12)( 2 根据力系关系定理，对各坐标轴之矩为 =F x mcmN24)( 2 ，cmN32)( 2 =F z m =F y m， 静力学习题及解答静力学基础 1.4 轴AB在平面内， 与铅锤的AyzAz轴成角。 悬臂CD垂直地固定在AB轴上， 与平面成Ayz角，如图所示。如在D点作用铅直向下的力。并设 P FaCD =， hAC =，试求力对 P FA点之矩及对AB轴之矩。 解：由于力平行于 P Fz轴，所以，0 PP = yx FF PP FF z =， ， 0)( PPP = yxz yFxFm F )( P F x m和只与)( P F y mD的x及y坐标有关。 D的x坐标：sina； D的y坐标：coscossinah+； P F对x轴之矩：)coscossin()( PP ahFmx+=F； P F对y轴之矩：sin)( PP aFmy=F； 所以对点 P FA之矩为：jFiFFm)()()( PPPyxA mm+= )cos(sinkje+=轴AB的方向向量： 于是得到对轴 P FAB之矩：sinsin)()( PPP aFm AAB =eFmF 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 静力学习题及解答静力学基础 1.5 正三棱柱OABCDE的高为cm210，底面正三角形的边长为。大小为 的力作用于棱角 cm10 N10 P FD，力的作用线沿侧面的对角线DB，如图示。设沿图示 各坐标轴的基矢量为 、和，试求力的矢量表示，以及力对点之矩 和对轴之矩。 ijk P F P FO CE 解：D点坐标： 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 )0 ,10,210(；B点坐标：)35 , 5 , 0(； ) 2 1 , 6 3 , 3 6 (= DB n矢量DB的单位矢量：； N )5 3 35 3 610 ( PP kjinF+= DB F所以力的矢量表示为： P F P F对O点之矩(取点B为作用点) P F cmN )6 3 50 25050( 5 3 35 3 610 3550)( P += =kji kji FmO P F 而对C点之矩(取点D为作用点) P F cmN )6 3 100 50( 5 3 35 3 610 )( P += =ki kji Fm CDCDCDC zzyyxx P F 而对CE轴之矩： cmN 250 ) 2 3 2 1 ()6 3 100 50()()( PP = +=kjkinFmF CECCE m 静力学习题及解答静力学基础 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 1.6单位矢量分别为和的两相交轴的夹角为 1 e 2 e，处于两轴所在平面内的力F 在这两轴上的投影分别为和，试求力 1 F 2 FF的矢量表示。 解法1：构建两个正交的单位矢量，并用此二矢量来表达力F。 由题意知， 11 F=eF， 22 F=eF。 若令ie= 1 ，则问题的关键在于寻求与 垂直的单位矢量。 ij 定义矢量 j ： 121122 cos)(eeeeeej=，即图中的黑色矢量。显然有： j 0coscos)cos( 121 =eeeji，及与(或)垂直。 1 ei 定义为j j 的归一化矢量： sin cos 12 ee j j j = =，(注意图中的几何关系) 于是得到力F在两正交方向上的投影： 11 FFi=eFiF sin cos sin cos 1212 FF Fj = = ee FjF 最终，力F的矢量表示为 2 2 12 1 2 21 2 1212 11 sin cos sin cos sin )cos)(cos( ee ee ejiF FFFFFF FFF ji + = +=+= 解法2：也可将力F通过e和e方向上的两个分力来表示，如图 12 根据几何关系，有： 243 143 cos cos F F =+ =+ FF FF 联立求解后，得： 2 12 4 2 21 3 sin cos sin cosFFFF = =FF 因此，力F的矢量表示为 2 2 12 1 2 21 2413 sin cos sin cos eeeFeFF FFFF + =+= 静力学习题及解答静力学基础 1.7给定三力：kjiF543 1 +=，作用点为；F) 1 , 2 , 0(kji622 2 +=，作用点为 )4 , 1, 1 ( ；kjiF23 3 +=，作用点为。试求力系的主矢，及其对坐标原点 的主矩。 ) 1 , 3 , 2( O 解：主矢kjFF+= 3 iR 主矩kji kjikjikji M9413 231 132 622 411 543 120= + += O 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 静力学习题及解答静力学基础 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 1.8如图所示，已知aOBOA=，aOC3=，力、和的大小均等于。 试求力系的主矢，及其对坐标原点的主矩。 1 F 2 F 3 F P F O 解： 1 F的矢量为：) 2 2 2 2 ( P ji +F； ) 2 3 2 1 ( P kj +F 2 F的矢量为：； ) 2 3 2 1 ( P ki F 3 F的矢量为：； )( 2 21 jiFF = iR 力系的主矢 )233( 2 2 3 0 2 1 300 2 3 2 1 0 00 0 2 2 2 2 00 P PP PPPP kji kjikjikji M += + + = aF FF a FF a FF a O 主矩 静力学习题及解答静力学基础 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 1.9如图所示，已知aOCOBOA=， P321 FFFF=。试求力系的主矢，及 其对坐标原点的主矩。 O 解： 1 F的矢量为：) 2 2 2 2 ( P ji +F； 2 F的矢量为：) 2 2 2 2 ( P kj +F； ) 2 2 2 2 ( P ki F 0= 3 F的矢量为：； iR FF 力系的主矢 )( 2 2 2 2 0 2 2 00 2 2 2 2 0 00 0 2 2 2 2 00 P PPPPPP kji kjikjikji M += + = aF FF a FF a FF a O 主矩 静力学习题及解答静力学基础 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 1.10证明：任意给定力系对空间任意两点的主矩在这两点连线上的投影彼此相 等。 证明： 如图，任取两点A、B，力对其矢径分别为和。对 i F Ai r Bi rA和B点主矩分 别为 = i iAiA FrM； = i iBiB FrM 注意到 BiABAi rrr+= 由于 i iAB Fr与和 AB r i i F都垂直，因此有 ABBABB i iABABA rMrMFrrM=+= )( 由此得证。 静力学习题及解答静力学基础 1.11证明：力系的主矢和主矩的标积是一个与矩心位置无关的常数。 i iAB Fr与 i i F垂直，因此有 证明：接上题，由于 =+= i iB i iB i iAB i iA FMFMFrFM)( 所以A、B的任意性，可知力系的主矢与主矩之标级与矩心为之无关。 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 静力学习题及解答静力学基础 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 1.12试证明三力平衡汇交定理：刚体受不平行三力作用而平衡时，此三力的作用 线必汇交于一点(提示：首先证明此三力共面) 证明：设三力为、和，由于三力平衡，因此该力系的主矢为零，主 矩也为零。 1 F 2 F 3 F 1 FF= R 考察和构成的子力系，显然，该子力系的主矢为 2 F 3 F，对力作 用线上任意点 1 F A的主矩0= A M。 再考察该子力系对力作用线上任意点 2 FB的主矩：)( 3 FmM BB =，即，该 子力系对点B的主矩就是力对 3 FB之矩。 根据题1.11的结论，有 13) (0FFmFMFM= BRBRA 即，对 3 FB之矩与垂直。显然，位于点 1 F