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第 5 章习题解答 第 5 章习题解答 5.1 证明：(1)偶函数的希尔伯特变换为奇函数； (2)奇函数的希尔伯特变换为偶函数。 证明: （1）设( )x t为偶函数,则 1 ( ) ( )x tx t t = 111 ()()( )( )( ) ()() xtxtx tx tx t ttt = = 所以 ( ) x t为奇函数。 （2）设( )x t为奇函数,则 1 ( ) ( )x tx t t = 111 ()()( )( )( ) ()() xtxtx tx tx t ttt = = 所以 ( ) x t为偶函数。 5.2 设( )A t与( ) t为低频信号，证明 (1) )(sin)()(cos)( 00 tttAtttAH+=+ (2) )(cos)()(sin)( 00 tttAtttAH+=+ 5.3 证明广义平稳过程( )X t与其希尔伯特 ( ) X t的相关函数存在下述关系： (1)( XX R= -)( X R (2)( XX R= )( X R (3)( X R=)( X R (4)( XX R是奇函数。 证明: (1) )( )( 1 )()()()( XXX XX RRhRR= = (2) )( 1 )()()()( XXX XX RRhRR= (3) 因为 )()()()( 2 XX X GHGG= 所以 )()( X X RR= (4) 由 1 ( )( )()( ) XX XX RRhR = )()()( 1 )( 1 )()( XX XXX XX RhRRRR= 即)( XX R是奇函数，因此 0)0()0( = XXXX RR 上式表明，)(tX与)( tX在同一时刻是正交的。 5.4 设( )X t的解析信号为 ( )( )( )Z tX tjX t=+， (1) 证明：)()( tZtZE= 2)( X R+ ( ) X jR (2) 证明：)()(tZtZE=0 (3) 求)(tZ的功率谱密度（假定)(tX的功率谱密度为)( X G） 。 解： （1） * ( ) ( )() Z RE Z t Zt= ? ? ( )( )( )()() Z REX tjX tX tjX t=+ ? )()()()( XXXXX X RRjRR+= 由于)()( X X RR=，)( )()( X XXXX RRR=，所以上式可简化为 ( )2( )( ) XX Z RRjR=+ ? （3） 对上式两边取傅立叶变换，得 ( )2( )sgn( )( ) XX Z GGG=+ ? = 00 0)(4 X G 上式表明，随机信号得的复信号形式，其功率谱密度在负频率为零，而在正频率为随机信号 功率谱的四倍。 5.5 5.5 设一个线性系统输入为( )X t时，相应的输出为( )Y t。证明若该系统的输入为( )X t的 希尔波特变换 ( ) X t，则相应的输出为( )Y t的希尔波特变换 ( ) Y t。 5.65.6在 复 随 机 过 程)(tZ=)(tX+)(tjY中 ， 如 果)(tZ的 均 值 )(tZE=)(tXE+)(tYjE=mZ是 复 常 数 ， 且)(tZ的 自 相 关 函 数 )()( tZtZE=)( Z R为仅于有关的复函数，则称)(tZ为复平稳随机过程。设 Ak(kn=12 , ,?)是n个实随机变量；k(kn=12 , ,?)是n个实数，试问Ak应该满足 怎样的条件才能使 )(tZ = = n k tj k k eA 1 是一个复平稳随机过程。 5.7 5.7 设有复随机过程 )(tZ=() = + n i iii tjt 1 sincos 其中i与k是相互独立的随机变量，i与 k 、i与k()ik是相互正交的，数学期 望和方差分别为 i E= i E=0, ii i 222 =。求其复随机过程的相关函数。 解： * 1212 1122 11 1122 1 1212 1 ( , ) ( )( ) cossincossin cossincossin coscossincos z nn iiiikkkk ik nn iiiikkkk ik nn ikikiikk ik ik R t tE Z t Zt Etjttjt Etjttjt Ettjtt j = = = = =+ =+ = + 1212 22 1212 2 12 cossinsinsin coscossinsin cos() ikikik n iiiiii k n ii k tttt tttt tt = = + =+ = 5.8 5.8 设信号( )X t的带宽限制在上，证明信号预包络模平方的带宽为 2。 证：)( )()( XjXX+=)()(2UX= 预包络平方的付立叶变换为： * 1 ( )( )()() 2 1 2() ()2() () 2 F x t x tXXd XUXUd = = ? ? 由于有 22 00 + 时)(X不为零，因此有 + + 22 22 00 00 时亦不 为零，即+ + 22 00 ，+ 00 22，可见频谱宽度为 2。 5.9 对于调频信号( )X t=cos( ) ct m t +，设 c dttdm/ )( ，即为窄带信号，求该信号的 复包络和包络的表示式。 解：预包络 ( ) ( )( )( )( ) cc jt m tjt X tX tjX teA t e + =+= ? 复包络 ( ) ( ) jm t A te= ? ，包络( ) |( )| 1A tA t= ? 5.10 5.10 证明(5.3.19)式和(5.3.20)式。 5.115.11 设功率谱密度为 0/2 N的零均值白高斯噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增 益为 1，中心频率为f，带宽为 2B。求滤波器输出的窄带过程( )n t和它的同相及正交分量 的自相关函数( ) n R、( ) c n R和( ) s n R。 解：由题可知，窄带过程的功率谱是以 0 f为中心频率，带宽为 2B。 令， 00 2f=，2 B= 0 0 0 0 11 ( )( )coscos 2 nn N RGdd + = = 0 00 sin ()sin () 2 N + = 0 0 2sincos 2 N = 0 0 sin cos N = 00 ( )cosR 由于 0 0 sin ( ) N R =是一个低频信号，所以 00 ( )( )sin n RR = 所以 000 ( )( )( )cos( )sin( ) cs nnnn RRRRR =+= 5.12 5.12 考虑图 5.22 所示的 RLC 带通滤波器。设滤波器的品质因数 Q1，输入是功率谱密度 为 0/2 N的零均值白高斯噪声 W(t)， 求滤波器输出端的窄带过程 n(t)和它的同相及正交分量 的功率谱密度( ) n R、( ) c n R和( ) s n R，并以图示之。 ( )W t( )N tR C 图5.22 RLC带通滤波器 L ( )W t( )N tR C 图5.22 RLC带通滤波器 L 5.13 相 关 函 数 为( ) X R= 2| | 0 cos Xe 的 窄 带 平 稳 随 机 过 程 可 表 示 为 00 ( )( )cos( )sin cs X tA ttA tt= ，试在(1) n 0 ；(2) n 0 = 的条件下，分别求出 相关函数( ) c R ，( ) s R 及互相关函数( ) cs R。 解：( )x t的希尔伯特变换? 00 ( )( )sin( )cos cs x tA tw tA tw t=+ 因为 00 ( )( )cos( )sin cs x tA tw tA tw t= ? ? 00 00 ( )( )cos( )sin ( )( )sin( )cos c s A tx tw tx tw t A tx tw tx tw t =+ = + ( )( )() ccc RE A t A t= = ? () ? () 0000 ( )cos( )sin()cos()()sin()Ex tw tx tw tx twtx tw t+ = ? 00 ( )cos( )sin( ) xxs Rw tRw tR t+= （上述推倒利用了 ? ( )( ) x x RR=， ? ? ( )( )x xx RR= ， ? ? ( )( )x xx RR=等性质。 ） 同理， ? 00 ( )( )()( )sin( )cos cscsxx RE A t A tRw tRw t= 2 0 ( )cos xx Rew =是窄带平稳过程的自相关函数。 2 x e 是其慢变化部分。 ? 2 0 ( )sin xx Rew = （1） 当 00 ww时 2 00 ( )( )cos() csx RReww = 0000 ( )(sincoscossin) cs Rww tw tw t= 2 00 sin() x eww = （2） 当 00 ww=时 2 ( )( ) csx RRe = ( ) cs R=0 5.14 考虑窄带高斯过程 ( )( )cos( )sin cc n tX ttY tt=，假定谱密度对称于载频 c ， 求概率密度( ,) tttt f x xy y 。 解: fxxyy rr XYtttt (,) ()( ) exp ( ) = 1 21 1 21 24222 xyxyrx xy y tttttttt 2222 2+ ( )() 其中( )( )( ) 222 , YXYX rrr= 5.15 5.15 设( )A t为平稳的窄带正态过程的包络，试证： ( ) 2 X E A t =， 22 ( )2 2 AX D A t = 其中 X 2 为正态过程的方差。 5.16 5.16 变量为 2变量的平方根，证明n 个自由度的变量的概率密度为 ( )f e n n n = 12 2 2 2 2 2 / 5.17 5.17 证明n个自由度的 2变量的第m阶中心矩为 2 22 1 2 1 m nnn m + + ? 5.18 5.18 一检波器如图 5.23 所示，其中非线性器件部分的传输特性为ybx= 2 。设输入信号 ( )X t为一窄带正态噪声，且可表示为( )X t=( )cos( ) c V ttt+，其概率密度为 ( ) 2 2 1 exp 22 X X X x fx = 求( )Z t的概率密度、均值和方差。 ( )Y t 图5.23 检波器示意图 ( )X t 平方律器件理想低通 ( )Z t ( )Y t 图5.23 检波器示意图 ( )X t 平方律器件理想低通 ( )Z t 解：易得 2 ( )( )/2Z tbVt=，又由包络瑞利分布可得包络平方概率密度，进而可得 22 1 ( )exp() Z XX z fz bb =，通过概率密度可得其均值和方差分别为 224 , XX bb。 5.19 5.19 在平方律包络检波器输入端加一窄带随机电压信号，其包络)(tA服从瑞利分布 = 2 2 2 2 exp)( AA Af， 0A 求在)( 2 )( 2 2 tAtY =时，检波器)(tY输出的概率密度)(tfY、均值和方差。 解：由 2 22 ( )exp,0 2 AA f AA =可得 2 ( )( )U tA t=概率密度为 22 1 ( )exp,0 22 u f uu = 进一步可得 2222 1 ( )exp,0 Y y fyy = 直接利用概率密度求解均值可得： 22 Y m = 进而可得其均方值为 44 2 ，方差为 44 。 5.20 5.20 同步检波器如图 5.24 所示，设( )X t为一窄带平稳噪声，其相关函数为 )( X R= 2| | 00 0 cossin| Xe + ， 0 而 0 ( )sinY tAt=为一确定性信号，求同步检波器输出端的平均功率 z P。 ( )Z t 图5.24 同步检波器示意图 ( )X t 低通滤波器 ( )Y t ( )Z t 图5.24 同步检波器示意图 ( )