第八章陈家璧版光学信息技术原理及应用习题解答.pdf

1 第八章习 题解答 81 利用 4f 系统做阿贝波特实验，设物函数 t（x1，y1）为一无限大正交光栅 )comb()rect()comb()rect(),( 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 11 11 b y a y bb x a x b yxt 其中 a1、a2分别为 x、y 方向上缝的宽度，b1、b2则是相应的缝间隔。频谱面上得 到如图 8-53（a）所示的频谱。分别用图 8-53（b） （c） （d）所示的三种滤波器进行滤 波，求输出面上的光强分布（图中阴影区表示不透明屏） 。 （a）（b）（c）（d） 图 8.53（题 8.1 图） 答：根据傅里叶变换原理和性质，频谱函数为 T ( fx, fy) = t ( x1, y1) = 1 1 b )rect( 1 1 a x )comb( 1 1 b x 2 1 b )rect( 2 1 a y )comb( 2 1 b y 将函数展开得 T ( fx, fy) =+)()sinc()()sinc()sinc( 11 1 11 1 1 1 1 b 1 b 1 - xxx f b a f b a fa b a +)()sinc()()sinc()sinc( 22 2 22 2 2 2 2 b 1 b 1 - yyy f b a f b a fa b a （1）用滤波器（b）时，其透过率函数可写为 2 1 1 11/0 (,) 01/ xy xy xy fbf F ff fbf 任何值 滤波后的光振幅函数为 TF =)()()sinc( 111 1 1 1 b 1 b 1 -+ xx ff b a b a 输出平面光振幅函数为 t （x3，y3）= -1 TF =)(exp)()expsinc( 1 3 1 3 1 1 1 1 b 2 - b 2x j x j b a b a + =)(cos)sinc( 1 3 1 1 1 1 b 22x b a b a 输出强度分布为 I（x3，y3）=)(cos)(sinc 1 32 1 12 2 1 2 1 b 24x b a b a =)cos()(sinc 1 3 1 12 2 1 2 1 b 42x b a b a - C 其中 C 是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。 （2）用滤波器（c）时，其透过率函数可写为 1,0 (,) 00 xy xy xy ff F ff ff 滤波后的光振幅函数为 TF =+)()sinc()()sinc( 11 1 11 1 1 1 b 1 b 1 - xx f b a f b a b a +)()sinc()()sinc( 22 2 22 2 2 2 b 1 b 1 - yy f b a f b a b a 输出平面光振幅函数为 t （x3，y3）= -1 TF = )(rect 1 3 1 1 a x b )comb( 1 3 b x -)rect( 1 3 1 1 b x b a 3 )(rect 2 3 2 1 a y b )comb( 2 3 b y -)rect( 2 3 2 2 b y b a 输出强度分布为 2 3333 (,)(,)I xyt xy 有两种可能的结果，见课本中图 89 和图 810。 （3）用滤波器（d）时，输出平面将得到余弦光栅结构的强度分布，方向与滤波狭缝方向垂 直，周期为 b ，它与物光栅周期 b1、b2的关系为 2 2 2 1 111 bbb += 82采用图 8-53（b）所示滤波器对光栅频谱进行滤波，可以改变光栅的空间频率，若 光栅线密度为 100 线/mm，滤波器仅允许 + 2 级频谱透过，求输出面上干板记录到的光栅的 线密度。 答：根据对 81 题的分析，当滤波器仅允许+ 2 级频谱通过时，输出平面上的光振幅应表 达为 t （x3）= -1 )()()sinc( 111 1 22 - b f b f b a xx + = 1 3 1 1 1 1 42 b x b a b a cos)c(sin 其振幅分布为一周期函数，空间频率是基频的 2 倍。而干板记录到的是强度分布： I = 1 32 1 12 2 1 2 1 44 b x b a b a cos)(sinc = 1 3 1 12 2 1 2 1 82 b x b a b a cos)(sinc- C 其中 C 是一个常数。 故干板上记录到的光栅频率是基频的 4 倍，即 400 线/mm。 4 83在 4f 系统中，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数 d = 4，线宽 a =1，最 大透过率为 1，如不考虑透镜有限尺寸的影响， （a）写出傅里叶平面 P2上的频谱分布表达式； （b）写出输出平面复振幅和光强分布表达式； （c） 在频谱面上作高通滤波， 挡住零频分量， 写出输出平面复振幅和光强分布表达 式； （d）若将一个位相滤波器 2200 22 exp(), (,) 0 jxyxy H xy 其它 放在 P2平面的原点上，写出输出平面复振幅和光强分布表达式，并用图形表示。 答：将 81 题结果代入，其中 b1= d = 4，a1= a = 1，除去与 y 分量有关的项，可得 （a）P2平面上的频谱分布为： )()sinc()()sinc()sinc()(+= 4 1 4 1 4 1 - 4 1 4 1 xxxx ffffT （b）输出平面： 复振幅t（x3）= -1T（fx） 若不考虑透镜尺寸的影响，它应该是原物的几何像，即 t (x3) =)rect( 3 4 1 x)comb( 4 3 x 光强分布I (x3) = | t (x3)| 2= )rect( 3 16 1 x 23 4 )comb( x (c)挡住零频分量，输出平面情况与 81 题（3）相同，即 t (x3) =)rect( 3 4 1 x)comb( 4 3 x -)rect( 44 1 3 x I = | t (x3) | 2 由于 a = d / 4，所以强度将出现对比度反转，像光栅常数仍为 d = 4，线宽为 a= 3，见下图 t（x3）I（x3） 0x3 0x3 （d）将一个位相滤波器置于零频上。滤波器可表达为 5 exp()0 (,) 1,0 xy xy xy jff H ff ff 只考虑一维情况，频谱变为 T （fx）= T（fx）H（fx） =)()sinc()()sinc()exp()sinc(+ 4 1 4 1 4 1 - 4 1 4 1 xxx ffjf =)()sinc()()sinc()sinc(+ 4 1 4 1 4 1 - 4 1 - 4 1 xxx fff 输出平面上的复振幅为 t (x3) = -1T（f x）H（fx） = -)rect()rect( 33 4 1 4 1 xx+)comb( 4 3 x -)rect( 44 1 3 x 84图 8-54 所示的滤波器函数可表示为： 10 (,)00 10 x xyx x f H fff f 此滤波器称为希尔伯特滤波器。 证明希尔伯特滤波能够将弱位相物体的位相变化转变为光强的变化。 yL1fyL2 xfx x y 图 题 8.4 答：位相物可表达为 t0（x1，y1）= Aexp j（x1，y1） 对于弱位相物有 1 弧度，上式近似为（忽略 A） t0（x1，y1） 1+ j（x1，y1） 6 滤波平面得到 T（fx，fy）= t0（x1，y1） =（fx，fy）+ j（fx，fy） 其中（fx，fy）= （x1，y1）。经希尔伯特滤波器，频谱面后的光 分布为(,)(,)(,) xyxyxy TffT ffH ff (,)0 00 (,)0 xyx x xyx jfff f jfff 像平面光场复振幅为 333 1 333 333 (,)0 (,) (,)00 (,)0 xy jxyx t xyTffx jxyx F 光强分布为 It t 2 333 3 2 333 (,)0 00 (,)0 xyx x xyx 85如图 8-55 所示，在激光束经透镜会聚的焦点上，放置针孔滤波器，可以提供一个比 较均匀的照明光场，试说明其原理。 针孔 激光器 题 8.5 图 答：在 8.55 图中，激光器通过两透镜产生平行光时会出现不均匀照明的主要原因常常是激 光器出射窗口及第一个透镜 L1表面上污物，使光束产生衍射造成的。这些衍射光不会会聚 L1 L2 7 到 L1焦点处，实际上是光束的高频分量。在针孔光栏的作用下，除了焦点处的光以外的高 频分量均不能通过 L2传播出去，就会减少造成光束不均匀的衍射光，从而减少照明光场中 的不均匀。 86光栅的复振幅透过率为 t（x）= cos 2f0x 把它放在 4f 系统输入平面 P1上， 在频谱面 P2上的某个一级谱位置放一块/ 2 位相板， 求像面的强度分布。 答：将复振幅透过率函数变换为 t（x）= cos 2f0x = 1+cos 2f0x / 2 其频谱为 T（fx）= t（x） 2 1 =（fx）+ 2 1 cos 2f0x = 2 1 （fx）+ 4 1 （fx- f0）+ 4 1 （fx+ f0） 其中第一项为零级谱，后两项以次为+1 级和-1 级谱。设将/ 2 位相板放在+1 级谱上，其透过率表达为 H（fx）= exp（j） 则频谱面 P2后的光振幅变为 T=TH = 2 1 （fx）+ 4 1 （fx- f0）exp（j）+ 4 1 （fx+ f0） = 2 1 （fx）- 4 1 （fx- f0）+ 4 1 （fx+ f0） 像平面光场复振幅为 t （x）= -1T = 2 1 - 4 1 exp（j2f0x3）+ 4 1 exp（-j2f0x3） = 2 1 - 2 1 j sin（2f0x3） 像平面强度分布为 8 I = t （x）2= t （x） t （x） = 4 1 1- j sin（2f0x3）1+ j sin（2f0x3） = 4 1 + 4 1 sin2（2f0x3） 像平面得到的仍是一周期函数，其周期缩小 1 倍，振幅减小 4 倍，本底也有所变化， 并且出现图形的横向位移，位移量为 1/2 周期。 87 用照相机拍摄某物体时，不慎因手动摄下重叠影像，沿横向错开距离 b。为改善此照片 质量，试设计一个逆滤波器，给出滤波函数。 答：假设横向错开距离的中点为坐标原点，且手动是匀速的，则手动造成的重叠影像相对应 的模糊缺陷点扩散函数可以表示为 1 ( )( ) I x h xrect bb 而传递函数为 ()() Ixx HfSinc bf 逆滤波器所要求的滤波函数为 1 () () x x H f Sinc bf 因为() x Sinc bf不是复函数，制作并不困难，但是如果考虑手动是个变速运动，点扩散函数 不在可以用rect函数表示，逆滤波器要考虑用（8.45）相应的方法制作。 88在用一维正弦光栅实现两个图象相加或相减的相干处理系统中，设图象 A、B 置于 输入平面 P1原点两侧，其振幅透过率分别为：tA（x1- l，y1）和 tB（x1+ l，y1） ；P2平面 上光栅的空间频率为 f0，它与 l 的关系为：f0= l /f，其中和 f 分别表示入射光的波 长和透镜的焦距；又设坐标原点处于光栅周期的 1/4 处，光栅的振幅透过率表示为： 2202 02 1 (,)1 exp(2) 22 exp(2) 2 G xyjf x jf x 试从数学上证明： 9 1）在输出平面的原点位置得到图象 A、B 的相减运算； 2）当光栅原点与坐标原点重合时，在输出平面得到它们的相加运算。 证明： （1）用一维正弦光栅实现两个图像相加或相减的相干处理系统如图 8.18 所示，只是 在本题中输入面坐标为 11 ( ,)x y，光栅面即频谱滤波面坐标 22 (,)xy，为了使输出为原图像而 不是放大或缩小的图像相加减需 23 fff，同时为统一用下标表示光场平面坐标，也将 图 8.18 所示输出坐标记为 33 (,)xy。 不失一般性， 假设对输入面的垂直照明光束为振幅为 1 的平面波， 因而输入面上出射的 光场复振幅分布即为 1111 (,)(,) AA txl ytxl y 经过透镜 2 L做傅立叶变换 22 (,)xy平面上得到的光场复振幅分布为： 22 1111 (,)(,)( ,)( ,) xx jlfjlf ABAxyBxy Ftxl ytxl yTffeTffe 式中 11 ( ,) AA TF tx y 11 ( ,) BB TF tx y 且 2 x x f f 2 y y f f 通过原点置于周期的 1/4 处的光栅以后，透过的光场复振幅分布为： 0 20 2 (2)(2) 22 22 1 (,)(,)1 2 xx jf xjf x jlfjlf AxyBxy TffeTffeee (2)(2) 22 22 1 (,)(,)1 2 xx xx jlfjlf jlfjlf AxyBxy TffeTffeee 这是因为 0 l f f ，进一步展开应当有六项，但其中四项将含有带变量 x f的指数项，在做 第二次傅立叶变换时会产生不位于 33 (,)xy面中心的函数，与图像卷积产生不在原点处的 图像，可以不予考虑，余下两项为： 22 (,)(,) jj AxyBxy TffeTffe 再经过 3 L的傅立叶反变换得到： 222 33333333 (,)(,) (,)(,) jjj ABAB txy etxy eetxytxy 10 常系数对于图像相减不产生影响， 因此在 33 (,)xy面原点处得到的是图像A和B的相减结果。 （2）当光栅原点与坐标原点重合时，振幅透过率为 0 20 2 22 22 1 (,)1 2 jf xjf x G xyee 输出面上相应两项为 1 3333 (,)(,)(,)(,) AxyBxyAB FTffTfftxytxy 因而得到相加减运算。证毕。 89如何实现图形 O1和 O2的卷积运算？画出光路图并写出相应的数学表达式。 答：第一步，制作 O1的傅里叶变换全息图，光路如下： (x1，y1)L(x2，y2) O1R -bH ff 全息图 H 的透过率为 tH= | 1|2+ R02+ R01（fx，fy）exp_ -j 2fxb +R0 1（fx，fy）exp_ j 2fxb 其中 1= O1，R0为平面参考波的振幅，b 为参考点源的横向位移量。 第二步，进行卷积运算。在 4f 系统中，将 O2置于输入平面（x1，y1） ，全息图置 于频谱平面（x2，y2） ，如图 x1,y1x2,y2 L1HL2O1O2 O2(x1,y1)O2几何像 O1 O2 f 1 f 1 f2f2 x3,y3 频谱面后的光场为 11 UH= O2tH = 2|1|2+ R02+ R01（fx，fy）exp_ -j 2fxb +R0 1（fx，fy）exp_ j 2fxb 输出平面光场为 O2 -1 tH = R02O2+ O1O1 O2+ R0O1(x3-b，y3)O2+ R0O1(-x3-b，-y3)O2 式中第三项即为 O1和 O2的卷积运算，位置在 x3= b 处。 810在 4f 系统中用复合光栅滤波器实现图象的一维微分 g / x ，若输入图象 g 在 x 方向的宽度为 l，光栅频率应如何选取？ 答： 设复合光栅的空间频率为 f0和 f0+， 则滤波的结果使像平面上得到两套物的三重像， 两个正一级像的位相差等于，它们离零级像的角间距1、2分别由下式确定 sin 1= f0，（1） sin 2=（ f0+）（2） 因而正一级像离零级像的线间距分别为 l1= sin 1f（3） l2= sin 2f（4） 其中 f 是透镜焦距。分析可知，得到微分结果的条件是 l1- l2 l / 2（l 为物的宽度）（5） 将（1） 、 （2）两式代入（3） 、 （4）两式，再代入（5）式，得到 l1- l2=f l / 2 f l 2 （6） 因而复合光栅的空间频率差应满足（6）式关系，才能得到微分图像。 811用 4f 系统通过匹配滤波器作特征识别，物 g（x，y）的匹配滤波器为 G*（fx，fy） ， 当物在输入平面上平移后可表示为 g（x - a， y - b） ，求证此时输出平面上相关亮点的 位置坐标为 xi= a，yi= b。 12 证明：在如图 8.26 的 4f 系统中，匹配滤波器置于滤波平面 fx上，根据（8.36） （8.37）式有 匹配滤波器的振幅透过率 *(,)( , ) xy Gffg x yF