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1 第九章平衡问题能量方法习题解答第九章平衡问题能量方法习题解答 9-1 质量为 3 kg 的质点以 5 m/s 的速度沿水平直线向左运动。今对其施以水平向右的的 常力，此力的作用经 30 s 而停止，这时质点的速度水平向右，大小为 55 m/s。求此力的大 小及其所做的功。 解解：取质点 m 为研究对象。由质点动量定理； () 12 v v v vv v v vF F F F=mt：() 12 vvmFt+=， 解得： ()() )N(6 30 5553 12 = + = + = t vvm F. 由质点动能定理； ()() J (45005553 2 1 2 1 222 1 2 2 =vvmFsW. 9-2 如图所示，一弹簧振子沿倾角为的斜面滑动，已知物块重 G，弹簧刚度系数为k， 动摩擦因数为f；求从弹簧原长压缩s的路程中所有力的功及从压缩s再回弹的过程中所 有力的功。 解解：取物块为研究对象。物块受到重力G，弹簧力F，斜面 摩擦力 max F和法向反力 N F作用，其中仅法向反力 N F不作 功。在弹簧压缩过程中，所有力的功为 () 2 2 1 cossinkssfGW= 在弹簧压缩s再回弹的过程中，所有力的功为 ()() 2 2 2 1 cossin+=sskfGW。 9-3 弹簧原长l，刚度系数为k，一端固定在 O 点， 此 点在半径为r=l的圆周上。 如弹簧的另一端由图示的 B 点 拉至 A 点，求弹簧力所做的功。ACBC，OA 为直径。 解解：在 B 点弹簧的变形为()l12 1 =， 在 A 点弹簧的变形为l= 2 。弹簧力所做的功为 ()() 22 2 2 1 12 2 1 klkW=。 9-4 图示机构在力F F F F1和F F F F2作用下在图示位置平 衡，不计各构件自重和各处摩擦，OD=BD=l1，AD=l2。 求F1/F2的值。 解解：用解析法解题。 ()j j j ji i i iF F F Fcossin 11 =F,i i i iF F F F 22 F= 点 A 和 B 的坐标及其变分为 ()()j j j ji i i ir r r rsincos 2121 llll A +=， i i i ir r r rcos2 1 l B = ()()j j j ji i i ir r r r+=cossin 2121 llll A ， 题 9-2 图 题9-3 图 质点的受力图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 2 i i i ir r r r=sin2 1 l B 。 按虚功原理，有 0= i i i Fr r r r，0 21 =+ BA r r r rF F F Fr r r rF F F F， 即 ()()0sin2cossin 1221 2 21 2 1 =+lFllllF， () 2 12 1 2 1 sin21 sin2 + = ll l F F 。 本题也可以用虚速度方法计算 A 点和 B 点的虚位移关系。 9-5 图示机构中曲柄 AB 和连 BC 为匀质杆，长度相同，重量 均为 P1。滑块 C 的重量为 P2，可沿倾角为的导轨滑动。设约 束都是理想的，求机构在铅垂面内的平衡位置。 解解：选广义坐标，诸力作用点的y坐标及其变分为 ()+=sin 2 1 1 lyC，()+=cos 2 1 1 lyC； ()+=sin 2 1 sincos2 2 llyC，() +=cos 2 1 sinsin2 2 llyC; sincos2lyC=,=sinsin2lyC. 按虚功原理，有 0= i i i Fr r r r,0 211 21 =+ CCC yPyPyP, 解得： () cot 2 tan 21 1 PP P + =。 9-6 两相同的匀质杆， 长度为l， 重为G， 其上作用有如图之力偶M， 试求平衡时杆与水平线的夹角 21, 。 解解：本题是 2 自由度系统，选 21, 为广义坐标，计算两杆的形心坐标 及其变分 1 sin 2 1 1 lyC=， 11 cos 2 1 1 =lyC； 21 sin 2 1 sin 2 llyC+=， 2211 cos 2 1 cos 2 +=llyC。 按虚功原理，取虚位移0, 0 21 =， 虚功为 21 1CC yGMyGW+= 关于 1 的广义力 0coscos 2 111 =+=MGl l GQ， 解得： Gl M 3 2 arccos 1= ； 取虚位移0, 0 21 =， 虚功为 21 2CC yGMyGW+= 关于 2 的广义力 题9-6 图 题 9-5 图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 3 0cos 2 22 =M l GQ 解得： Gl M2 arccos 2 =。 9-7 在图示机构中，当曲柄 OC 绕 O 轴摆动时，滑块 A 沿曲 柄滑动，从而带动杆 AB 在铅直导槽内移动，不计各构件自重和 各处摩擦。求机构平衡时F1与F2的关系。 解解：本题的自由度为 1，虚功方程为 0 21 =+ AC rFrF,(a) 计算虚位移。选为广义坐标， cos e l r=,ar= C , cos e aA r rr=. 代入（a）式，导出 0 cos2 21 = + l FaF 解得： 2 2 1 cos F a l F =。 9-8 在图示机构中，曲柄 OA 上作用 一力偶 M，滑块 D 上作用一力 F。机构尺 寸如图示，不计各构件自重和各处摩擦。 求机构平衡时力F与力偶M的关系。 解解：图示机构的自由度为 1。给机构任一虚位移，D点的虚位移为 D r,曲柄 AO 的虚角位移 为，列出虚功方程 0= D rFM，（a） AB 杆和 BD 杆的虚位移瞬心为 BDAB CC,，存在如下关系 2coscos, BAA rrar=，()cos290cos DB rr= . 代入式（a） ，解得 2cot a M F=. 9-9 重为G1的杆 AB 铅垂放置，一端 A 搁在水平放置的斜面 D 上平衡。若 D 的重量为G2，试求（1）不计所有摩擦，水平力 F F F F的大小； （2）水平面有摩擦，摩擦因数为f，水平力F F F F的范围。 (a)解解：在系统的虚位移中，AB 杆上的 A 点作合成运动，如图示。 （1）不计所有摩擦时，列出虚功方程 0 1 = ae rGrF 按速度合成定理，虚位移存在如下关系：tan ea rr=，于是 导出tan 1 GF=. （2）水平面有摩擦时，当水平力F F F F较小，斜面 D 有向左运动趋势，此时摩擦力方向向右， 临界平衡时，虚功方程为 ()0 1max =+ ae rGrFF， 其中()fGGF 21max +=。求得：()fGGGF 211tan +. 题9-7 图 题 9-8 图 （a） 题 9-9 图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 4 同理，当水平力F F F F较大，斜面 D 有向右运动趋势，此时摩擦力方向向左，临界平衡时， 虚功方程为 ()0 1max = ae rGrFF 求得：()fGGGF 211tan +。合在一起写作 ()()fGGGFfGGG 211211 tantan+。 (b) 解解： 本体与上题在于是变量， 只要将上题中的表示成h的 函数即可。易见= 90， h hR 22 cottan =，代入 上式结果，分别得到（1） 1 22 G h hR F =， （2）()()fGGG h hR FfGGG h hR 211 22 211 22 + + 。 9-10 不计梁的自重，求图示水平梁在支座 B 和 C 处的约束力。 （a） 解解： 图示组合梁的自由度为零。 为用虚功原理求解， 须解除一个约束，使之成为自由度为 1 的系统。 先解除滑动铰链 C， 将约束力 C F F F F当作主动力。 给系 统任一虚位移，列出虚功方程 0=MrF CC 虚位移的关系为lrC=，代入上式，导出 lMFC/= 其次解除滑动铰链 B，同理列出虚功方程 0=+MrFrF DBB ， 虚位移的关系为lrr DB =2，代入上式，导出 (),/2 1 lMFFB= (b)解解：先解除滑动铰链 B，给系统任一虚位 移，列出虚功方程： 0 2 21 =+lF l FMlF B ， 解得： += l MF FFB 2 2 1 再解除滑动铰链 C，给系统任一虚位移，列出 虚功方程： 022 2 2 21 =+lF l FMlF C 解得： += l M FFFC 2 2 1 21 （b） 题 9-9 图 题 9-10 图（a） 题 9-10 图（b） 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 5 9-11 不计杆重，求图示结构固定端 A 处约束力的铅垂分量。 解解：解除固定端 A 的铅垂方向的约束，并代之以 约束反力 Ay F，系统的自由度为 1。给系统任一虚位 移：AC 杆为虚平移r r r r，B 点为水平虚位移 B r r r r。 找 得 BC 折杆的瞬心 CB C，如图（a）所示。列出虚功 方程： ()0 21 =+ DAy rFrFF， 题 9-11 图题 9-11 图（a）其中，lrhrD=。 解得：lhFFFAy/ 21 =。 9-12 水平力F1和F2分别作用于杆 BC 和杆 CD 的中点，如图示。不计杆重，试计算固 定端 A 的约束力偶MA。 解解：解除固定端的转动约束而成为固定铰链，并代之以约束力偶，如图（a）所示。给机构 任一虚位移：AB 杆绕 A 的虚转动，BC 杆的瞬时虚平移 C rhr B =，CD 杆绕 D 的虚转动hrC2=。列出虚功方程： 0 21 =hFrFM B ，解得：()hFFMA2/ 21+ =。 9-13 三根相同的匀质杆用铰链连接后，一端用铰链固定，一端有水平力作用如图示。 设杆重 G，求平衡时的角值。 解解：本题为 3 自由度系统。总势能为 () 21 coscoscos5+=GlV 力 F 作用点的x坐标为 () 21 sinsinsin2+=lx, 平衡方程为 题 9-13 图题 9-13 图（a） 例 9-13 图受力图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 6 Q V = 其中， = x FQ。即 cos2sin5FlGl=， 解得： G F 5 2 arctan=。 9-14 计算图示机构在图示平衡位置时主动力之间的关系。不计各构件自重和各处摩擦。 （a）解解：图示机构的自由度为 1，选位广义坐标，给机构任一虚位移，列出平衡方程 0= C xFM 其中cos2lxC=，sin2lxC=。 解出：FlM3= （b）解解：图示机构的自由度为 1，选位广义坐标，给机构任一虚位移（顺时针） ，计 算虚位移。 取 D 为动点， 杆 AB 为动系， 虚位移合成图如 图示， e lr=，2 60cos e a l r r= DC 杆的虚角位移为 l ra =， （顺时针） 。 列出平衡方程 02=MlF 解得：FlM=。 9-15 图示机构中 AC=CD=DE，今在三杆上分别作用一力偶，并在图示位置平衡。已知 M1，求M2和M3。不计各构件自重和各处摩擦。 (a1)(a2) （b1）(b2) 题 9-14 图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 7 解解：图示机构的自由度为 2，选,x为广义坐标。 1） 给系统一虚位移：0, 0=x， 此时，DE 杆作虚平移，虚功方程为 0 31 =+MM， 解得：M3=M1。 2） 给系统一虚位移：0, 0=x。 取 E 为动点， AB 杆为动系， AB 杆的虚角位移为， （逆时针） 。 于是，lr= e ， l r r2 60sin e a = ， DE 杆虚角位移为 2 a = l r 。 虚功方程为0 21 =+MM 解得，M2=M1/2。 9-16 图示滑套 D 套在直杆 AB 上，并带动 CD 杆在铅直滑道上滑动。已知0=时弹簧 为原长，弹簧刚度系数为 5 kN/m，不计各构件自重和各处摩擦。求在任意位置平衡时应加 多大的力偶矩M？ 解解：自由度为 1，选为广义坐标，弹簧力为 =1 cos 1 klF； cos l lAD=。 虚功方程为 0= AD lFM 其中 2 cos sinl lAD=。解得 )mN( cos )cos1 (sin 450 3 = M。 9-17 长度相等的两杆 AB 和 BC 在 B 点用铰链连接， 在 D、C 两点用弹簧连接，形成图示机构。弹簧刚度系数为 k，当 AC=a时，弹簧为原长，不计各构件自重和各处摩擦。 今在点 C 处作用一力F，机构处于平衡，求距离 AC 之值。 解解：机构的自由度为 1。选x为广义坐标，弹簧变形为 ()ax l b l=， 弹性势能为() 2 2 =ax l bk V， 平衡方程为 x Q x V = ，其中FQx=，即 题 9-15 图虚位移图 题 9-16 图 题 9-17 图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 8 ()Fax l b k= 2 解得 2 += b l k F axAC。 9-18一质量为m的小球A可沿铅垂放置的半径为r的光滑固定圆 环运动，同时，小球用刚度系数为k、原长为l02r的弹簧连接，弹 簧的另一端固定在圆环上的