北邮随机信号分析与处理第5章习题解答.pdf

ftpftp服务器地址服务器地址 1 ftpftp: :/1010. .108108. .142142. .5757 用户名和密码均为：用户名和密码均为：sjxhfxsjxhfx 包括每次课的包括每次课的课件课件和和部分习题解答部分习题解答 5.45.4 设设 的解析信号为的解析信号为 ( )X t 2 ( )( )( )Z tX tjX t (1)(1)证明证明 * ( )()2( )( ) XX E Z t Z tRjR (2)(2)证明证明 ( ) ()0E Z t Z t (3)(3)求求 的功率谱密度（假定的功率谱密度（假定 的功率谱密度为的功率谱密度为 ） ( )Z t( )X t( ) X G 解：解： * ( )()( )( )()()E Z t Z tEX tjX tX tjX t ( )( )( )( ) X XXXXX RRjRjR ( )( )( )( ) XXXX RRjRjR 2( )( ) XX RjR 5.45.4 3 ( ) ()( )( )()()E Z t Z tEX tjX tX tjX t ( )( )( )( ) X XXXXX RRjRjR ( )( )( )( ) XXXX RRjRjR 0 * ( ) ( )()2( )( ) ZXX RE Z t Z tRjR ( )2( )sgn( )( ) ZXX GGjjG因此因此 2( )sgn( )( ) XX GG 4( ) ( ) X GU 5.55.5 设一个线性系统输入为设一个线性系统输入为 时，相应的输出为时，相应的输出为 。证明。证明 若该系统的输入为若该系统的输入为 的希尔伯特变换的希尔伯特变换 ，则相应的输，则相应的输 出为出为 的希尔伯特变换的希尔伯特变换 。 4 ( )X t( )Y t ( )X t ( )X t ( )Y t ( ) Y t 解：解： 设线性系统的冲激响应为设线性系统的冲激响应为 ( ) h t 有有 ( )( )( )Y tX th t 当输入为当输入为 时时 1 ( )( )X tX t t 输出为输出为 111 ( )( )( )( )( )( )( )( )X th tX th tX th tY tY t ttt 5.115.11 设功率谱密度为设功率谱密度为 的零均值白高斯噪声通过一个理想带的零均值白高斯噪声通过一个理想带 通滤波器，此滤波器的增益为通滤波器，此滤波器的增益为1 1，中心频率为，中心频率为 ，带宽，带宽 为为 。求滤波器输出的窄带过程。求滤波器输出的窄带过程 和它的同相及正交分和它的同相及正交分 量的自相关函数量的自相关函数 、 和和 。 5 0 /2N c f ( )n t2B ( ) n R( ) c n R( ) s n R 解：解： 可知白高斯噪声通过带通滤波器后的功率谱为两个矩阵可知白高斯噪声通过带通滤波器后的功率谱为两个矩阵 脉冲，因此脉冲，因此 22 0 ( )(2)() cc jfjf n RN BSaBee 0 2(2)cos2 c N BSaBf 0 sin2 cos2 c NB f ( )( )( )cos2( )sin2 cs nnncnc RRRfRf 22 000 sin2sin2sin2 cos 2sin 2 cc NBNBNB ff 5.145.14 考虑窄带高斯过程考虑窄带高斯过程 ，假定功，假定功 率谱密度对称于载频率谱密度对称于载频 ，求概率密度，求概率密度 。 6 ( )( )cos( )sin cc n tX ttY tt c ( ,) tttt f x xy y 解：解： 当窄带随机过程的功率谱密度对称于载频时，任意时刻当窄带随机过程的功率谱密度对称于载频时，任意时刻 的同相分量和正交分量之间相互正交，且窄带随机过程的同相分量和正交分量之间相互正交，且窄带随机过程 为零均值高斯过程，因此同相分量和正交分量相互独立，为零均值高斯过程，因此同相分量和正交分量相互独立， 得得 ( ,)( ,) ( ,) tttttttt f x xy yf x xf y y 令同相分量和正交分量的归一化自相关函数为令同相分量和正交分量的归一化自相关函数为 22 ( )( ) ( )( )( ) XY XY RR rrr 5.145.14 7 则则 22 22 22 2 ( )1 ( ,)exp 21( ) 21( ) tttt tt xrx xx f x x r r 22 22 22 2 ( )1 (,)exp 21( ) 21( ) tttt tt yry yy f y y r r ( ,)( ,) ( ,) tttttttt f x xy yf x xf y y 2222 24222 2 ( )2 ( )1 exp 41( )21( ) tttttttt xrx xxyry yy rr 求求 的概率密度、均值和方差。的概率密度、均值和方差。 5.185.18 一检波器由平方律检波器和理想低通组成。其中，平方律检一检波器由平方律检波器和理想低通组成。其中，平方律检 波器的传输特性为波器的传输特性为 。设输入信号。设输入信号 为一窄带正态为一窄带正态 噪声，且可表示为噪声，且可表示为 ，其概率密为，其概率密为 8 2 ybx ( )( )cos( ) c X tV ttt ( )X t 2 2 1 ( )exp 22 X X X x fx ( )Z t 解：解： 222 ( )( )( )cos ( ) c Y tbXtbVttt 2 1 ( )cos22 ( ) 1 2 c bVttt 经过低通滤波器之后经过低通滤波器之后 2 1 ( )( ) 2 Z tbVt 5.185.18 9 2 2 X 由于由于 满足指数分布，且均值为满足指数分布，且均值为 2 ( )Vt 易知易知 也满足指数分布，且均值为也满足指数分布，且均值为 ( )Z t 2 X b 的概率密度为的概率密度为 ( )Z t 22 1 ( )exp,0 Z XX z fzz bb 的方差为的方差为 ( )Z t 24 X b 求在求在 时，检波器时，检波器 输出的概率密度、均值输出的概率密度、均值 和方差。和方差。 5.195.19 在平方律包络检波器输入端加一窄带随机电压信号，其包络在平方律包络检波器输入端加一窄带随机电压信号，其包络 服从瑞利分布服从瑞利分布 10 ( )A t 2 22 ()exp(0) 2 tt Att AA fAA ( )Y t 2 2 ( )( ) 2 a Y tA t 解：解： 易知易知 满足