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第九章第九章 平衡问题：能量方法平衡问题：能量方法 本章要点本章要点 一、功和势能 1 功的概念和计算 力的元功定义 rF d= W d，力沿曲线 C 的功 W， = C rF d 力系的总元功 ，力系的功 W = = n i ii Wd 1 drF = = n i C ii i 1 drF 弹性力的功与力作用点的路径无关，仅取决于弹簧初始和终结变形1和2，即 () 2 2 2 1 2 1 =W， 力在定轴转动刚体上所作的元功 ( )dF z MWd=， 外力系对绕固定轴转动的刚体的功W = 2 1 d z M 其中 Mz为外力系主矩在轴 z 的投影，1和2分别为刚体的初始和终止位置。 2 内力的功 = = n i n ij ijij W 1)(1 d 2 1 rFd 其中为点至点的矢径。 ijij rrr= i P j P 3 势能 势能：有势力由某一位置运动到选定的参考位置所作的功， i F i r 0i r V () = = n i iin i i 1 21 0 d, r r rFrrrL 有势力的功 W 21 VV = 有势力的势能函数表达 i zi i yi i xi z V F y V F x V F = = =, 弹性力势能为 2 e 2 1 k=V 重力势能为 gmzV C = w m为质点系统的总质量，为质心的高度坐标。 C z 二、虚功原理 1 约束和虚位移 双面定常完整约束 ()(rjf nj , 2 , 10, 21 LL=rrr) i r为质点 Pi的矢径. 1 虚位移：在给定瞬时，质点系满足约束条件的无限小假想位移，记作. i r 虚功： = = n i ii W 1 rF 2 理想约束 理想约束 0 1 N = = n i ii rF 其中 FNi为作用在第 i 个质点 Pi上的约束力，ri为质点的虚位移。 理想约束例：柔索约束、光滑面约束和光滑活动铰链支座约束、光滑固定铰链支座、固定端 约束、光滑铰链、刚性二力杆、忽略滚动摩阻力偶时有摩擦的固定面对在其上作纯滚动刚体 的约束，等等. 3 虚功原理 虚功原理（也称为虚位移原理） ：受理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是系统内所 有主动力对于质点系的任意虚位移所作的元功之和为零，即 ， 0 1 = = n i ii rF 其中 Fi为作用在质点 Pi上的主动力，ri为该质点的虚位移。其直角坐标形式为 . ()0 1 =+ = n i iziiyiixi zFyFxF 解题要领解题要领 1） 对于自由度不为零的系统，求其平衡时主动力满足的关系可用虚功原理. 2） 对于自由度为零的系统，为求其约束力，可以依次解除一个约束，使自由度为 1，即将 此约束力作为主动力应用虚功原理. 3） 独立的坐标变分个数与系统的自由度相同，可以用解析或虚速度的方法建立不独立的坐 标变分满足的关系. 三 广义坐标表示的虚位移原理 广义坐标：确定质点系位形的独立坐标。 虚功原理的广义坐标表述： 受理想约束的质点系， 其平衡的充分必要条件是系统所有与广义 坐标对应的广义力为零 ()mjQj, 2 , 10L= 其中 (mj q Q n i j i ij , 2 , 1, 1 L= = = r F)被称为对应于广义坐标 qj的广义力，为广义坐标 个数。 m 解题要领解题要领： 依次取某个广义坐标的变分而令其余广义坐标的变分为零，计算系统在此虚位移上的元 功，广义坐标的变分前的系数即为对应于这个广义坐标的广义力。 3 有势力系统的平衡及其稳定性 有势力的广义力可用势能函数表达为 2 ()mj q V j j , 2 , 1L= =Q. 平衡条件的势能函数表达 ()mj q V j , 2 , 10L= 质点系的平衡位形使得势能函数取驻定值。 若质点系在某个平衡位形处有微小的偏离或受到微小的冲击， 每个质点仅在其平衡位 置附近运动而没有产生显著的偏离，则称该平衡位形为稳定的。反之，则称为不稳定的。 拉格朗日定理： 若质点系在平衡位形上的势能具有极小值，则该平衡位形是稳定的；若势 能函数具有极大值，则该平衡位形是不稳定的。 解题要领 对于有势系统，可以用势能函数表达虚功原理，即平衡条件，并且可以判定系统的稳定 性，因此除了选择适当的广义坐标外，正确写出势能函数是解题的关键。 第九章平衡问题能量方法第九章平衡问题能量方法 习题解答习题解答 9-1 质量为 3 kg 的质点以 5 m/s 的速度沿水平直线向左运动。今对其施以水平向右的的 常力，此力的作用经 30 s 而停止，这时质点的速度水平向右，大小为 55 m/s。求此力的大 小及其所做的功。 解解：取质点 m 为研究对象。由质点动量定理； () 12 vvF= mt：() 12 vvmFt+=， 解得： ()() )N(6 30 5553 12 = + = + = t vvm F. 由质点动能定理； ()() J (45005553 2 1 2 1 222 1 2 2 =vvmFsW. 9-2 如图所示，一弹簧振子沿倾角为的斜面滑动，已知物块重 G，弹簧刚度系数为 k， 动摩擦因数为 f；求从弹簧原长压缩 s 的路程中所有力的功及从压缩 s 再回弹的过程中所 有力的功。 解解：取物块为研究对象。物块受到重力 G，弹簧力 F，斜面 摩擦力和法向反力作用，其中仅法向反力不作 功。在弹簧压缩过程中，所有力的功为 max F N F N F 题 9-2 图 质点的受力图 () 2 2 1 cossinkssfG=W 在弹簧压缩 s 再回弹的过程中，所有力的功为 ()() 2 2 2 1 cossin+=sskfGW。 3 题9-3 图 9-3 弹簧原长 l，刚度系数为 k，一端固定在 O 点，此 点在半径为 r= l 的圆周上。 如弹簧的另一端由图示的 B 点 拉至 A 点，求弹簧力所做的功。ACBC，OA 为直径。 解解：在 B 点弹簧的变形为()l12 1 =， 在 A 点弹簧的变形为l= 2 。弹簧力所做的功为 ()() 22 2 2 1 12 2 1 klkW=。 9-4 图示机构在力 F1和 F2作用下在图示位置平 衡，不计各构件自重和各处摩擦，OD=BD=l1，AD=l2。 求 F1/F2的值。 解解：用解析法解题。 ()jiFcossin 11 = F, iF 22 F= 点 A 和 B 的坐标及其变分为 ()()jirsincos 2121 llll A += i ， rcos2 1 l= B ()()jir+=cossin 2121 llll A ir ， =sin2 1 l B 。 按虚功原理，有 0= i i i Fr，0 21 =+ BA rFrF， 即 ()()0sin2cossin 1221 2 21 2 1 =+lFllllF， () 2 12 1 2 1 sin21 sin2 + = ll l F F 。 本题也可以用虚速度方法计算 A 点和 B 点的虚位移关系。 9-5 图示机构中曲柄 AB 和连 BC 为匀质杆，长度相同，重量 均为 P1。滑块 C 的重量为 P2，可沿倾角为的导轨滑动。设约 束都是理想的，求机构在铅垂面内的平衡位置。 解解：选广义坐标，诸力作用点的 y 坐标及其变分为 ()+=sin 2 1 1 lyC， ()+=cos 2 1 1 lyC； ()+=sin 2 1 sincos2 2 llyC， () +=cos 2 1 sinsin2 2 llyC; 题 9-5 图 sincos2lyC=, =sinsin2lyC. 按虚功原理，有 0= i i i Fr, 0 211 21 =+ CCC yPyPyP, 解得： () cot 2 tan 21 1 PP P + =。 4 9-6 两相同的匀质杆， 长度为l， 重为 G， 其上作用有如图之力偶M， 试求平衡时杆与水平线的夹角 21, 。 解解：本题是 2 自由度系统，选 21, 为广义坐标，计算两杆的形心坐标 及其变分 1 sin 2 1 1 lyC=， 11 cos 2 1 1 =lyC； 21 sin 2 1 sin 2 llyC+=， 2211 cos 2 1 cos 2 +=llyC。 按虚功原理，取虚位移 0, 0 21 =， 虚功为 21 1CC yGMyGW+= 关于 1 的广义力 0coscos 2 111 =+=MGl l GQ， 解得： Gl M 3 2 arccos 1= ； 取虚位移 0, 0 21 =， 虚功为 21 2CC yGMyGW+= 关于 2 的广义力 0cos 2 22 =M l GQ 解得： Gl M2 arccos 2 =。 9-7 在图示机构中，当曲柄 OC 绕 O 轴摆动时，滑块 A 沿曲 柄滑动，从而带动杆 AB 在铅直导槽内移动，不计各构件自重和 各处摩擦。求机构平衡时 F1与 F2的关系。 解解：本题的自由度为 1，虚功方程为 0 21 =+ AC rFrF , (a) 计算虚位移。选为广义坐标， cos e l r=, ar= C , cos e aA r rr=. 题9-6 图 题 9-8 图 题9-7 图 代入（a）式，导出 0 cos2 21 = + l FaF 解得： 2 2 1 cos F a l F =。 9-8 在图示机构中，曲柄 OA 上作用 一力偶 M，滑块 D 上作用一力 F。机构尺 寸如图示，不计各构件自重和各处摩擦。 求机构平衡时力 F 与力偶 M 的关系。 解解：图示机构的自由度为 1。给机构任一虚位移，D 点的虚位移为 D r,曲柄 AO 的虚角位移 为，列出虚功方程 5 0= D rFM， （a） AB 杆和 BD 杆的虚位移瞬心为C，存在如下关系 BDAB C, 2coscos, BAA rrar=，()cos290cos DB rr= o . 代入式（a） ，解得 2cot a M F=. （a） 题 9-9 图 9-9 重为 G1的杆 AB 铅垂放置，一端 A 搁在水平放置的斜面 D 上平衡。若 D 的重量为 G2，试求（1）不计所有摩擦，水平力 F 的大小； （2）水平面有摩擦，摩擦因数为 f，水平力 F 的范围。 (a)解解：在系统的虚位移中，AB 杆上的 A 点作合成运动，如图示。 （1）不计所有摩擦时，列出虚功方程 0 1 = ae rGrF 按速度合成定理，虚位移存在如下关系：tan ea rr=，于是 导出 tan 1 GF=. （2）水平面有摩擦时，当水平力 F 较小，斜面 D 有向左运动趋势，此时摩擦力方向向右， 临界平衡时，虚功方程为 ()0 1max =+ ae rGrFF， 其中。求得：(fGGF 21max +=)()fGGGF 211tan +. 同理，当水平力 F 较大，斜面 D 有向右运动趋势，此时摩擦力方向向左，临界平衡时， 虚功方程为 ()0 1max = ae rGrFF 求得：(fGGGF 211tan +)。合在一起写作 （b） 题 9-9 图 ()()fGGGFfGGG 211211 tantan+。 (b) 解解： 本体与上题在于是变量， 只要将上题中的表示成的 函数即可。易见， h = o 90 h hR 22 cottan =，代入 上式结果，分别得到（1） 1 22 G h hR F=， （2）()()fGGG h hR FfGGG h hR 211 22 211 22 + + 。 6 题 9-10 图（a） 9-10 不计梁的自重，求图示水平梁在支座 B 和 C 处的 约束力。 （a）解解：图示组合梁的自由度为零。为用虚功原理求解， 须解除一个约束，使之成为自由度为 1 的系统。 先解除滑动铰链 C，将约束力当作主动力。给系统 任一虚位移 C F ，列出虚功方程 0=MrF CC 虚位移的关系为lrC=，代入上式，导出 lMFC/= 其次解除滑动铰链 B，同理列出虚功方程 0=+MrFrF DBB ， 虚位移的关系为lrr DB =2，代入上式，导出 (),/2 1 lMFFB= 题 9-10 图（b） (b)解解：先解除滑动铰链 B，给系统任一虚 位移，列出虚功方程： 0 2 21 =+lF l FMlF B ， 解得： += l MF FFB 2 2 1 再解除滑动铰链 C，给系统任一虚位移，列 出虚功方程： 022 2 2 21 =+lF l FMlF C 解得： += l M FFFC 2 2 1 21 9-11 不计杆重，求图示结构固定端 A 处约束力的铅垂分量。 解解： 解除固定端 A 的铅垂方向的约束， 并代之以约 束反力，系统的自由度为 1。给系统任一虚位移： AC 杆为虚平移，B 点为水平虚位移。找得 BC 折杆的瞬心C，如图（a）所示。列出虚功方程： Ay F r B r CB ()0 21 =+ DAy rFrFF， 题 9-11 图 题 9-11 图（a） 其中， lrhrD=。 解得： 。 lhFFFAy/ 21 = 9-12 水平力 F1和 F2分别作用于杆 BC 和杆 CD 的中点，如图示。不计杆重，试计算固 定端 A 的约束力偶 MA。 解解：解除固定端的转动约束而成为固定铰链，并代之以约束力偶，如图（a）所示。给机构 任一虚位移： AB杆绕A的虚转动， BC 杆的瞬时虚平移 C rhr B =， CD 杆绕 D 的虚转动hrC2=。 列 出虚功方程： 0 21 =hFrFM B ， 解得： 7 题 9-13 图 题 9-13 图（a） ()hFFMA2/ 21+ =。 arctan= C xFM cos2lxC= FlM3= e lr = 9-13 三根相同的匀质杆用铰链连接后，一端用铰链固定，一端有水平力作用如图示。 设杆重 G，求平衡时的角值。 解解：本题为 3 自由度系统。总势能为 () 21 coscoscos5+=GlV 例 9-13 图 受力图 力 F 作用点的 x 坐标为 () 21 sinsinsin2+=lx, 平衡方程为 Q V = 其中， = x FQ。即 cos2sinFlGl5=， 解得： G F 5 2 。 9-14 计算图示机构在图示平衡位置时主动力之间的关系。不计各构件自重和各处摩擦。 （a）解解：图示机构的自由度为 1，选位广义坐标，给机构任一虚位移，列出平衡方程 0= 其中，sin2lxC=。 解出： （b）解解：图示机构的自由度为 1，选位广义坐标，给机构任一虚位移（顺时针） ，计 算虚位移。 取 D 为动点，杆 AB 为动系， 虚位移合成图如 图示， ，2 60cos e a l r r= o DC 杆的虚角位移为 l ra =， （顺时针） 。 列出平衡方程 02=MlF 解得：。 FlM= 8 (a1) (a2) （b1） (b2) 题 9-14 图 9-15 图示机构中 AC=CD=DE，今在三杆上分别作用一力偶，并在图示位置平衡。已知 M1，求 M2和 M3。不计各构件自重和各处摩擦。 解解： 图示机构的自由度为 2， 选, x为广义坐标。 1） 给系统一虚位移：0, 0=x， 此时，DE 杆作虚平移，虚功方程为 0 31 =+MM， 解得：M3= M1 。 2） 给系统一虚位移：0, 0=x。取 E 为 动点，AB 杆为动系，AB 杆的虚角位移为 ， （ 逆 时 针 ） 。 于 是 ，l= e r， ral r 2 60sin e = o ，DE 杆虚角位移为 2 a = l r 。虚功方程为 0 21 =+MM 题 9-15 图 虚位移图 解得， M2= M1/2。 9-16 图示滑套 D 套在直杆 AB 上，并带动 CD 杆在铅直滑道上滑动。已知0=时弹簧 为原长，弹簧刚度系数为 5 kN/m，不计各构件自重和各处摩擦。求在任意位置平衡时应加 多大的力偶矩 M？ 题 9-16 图 解解