上海交大版大学物理第三章参考答案.pdfVIP

版权归原著所有版权归原著所有 本答案仅供参考本答案仅供参考 习题习题 3 3-1如图，一质点在几个力作用下沿半径为20Rm的圆周运动，其中有一恒 力0.6FiN，求质点从 A 开始沿逆时针方向经 3/4 圆周到达 B 的过程中，力F 所做的功。 解：本题为恒力做功，考虑到 B 的坐标为（R，R） ， 2020 BA rrrij ，再利用：AFr， 有：0.6( 2020 )12Aiij （焦耳） 3-2质量为 m=0.5kg 的质点，在 xOy 坐标平面内运动，其运动方程为 x=5t2,y=0.5(SI),从 t=2s 到 t=4s 这段时间内，外力对质点的功为多少？ 解：由功的定义：AFr，题意： 2 50.5rt ij 24 (4)(2)60rrri ， 2 2 0.5 105 d r Fmii dt 560300AiiJ。 3-3劲度系数为 k 的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为 m，开始时 弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面 为止，求此过程中外力的功。 解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成外力与弹性力相等， 则：Fkx，选向上为正向。 当小球刚脱离地面时： max mgkx，有： max mg x k ， 由做功的定义可知： max 22 2 0 0 1 22 mg x k m g Akxdxkx k 。 y x O B AF 3-4如图，一质量为 m 的质点，在半径为 R 的半球形容器中，由静止开始自边 缘上的 A 点滑下，到达最低点 B 时，它对容器的正压力数值为 N，求质点自 A 滑 到 B 的过程中，摩擦力对其做的功。 分析： f A直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的 情况。 解：求在 B 点的速度： 2 v NGm R ， 可得：RGNmv)( 2 1 2 1 2 由动能定理： 2 1 0 2 f mgRAmv 11 ()(3) 22 f ANG RmgRNmg R 3-5 一弹簧并不遵守胡克定律， 其弹力与形变的关系为 2 ( 52.838.4)Fxxi ， 其中F和x单位分别为N和m。 （1）计算当将弹簧由m522. 0 1 x拉伸至m34. 1 2 x过程中，外力所做之功； （2）此弹力是否为保守力? 解： （1）由做功的定义可知： 2 1 1.34 2 0.522( 52.8 38.4) x x AF d xxxdx 2233 2121 26.4() 12.6()69.2xxxxJ （2）( )( )F xF x i，按保守力的定义： 0d)4 .388 .52()()4 .388 .52()( 22 xxxkdzjdyidxixxrdxF lll 该弹力为保守力。 3-6一质量为m的物体，在力 2 ()Fatibt j的作用下，由静止开始运动，求 在任一时刻t此力所做功的功率为多少。 解：由PF v，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意： m A R B 223 11 11 ()() 23 F vdtatibt j dtat ibt j mmm 所以功率为： PF v 2232 32 5 1 111 11 ()()() 2323 atibt jat ibt ja tb t mm 。 3-7 一质点在三维力场中运动 已知力场的势能函数为：czbxyaxE 2 p 。 （1）求作用力F； （2）当质点由原点运动到3x、3y、3z位置的过程 中，试任选一路径，计算上述力所做的功。其中 p E的单位为J，zyx、的单 位为m，F的单位为N。 解： （1）由力和势能的关系： P FE 有： 2 ()()(2)Fijkaxbxyczaxby ibx jck xyz （2）由于该力场是有势场，所以该力是保守力，由保守力做功的定义 cbacbaEA3990)399( 3-8轻弹簧AB的上端A固定，下端B悬挂质量为m的重物。已知弹簧原长为 0 l，劲度系数为k，重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了 0 x，如图所示。取x 轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置 O ；力的 平衡位置O。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零 点，试分别计算重物在任一位置P时系统的总势能。 解： （1）取弹簧原长位置O为重力势能和弹性势能的势 能零点，则重物在任一位置P时系统的总势能： 2 00 1 ()() 2 P Emg xxk xx ， （2） 取力的平衡位置O为重力势能和弹性势能的势能零点， 则重物在任一位置P 时系统的总势能： 22 00 11 22 P Emgxk xxkx （），而 0 mgkx 222 00 111 222 P Emgxk xxkxkx （） 3-9 在密度为 1 的液面上方， 悬挂一根长为l， 密度为 2 的均匀棒AB， 棒的B 端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力 作用下运动， 在 12 1 2 的条件下， 求细棒下落过程中的最 大速度 max v，以及细棒能进入液体的最大深度H。 解： （1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候， 所以：GF 浮，即 hsglsg 12 ，则：lh 1 2 。 利用功能原理： 2 1 2 mghmvA 浮，有： 2 2max21 0 1 2 h slvsglhgsydy 可解得： 2 max 1 vgl （2）当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大深度H时，速度为零，设： Hlh ，由能量守恒有： 211 0 l lsgHysgdylsgh ， 即： 211 0 () l lsgHysgdylsg Hl 1 12 2() l H 。 3-10若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力f的作用，设阻 力与速度的大小成正比， 比例系数k为常数， 即fk v ， 试求质量为m的卫星， 开始在离地心Rr4 0 （R为地球半径）陨落到地面所需的时间。 解：该卫星在任何时刻的总机械能为： r mM GmvE 2 2 1 又由于 2 2 2 mv r mM G r v m r mM G联立两式得： r mM GE 2 两边微分得：dr r mM GdE 2 2 ，由功能原理得： Esfdd ， r r mM Gskvd 2 d)( 2 t r r mvkv t r rr GmM t s kvdr r mM Gskv d d 2 1 d d 2d d 2 d)( 22 2 r r t m kd d 2 ，由已知条件两边积分：2ln d d 2 40 k m t r r t m k R R t 3-11一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端， 另一端有四分之一长度由桌边下垂， 设链条长为L， 质量为m，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？ 解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做 功，则： 111 4832 P AEmglmgl 3-12起重机用钢丝绳吊运质量为m的物体时以速率 0 v匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯性 运动使钢丝绳有微小伸长。设钢丝绳劲度系数为k， 求它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量) 解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢丝 绳的弹性势能， 由 2 2 0 2 1 2 1 kxmv， 可得： 0 v k m x ， （这里，由于是微小伸长，因伸长而引起重力势能的降低可以忽略不计） 分析物体的受力，可得到绳子的拉力为： 0 Tmgkxmgmk v。 3-13在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体A、A 边上再放一物体B， 它们质量分别为 A m和 B m， 弹簧劲度系数为k， 原长为l 用 力推B，使弹簧压缩 0 x，然后释放。求： （1）当A与B开始分离时，它们的位置和速度； （2）分离之后，A还能往前移动多远? 解： （1）当A与B开始分离时，两者具有相同的速度，但A的加速度为零，此时 弹簧和B都不对A产生作用力， 即为弹簧原长位置时刻， 根据能量守恒， 可得到： 22 0 11 () 22 AB mmvkx，有： 0 x mm k v BA ，xl； （2）分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以： 22 11 22 AA m vkx ，则： 0 A A AB m xx mm 。 3-14已知地球对一个质量为m的质点的引力为 3 e Gm m Fr r （ ee,R m为地球 的质量和半径)。 （1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能； （2）若选取 地面处势能为零，计算无穷远处的势能比较两种情况下的势能差 解： （1）取无穷远处势能为零，地面处的势能为： ee 2 11 ee P RR e EF drGm mdrGm m rR ； （2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为： ee 2 11 ee RR e EF drGm mdr Gm m rR 两种情况下势能差是完全一样的。 3-15 试证明在离地球表面高度为h( e hR)处， 质量为m的质点所具有的引力 势能近似可表示为mgh。 解：万有引力的势能函数表达式为 0P Mm EG r ， （以无穷远处为势能零点） ， 且此时地球表面处的势能为： 0 e Re e Mm EGmgR R ，在离地球表面高度为 h( e hR)处，质量为m的质点所具有的引力势能为： )()()( )()( 2 0 2 00 hRmghR R Mm GhR hR Mm G hR Mm G ee e e ee ， 如果以地面作为零电势处，则质点所具有的引力势能近似可表示为： () Pee EmgRmg Rhmgh 。 思考题思考题 3 3-1求证：一对内力做功与参考系的选择无关。 证： 对于系统里的两个质点而言， 一对内力做功可表示为： 1122 Af d rfd r， 由于外力的存在，质点 1 和 2 的运动情况是不同的，虽然其内力相等而方向相反 （ 12 ff ） ，但 12 drdr，上式可写为： A= 112212 ()Af drfdrfdrdr 表明，内力的功与两个质点的相对位移有关，与参考系的选择无关。 3-2. 叙述质点和质点组动能变化定理， 写出它们的表达式， 指出定理的成立条件。 质点的动能变化定理： 物体受外力F 作用下， 从 A 运动 B， 其运动状态变化， 速度为 A v变化到 B v，即动能变化。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 22 11 22 B ABBAKBKA A Af drmvmvEE 质点系的动能定理：质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的 功和质点系内非保守力的功三者之和。即质点系总动能的增量等于外力和内力做 功之和。 公式表达： exCinNin AAA ，K E 3-3A和B两物体放在水平面上，它们受到的水平恒力F一样，位移s也一样， 但一个接触面光滑，另一个粗糙F力做的功是否一样?两物体动能增量是否一 样? 答：根据功的定义：AFr 所以当它们受到的水平恒力F一样，位移s也一样时，两个功是相等的； 但由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个物 体的总功不同，动能的增量就不相同。 3-4按质点动能定理，下列式子： 22 12 2 12 1 2 1 d xx x x x mvmvxF 22 12 2 12 1 2 1 d yy y y y mvmvyF 22 12 2 12 1 2 1 d zz z z z mvmvzF 是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式