高等数学下册复旦大学出版社第九章答案黄立宏著.pdf

1 习题九习题九 1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程： (1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点 4 t ; (2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,点 M0(1,-2,1); (3)y2=2mx,z2=m-x,点 M0(x0,y0,z0). 解：2 sin cos ,cos2 ,2 cos sinxatt ybt zctt 曲线在点 4 t 的切向量为 ,0, 444 Txyzac 当 4 t 时， , 222 abc xyz 切线方程为 222 0 abc xyz ac . 法平面方程为 0()0. 222 abc acxyz 即 22 0 22 ac axcz. （2）联立方程组 222 6 0 xyz xyz 它确定了函数 y=y(x),z=z(x)，方程组两边对 x 求导，得 dd 2220 dd dd 10 dd yz xyz xx yz xx 解得 dd , dd yzxzxy xyzxyz 2 在点 M0（1，-2，1）处， 00 dd 0,1 dd MM yz xx 所以切向量为1，0，-1. 故切线方程为 121 101 xyz 法平面方程为 1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0 即 x-z=0. (3)将方程 y2=2mx,z2=m-x 两边分别对 x 求导，得 dd 22 ,21 dd yz ymz xx 于是 dd1 , dd2 ymz xyxz 曲线在点（x0,y0,z0）处的切向量为 00 1 1, 2 m yz ,故切线方程为 000 00 , 1 1 2 xxyyzz m yz 法平面方程为 000 00 1 ()()()0 2 m xxyyzz yz . 2. t (0 0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A=6，B=0，C=6，B2AC=360，所以(2,0)点不是极值点. 在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2AC=360,所以函数有极小值 z(2,2)=-8. (2)解方程组 22 2 e (2241)0 2e (1)0 x x x y zxyy zy 得驻点为 1 , 1 2 . 22 2 2 4e (21) 4e (1) 2e x xx x xy x yy zxyy zy z 在点 1 , 1 2 处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e20,所以函数有极小值 e1 , 1 22 z . (3) 解方程组 2 2 (62 )(4)0 (6)(42 )0 x y zxyy zxxy 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Zxx=2(4y-y2), Zxy=4(3x)(2y) 7 Zyy=2(6xx2) 在点（3，2）处，A=8，B=0，C=18，B2AC=8180，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2AC0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2AC0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2AC0，所以(6,4)不是极值点. (4)解方程组 22 22 ()22 ()22 2 e(1)0 2 e(1)0 xy xy xxy yxy 得驻点 P0(0,0),及 P(x0,y0),其中 x02+y02=1， 在点 P0处有 z=0，而当（x,y）(0,0)时，恒有 z0， 故函数 z 在点 P0处取得极小值 z=0. 再讨论函数 z=ue -u 由 d e (1) d u z u u ，令 d 0 d z u 得 u=1, 当 u1 时， d 0 d z u ；当 u1 或 x2+y20 时负定，故此时 P2是 z 的极大值点，且 3 , 273 3 aa a z . 8 12. 设 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0，确定函数 z=z(x,y)，研究其极值。 解：由已知方程分别对 x,y 求导，解得 484 , 281281 zxzzy xzxyzx 令0,0, zz xy 解得0, 2 x yz , 将它们代入原方程，解得 16 2, 7 xx . 从而得驻点 16 ( 2,0),0 7 . 2 22 2 2 2 22 (281)(48 )4828 (281) 428 , (281) 4(281)8 . (281) zz zxxz z xx xzx z y z x x yzx z zx zy yzx 在点（-2，0）处， 44 1,0, 1515 ZABCB2-AC0 取得最小值. 故在点 11 11 , nn ii ii xy nn 处，S 取得最小值. 即所求点为 11 11 ,0 nn ii ii xy nn . *18. 已知过去几年产量和利润的数据如下： 产量 x( 3 10件) 40 47 55 70 90 100 利润 y( 3 10元) 32 34 43 54 72 85 试求产量和利润的函数关系，并预测当产量达到 120 千件时工厂的利润。 解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设 f(x)=ax+b， 求 6 2 1 () ii i uyaxb 的最小值，即求解方程组 12 666 2 111 66 11 , 6. iiii iii ii ii axbxy x