矩阵理论试题答案最终版.pdf

1、 在在 3 维实系数多项式线性空间维实系数多项式线性空间 P2x上定义如下变换上定义如下变换 T：P2xP2x 2 ( )( )2 ( ) 2 ( )(1)(1)( ) P xP x P x dd P xTxxxP x dxdx =+ 并取并取 B=x2,x,1为为 P2x 的一组基。的一组基。 (1) 试证明试证明 T 是一个线性变换；是一个线性变换； (2) 试说明试说明 TB = Tx2,Tx,T1的线性相关性；的线性相关性； (3) 求出线性变换求出线性变换 T 关于基关于基 B 的矩阵表示；的矩阵表示； (4) 求出线性变换求出线性变换 T 的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。 解： (1) 要 证 明T是 线 性 变 换 ， p(x),q(x) P2(x) ， 2 2 ( ( )( ) 2 ( ( )( )( ( )( ) (1)(1)( ( )( ) p xq x dp xq xd p xq x Txxxp xq x dxdx + + =+ = 2 2 2 ( )( ) (1)(1)( ) d p xdp x xxxp x dxdx + 2 2 2 ( )( ) (1)(1)( ) d q xdq x xxxq x dxdx +=( )( )Tp xTq x+ p(x) P2(x)， 2 ( )( )2 ( ) 2 (1)(1)( ) kp xkp x kp x dd Txxxkp x dxdx =+ = ( )p x kT所以 T 是线性变换 (2) 2 222 (1)*2(1)*232 x Txxxxxx=+=+ 2 (1)*0(1)*11 x Txxxx=+= 2 1 (1)*0(1)*0 11Txxx=+ = 对于任意 2 123123 ,(32)*1*( 1)0k k k kxkk+=得 2 1123 320k xkkk+=， 则 1 123 30 20 k kkk = += 有无穷解， 所以说 TB = Tx2,Tx,T1 是线性相关的。 (3) TB=BA, 222 300 (, ,1)(32,1, 1)(, ,1) 000 211 T xxxxx =+= 免责声明 虽然是最终版 ，但仍不保证答案100%正确，只能说是比较接近正确 答案吧。希望大家好好备考矩阵理 论。(可打印，可复制) (4) 线性变换 T 在基 B 下对应的矩阵为 A= 300 000 211 ,于是 det()EA= 300 det00(1)(3) 211 =+ + 所以 T 的特征值为 0，-1，3，对应的特征向量为(0,1,1) ,(0,0,1) ,(2,0,1) TTT 2、 设设e1=(1 0 0)T,e2= 1 3 (-2 2 1)T,e3= 1 3 (1 1 1)T为为 R3的一组基。的一组基。 (1) 将上述基标准正交化；将上述基标准正交化； (2) 求一个镜面反射矩阵，求一个镜面反射矩阵，H：R3 R3,它使它使 He2为平面为平面 2x1 +x2 + 2x3 1 = 0 的的 单位法向量；单位法向量； (3) 写出构造镜面反射矩阵写出构造镜面反射矩阵 H 的的 matlab 函数。函数。 解：(1) 正交化得： 11 21 221 11 3132 3312 1122 1 0 , 0 0 (,)1 2 , (,)3 1 0 ( ,)( ,)3 1 (,)(,)15 2 e e e ee e = = = 单位化得： 00 1 21 10 , 2, 3 55 0 12 55 rrr = (2)平面 2x1 +x2 + 2x3 1 = 0 的单位法向量为 y2= 1 (2,1,2) 3 T ， 则镜面的法向量 u 为 u=e2-y2= 1 ( 4,1, 1) 3 T ,单位化得 w= 1 ( 4,1, 1) 3 2 T ，则 H=In-2wwT， 则 H 为 7440.77780.44440.4444 1 4810.44440.88890.1111 9 4180.44440.11110.8889 = (3) function H=householder(x,y) %x,y 为两个列向量 x1=x/norm(x); y1=y/norm(y); u=(x1-y1)./norm(x1-y1); H=eye(length(u)-2*u*u; %这里 x 为 e2，y 为 1 (2,1,2) 3 T 3、 已知已知 B1 = 2,t + 1, t2 1 和和 B2 = 1,2t 1,t2 + t - 1是是 P2t, t -1,1的两组的两组 基，且对于基，且对于p(t), q(t)P2t,定义内积：定义内积： 1 1 ( ( ), ( )( ) ( )p t q tp t q t dt =. (1) 求求 B1到到 B2的过渡矩阵；的过渡矩阵； (2) 写出基写出基 B1的度量矩阵；的度量矩阵； (3) 求函数求函数 f(t) = exp(-t) 在在 P2t，t -1,1的最佳平方逼近多项式的最佳平方逼近多项式(t). 解：(1) B1= 2 211 (1, ,) 010 001 t t ，B2= 2 111 (1, ,) 021 001 t t ，设过度矩阵为 A， 则 B2=B1A，所以 1 2111110.51.50.5 010* 021021 001001001 A = (2) B1的度量矩阵G为 2 2 2222 111 2 111 111 22 111 11 22 11 (2,2)(2,1)(2,1) (1,2)(1,1)(1,1) (1,2)(1,1)(1,1) 42*(1)2*(1) 2*(1)(21)(1)*(1) 2*(1)(1)*(1)( tt ttttt ttttt dttdttdt tdtttdtttdt tdtttdtt + + + + =+ + 1 22 1 1)*(1) 8 84 3 104 4 33 8416 3315 tdt = (3) 选取基为1，t，t2,即由方程（2.1.4）得 1 0 1 1 1 2 2 20 3 2 002 3 5 22 0 35 eea ae aee = 解得 012 0.9963,1.1036,0.5367aaa= =即(t).=0.9963-1.1036t+0.5367t2 4、(1)求出拟合平面上四个点（求出拟合平面上四个点（1,0） ， （） ， （-1，-1） ， （） ， （2,1） ， （） ， （-3,2）的多项式的多项式 P(x) = a0 + a1x + a2x2 (2)给定仿射变换（伸缩及平面变换）给定仿射变换（伸缩及平面变换） 101 021 xx yy =+ 求多项式求多项式 P(x)经此仿射变换所得到的曲线，变换后的曲线是什么曲线？经此仿射变换所得到的曲线，变换后的曲线是什么曲线？ 解：(1)由平面的四个点我们可得如下方程。 2 012 2 012 2 012 2 012 *1*10 *( 1)*( 1)1 *2*21 *( 3)*( 3)2 aaa aaa aaa aaa += += += += 设 A=1 1 1;1 -1 1;1 2 4;1 -3 9 x=a0 a1 a2T b=0 -1 1 2T,则上述方程可表 示为 Ax=b；方程两边同时乘以 AT得 ATAx=ATb；所以 x=(ATA)-1ATb; 111213 212223 313233 4115 11519 151999 T aaa A Aaaa aaa = 1 1124186206 1 ()18617161 1592 2066159 T A A = 2112418620620.9548 1 3 ,18617161*30.2487 1592 212066159210.4045 T A bx = = 所以 所以 2 P( )0.95480.24870.4045xxx= +， 即 2 0.95480.24870.4045yxx= + (2) 101 021 xx yy =+ 1 21 x y = 即 x 放大-1 倍，x 向右平移 1，y 放大 2 倍，y 向左平移 1 所以 1 1 2 x x y y = + 带入(1)中方程得： 2 2 2 1 0.95480.2487(1)0.4045(1) 2 1 1.90960.49740.4974 0.80900.8090 2*0.8090 1.60322.1154 0.8090 y xx xxx xx + = + = + =+ Matlab 程序如下： x=1 -1 2 -3;y=0 -1 1 2; H=zeros(4,3); H(:,1)=x.2; H(:,2)=x; H(:,3)=ones(4,1); Q,R=qr(H,0); a=R(Q*y) xx=-4:0.1:4; yy=polyval(a,xx); figure(1) plot(xx,yy,x,y,ro) p=polyfit(x,y,2); yp=polyval(p,xx); figure(2) plot(xx,yp,x,y,ro) 可知 012 -0.9548,0.2487,0.4045aaa= (2) （1,0） ， （-1，-1） ， （2,1） ， （-3,2）这四个点经过仿射变换后得到（0，-1） ， （2，-3） ， （-1,1） ， （4,3）拟合得到曲线 Q(x)=-1.6030-2.1156x+0.8090x2 5、 已知矩阵已知矩阵 210 1 021 5 102 A = (1) 试计算试计算 A 的的 Frobenius 范数，范数，|A|，|A|并写出并写出 Matlab 函数。函数。 (2) 试说明级数试说明级数 0 k k A = 是收敛的，并是收敛的，并 求其结果（提示求其结果（提示 1 0 () k k AIA = = ） 。） 。 (3) 试问针对线性方程组试问针对线性方程组 Ax =b 所构造的所构造的 Jacobi 与与 Ganuse-Seidel 迭代是否收迭代是否收 敛。敛。 解：(1)A 的 Frobenius 范数= 2 11 mn i j ij a = =0.60.7746= |A| = 0.6；|A|=0.6 Matlab 函数为： norm(A,fro);norm(A,1);norm(A,inf) (2)级数 0 k k A = 是收敛的充 分必要条件为 A 为收敛矩阵，且其和为 1 0 () k k AIA = = ，由于 A 的任意特征值小于 1（即范数1） ，所以 Ak为收敛矩阵， 所以 A 为收敛矩阵，即级数收敛。 1 0.360.120.041.73080.57690.1923 1 ()0.040.360.120.19231.73080.5769 0.208 0.120.040.360.57690.19231.7308 IA = (3) ADLU=其中 0.40000000.20 00.40,000 ,000.2 000.40.200000 DLU = Jacobi 迭代的 G=D1(L +U)，为 00.50 000.5 0.500 ，显然( )1G，所以 Jacobi 迭代收 敛 Gauss-Seidel 迭代G=(D L) -1 U,为 00.50 000.5 00.250 ，显然( )1G，所以 Gauss-Seidel 迭代收敛 6、 表格表格 体重体重 50 60 65 70 80 身高身高 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 （1） 计算协方差矩阵以及体重与身高的相关系数计算协方差矩阵以及体重与身高的相关系数 （2） 求出此数据的主成分求出此数据的主成分 （3） 写出写出 Matlab 程序程序 解： 此问题的观测向量 X 为 X=50 60 65 70 80;1.2 1.3 1.4 1.6 1.7; 样本的均值 M 为 M=65;1.44; B=A-MeTn为 B=-15 -5 0 5 15;-0.24 -0.14 -0.04 0.16 0.26; 由此我们得到样本的协方差矩阵 1 1 T SBB N = 22222 225252522515*0.245*0.145*0.16 15*0.26 1 15*0.245*0.145*0.16 15*0.260.240.140.040.160.264 + = + 所以协方差矩阵 体重与身高的相关系数 2.25 0.9705 125*0.043 ij ij iijj s r s s =，所以 此数据的主成分为： 所以第一主成分为： 1 0.99980.0180.9998(65)0.018(1.44);ywhwh= = 第二主成分为 2 0.0180.99980.018(65)0.9998(1.44);ywhwh= += + X=50 60 65 70 80;1.2 1.3 1.4 1.6 1.7; function M,S1,R,U,D=mean2var(X) M=mean(X) ;%计算样本的均值 p,N=size(X); B=X-M*ones(1,N);%计算平均偏差矩阵 S=1./(N-1).*B*B;%计算协方差矩阵 S1=cov(X)%计算协方差矩阵的 Matlab 函数 R=corrcoef(X)%计算相关系数矩阵 U,D,V=svd(S1);%计算主成分 U D=diag(D); 7、 求解下列矩阵常微分方程求解下列矩阵常微分方程 (0) dx Axf dt xl =+ = 其中其中 3 4111 , 1211 t Afel = 并写出相应的并写出相应的 Matlab 程序程序 解：首先求出 At 的特征多项式 2 ( )det()(3 ) At