固体物理基础课后答案曹全喜编.pdfVIP

第一章第一章 习习 题题 1. 画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构以及惯用原胞、初基原胞中的原子个数和 配位数。 (1) 氯化钾； （2）氯化钛； （3）硅； （4）砷化镓； （5）碳化硅（6）钽酸锂； （7）铍； （8）钼； （9）铂。 解：解： 名称 分子式 结构 惯用元胞 布拉菲 格子 初基元胞初基元胞 中原子数中原子数 惯用元胞 中原子数 配位数 氯化钾 KCl NaCl 结构 fcc 2 8 6 氯化钛 TiCl CsCl 结构 sc 2 2 8 硅 Si 金刚石 fcc 2 8 4 砷化镓 GaAs 闪锌矿 fcc 2 8 4 碳化硅 SiC 闪锌矿 fcc 2 8 4 钽酸锂 LiTaO3 钙钛矿 sc 5 5 2、6、12 O、Ta、Li 铍 Be hcp 简单 六角 2 6 12 钼 Mo bcc bcc 1 2 8 铂 Pt fcc fcc 1 4 12 2. 试证明：理想六角密堆积结构的 1 2 8 1.633 3 c a 。如果实际的 c a 值比这个数值大得多，可以把晶体 视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。 证明证明：如右图所示，六角层内最近邻原子间距为 a，而相邻两层的最近邻原子间距为： 2 1 22 43 ca d。 当 d=a 时构成理想密堆积结构，此时有： 2 1 22 43 ca a， 由此解出：633. 1 3 8 2 1 a c 。 若633. 1 a c 时，则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大， 因此层间堆积不够紧密。 3. 画出立方晶系中的下列晶向和晶面：101、110、112、121、 （110） 、 （211） 、 （111） 、 （112） 。 解：解： 4. 考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原胞。若采用初基 原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少？ 解：解：如右图所示：在立方惯用原胞中的（100）晶面，在初基原胞基矢坐标 系中，在1a、 2a、3a三个基矢坐标上的截距为2,2 ，则晶面 指数为（101） 。同理， （001）晶面在初基原胞基矢坐标系 1a、2a、 3a上的截距为,2,2，则晶面指数为（110） 。 5. 试求面心立方结构（100） 、 （110） 、 （111）晶面族的原子数面密度和面间距，并比较大小；说明垂直于 上述各晶面的轴线是什么对称轴？ 解：解： 晶面指数 原子数面密度原子数面密度 面间距 对称轴 （100） 2 2 a a C4 （110） 2 4 . 1 a a 2 2 C2 （111） 2 3 . 2 a a 3 3 C3 6. 对于二维六角密积结构，初基原胞基矢为：13 2 a aij ， 2 3 2 a aij ，kcc 。求 其倒格子基矢，并判断倒格子也是六方结构。 解：解：由倒格基失的定义，可计算得： 32 1 2aa b = a 2 ) 3 1 ( ji， ji a aa b) 3 1 ( 22 13 2 ， k c aa b 22 21 3 （未在图中画出） 正空间二维初基原胞如图（A）所示，倒空间初基原胞如图（B）所示 （1）由 21 bb 、组成的倒初基原胞构成倒空间点阵，具有 C6操作对称性，而 C6对称性是六角晶系的特 征。 （2）由 21 aa 、构成的二维正初基原胞，与由 21 bb 、构成的倒初基原胞为相似平行四边形，故正空间 为六角结构，倒空间也必为六角结构。 （3）倒空间初基原胞基矢与正格子初基原胞基矢形式相同，所以也为六方结构。 7. 用倒格矢的性质证明，立方晶系的hkl晶向与（hkl）晶面垂直。 证证明明：由倒格矢的性质，倒格矢 321 blbkbhGhkl垂直于晶面（hkl） 。由晶向指数（hkl） ，晶向可用 矢量A表示，则： 321 alakahA。 倒格子基矢的定义： )(2 32 1 aa b ； )(2 13 2 aa b ； )(2 21 3 aa b 在立方晶系中，可取 321 aaa、相互垂直且 321aaa，则可得知332211bababa， ， ， 且321bbb。设m a b i i （为常值，且有量纲，即不为纯数） ， 则 AmalakahmGh k l） 321 ( ，即 hklG与A平行。 8. 考虑晶格中的一个晶面（hkl） ，证明：(a) 倒格矢123hGhbkblb垂直于这个晶面；(b) 晶格中相 邻两个平行晶面的间距为 2 hkl h d G ；(c) 对于简单立方晶格有 2 2 222 a d hkl 。 证明：证明： （a）晶面（hkl）在基矢 321aaa、 、 上的截距为 l a k a h a 321 、 、 。作矢量： k a h a m 21 1， l a k a m 32 2， h a l a m 13 3 显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl）晶面上（如右图） ，且 0222 321 21 321 13 321 3221 321 21 1 aaa aa l aaa aa k aaa aa h k a h a blbkbh k a h a Gm h 同理，有0 2hGm，03hGm 所以，倒格矢hklGh晶面。 （b）晶面族（hkl）的面间距为： hhh h hkl GG blbkbh h a G G h a d 2 32111 （c）对于简单立方晶格： 2 1 222 2 lkh a Gh 222 2 2 lkh a d 9. 用 X 光衍射对 Al 作结构分析时， 测得从(111)面反射的波长为 1.54， 反射角为=19.20， 求面间距 d111。 解：解：由布拉格反射模型，认为入射角反射角，由布拉格公式：2dsin=，可得 sin2 n d （对主极大取 n=1） )(34. 2 2 .19sin2 54. 1 0 Ad 10. 试证明：劳厄方程与布拉格公式是等效的。 证明：证明：由劳厄方程：2)( 0kkRl 与正倒格矢关系：2h l GR比较可知： 若 0kkGh成立，即入射波矢0k，衍射波矢k之差为任意倒格矢hG，则k方向产生衍射光， 0kkGh式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。 现由倒空间劳厄方程出发，推导 Blagg 公式。 对弹性散射： 0kk 。由倒格子性质，倒格矢hG垂直于该 晶面族。所以， hG的垂直平分面必与该晶面族平行。 由右图可知： sin 4 sin2 kGh (A) 又若 hG为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有： d Gh 2 ；若 hG不是该方向最短倒格失， 由倒格子周期性： n d GnG hh 2 （B） 比较（A） 、 （B）二式可得： 2dSinn 即为 Blagg 公式。 11. 求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。 解：解：每个惯用元胞中有八个同类原子，其坐标为： 4 3 4 3 4 1 4 3 4 1 4 3 4 1 4 3 4 3 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 2 1 000， ， ， ， ， ， ， 结构因子： m ij lwkvhui jhkl jjj efS 2 lkhilkhilkhilkhi lhilkikhi eeeeeeef 33 2 33 2 33 22 1 前四项为 fcc 的结构因子，用 Ff表示从后四项提出因子 )( 2 lkhi e lkhi f lkhi ff lkilhikhi lkhi fhkl eFeFFeeeefFS 22 )()()( )( 11 2 因为衍射强度 2 hkl SI ， lkhilkhi f lkhilkhi fhkl eeFeeFS 22 2 )()( 22 211 22 用尤拉公式整理后： )( 2 cos12 22 lkhFS fhkl 讨论：1、当 h、k、l 为奇异性数（奇偶混杂）时，0 f F，所以0 2 hkl S； 2、当 h、k、l 为全奇数时， 2222 32)4(22 ffFS flkh ； 3、当 h、k、l 全为偶数，且nlkh4（n 为任意整数）时， 2222 64164) 11 (2 ffFS flkh 当 h、k、l 全为偶数，但nlkh4，则122nlkh时， 0) 11 (2 22 FS lkh 12. 证明第一布里渊区的体积为 c V 3 2 ，其中 Vc是正格子初基原胞的体积。 证明：证明：根据正、倒格子之间的关系： )(2 32 1 aa b ， )(2 13 2 aa b ； )(2 21 3 aa b Vc是正格子初基原胞的体积，第一布里渊区的体积为就为倒格子原胞的体积，即 cc c c V aaaaaa V aaaaaa V aaaV 3 123123 3 211332 3 321 22 )()( 2 第二章第二章 习习 题题 1、已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成： nm r b r a rU)(，求： 晶体平衡时两原子间的距离； 平衡时的二原子间的互作用能； 若取 m=2，n=10，两原子间的平衡距离为 3，仅考虑二原子间互作用则离解能为 4eV，计算 a 及 b 的值； 若把互作用势中排斥项 n b r 改用玻恩梅叶表达式exp r p ，并认为在平衡时对互作用势能具 有相同的贡献，求 n 和 p 间的关系。 解：解：(1) 由 nm r b r a rU)(，平衡时：0 )( 1 0 1 0 0 nm r bnramr r rU ， 得： am bn r mn 0 ，化简后得： mn am bn r 1 )( 0 。 (2) 平衡时把 r0表示式代入 U(r)中： mn m n mn mn n m mn b am n a bn m am bn b am bn a rU mn n mn m )()( )( 0 。 （3）由 r0表示式得： 8 1 ) 5 (103 10 a b 若理解为互作用势能为二原子平衡时系统所具有的能量，由能量最小原理，平衡时系统能量具有 极小值，且为负值；离解能和结合能为要把二原子拉开，外力所作的功，为正值，所以，离解能结 合能互作用势能，由 U(r)式的负值，得： 1010210 19 )103()103( 106 . 14 ba 化简为： 80 10 10 39 104 . 6 ba 略去第二项计算可得： 2115238 1045. 9102 . 7mJbmJa ， (4) 由题意得： n p r bre 0 * 0 0 lnlnlnrnb p r ， b p r rnlnln 0 0 ，则： 0 0 ln ln r b p r n 又解：*式两边对 r0求导，得： 1 0 np r bnre p ，与*式比较得： pr n1 0 可解得：npr 0 2、N 对离子组成的 Nacl 晶体相互作用势能为： R e R B NRU n 0 2 4 )( 。 证明平衡原子间距为：n e B Rn 2 01 0 4 ； 证明平衡时的互作用势能为：) 1 1 ( 4 )( 00 2 0 nR Ne RU ； 若试验试验测得 Nacl 晶体的结合能为 765kJ/mol，晶格常数为 5.6310-10m，计算 Nacl 晶体的排斥 能的幂指数 n，已知 Nacl 晶体的马德隆常数是1.75。 证明：证明： （1）由： R e R B NRU n 0 2 4 )( 得： 12 0 2 2 0 2 1 4 ) 1( 4 )( )( n n R Bn R e NR e RnBN dR RdU 令： 0 )( 0 RR R RdU ，即 0 4 1 0 2 00 2 n R Bn R e N 得： 2 01 0 4 e Bn Rn 。 （2）把以上结果代入 U(R)式，并把 R 取为 R0，则： nR e N eB NRU nn e Bn e Bn e Bn 1 1 4 )(4)( )( 00 2 4 0 2 44 0 1 1 2 01 1 2 0 2 0 若认为结合能与互作用能符号相反，则上式乘“” 。 （3）由（2）之结论整理可得： )(4 000 2 2 RUReN eN n 式中： 23 100 . 6NN， 19 106 . 1 e库仑， 12 0 1085. 8 法/米 若题中 R0为异种原子的间矩，则：mR 10 0 1063. 55 . 0 ； molJRU/1065. 7)( 5 0 U（平衡时互作用势能取极小值，且为负，而结合能为正值） 马德隆常数：75. 1，将这些一致数据代入 n 的表达式中，则： 8 . 8 1056. 275. 1100 . 6 1065. 71082. 21085. 814. 34 1 1 )(4 1 1 3823 51012 2 000 eN RUR n 3、如果把晶体的体积写成：VNR3，式中 N 是晶体中的粒子数；R 是最近邻粒子间距；是结构因子， 试求下列结构的值：fcc；bcc；NaCl；金刚石。 解：解：取一个惯用元胞来考虑： 结构 V0 N0 R0 fcc a3 4 a 2 2 2 2 bcc a3 2 a 2 3 2 3 3 4 NaCl a3 8 2 a 1 金刚石 a3 8 a 4 3 2 3 3 8 4、证明：由两种离子组成的间距为 R0的一维晶格的马德隆常数2ln2。已知 1 1 1 ln21 n n n 证明：证明：由马德隆常数的定义： j j a 1 ，其中同号离子取“” ，异号离子取“” 。 若以一正离子为参考点，则： 2 1 6 1 4 1 2 1 2 12 1 5 1 3 1 12 nn (A) 又由已知 1 1 1 ln21 n n n ，代入（A）式，则：2ln2 5、假定由 2N 个交替带电荷为q的离子排布成一条线，其最近邻之间的排斥势为 n b r ，试证明在平衡间距 下有： 2 0 00 2ln21 1 4 Nq U R Rn 。 证明：证明：由 R q R B NRU n 0 2 4 )( ，得： 12 0 2 2 0 2 1 4 ) 1( 4 )( )( n n R Bn R q NR q RnBN dR RdU 令： 0 )( 0 RR R RdU ，即 0 4 1 0 2 00 2 n R Bn R q N 得： 2 01 0 4 q Bn Rn 。把该式代入 U(R)式，并把 R 取为 R0，则： nR q N qB NRU nn q Bn q Bn q Bn 1 1 4 )(4)( )( 00 2 4 0 2 44 0 1 1 2 01 1 2 0 2 0 (A) 由马德隆常数的定义： j j a 1 ，其中同号离子取“” ，异号离子取“” 。 若以一正离子为参考点，则： 2 1 6 1 4 1 2 1 2 12 1 5 1 3 1 12 nn (B) 又由已知 1 1 1 ln21 n n n ，代入（B）式，则：2ln2。将代入(A) 式，得： 2 0 00 2ln21 1 4 Nq U R Rn 。 6、试说明为什么当正、负离子半径比37. 1/ rr时不能形成氯化铯结构；当41. 2/ rr时不能形成 氯化钠结构。当41. 2/ rr时将形成什么结构？已知 RbCl、AgBr 及 BeS 中正、负离子半径分别为： 晶 体 r+/nm r-/nm RbCl AgBr BeS