南京航空航天大学线性代数课后习题全解第一章.pdf

1 习题一习题一 行列式与线性方程组的行列式与线性方程组的 Gauss 消元法消元法 1.计算以下行列式： (1) 21 11 ； (2) cossin sincos ，R； (3) 987 654 321 ； (4) 00 0 00 d cb a ，Rdcba,； (5) 122 200 121 ； (6) 222 111 cba cba，Rcba,. 【解答】【解答】 (1) 11 1 2 1 ( 1)3 12 = = (2) 22 cossin cos( sin)1 sincos = = (3) 3221 123123123 4564563330 789333333 rrrr = (4) 方法一 用对角线法则 00 00 0 000000 0 00 00 a bca cb da bc d d = + + = 方法二 按行按列展开 1 2 00 0( 1)00 00 00 a bc bcaa d + = = = 2 (5) 2 3 121 12 002( 1)24 22 221 + = = (6) 222 111 ()()()abcba ca cb abc = 2.计算以下排列的逆序数，并说明其奇偶性： (1) 25413； (2) 25143； (3) nn264212531?，1n； (4) 125312642nn?，1n. 【解答】 【解答】 (1) 31,32,42,52，排列的逆序数为4，为偶排列。 (2) 31,32,41,42,52，排列的逆序数为5，为奇排列。 (3) 比1小且排在1后面的数有0个，比3小且排在3的后面的数为2，有1个， ?，比21k小且排在21k的后面的数为2,4,2(1)k?，有1k个，?，后面 的偶数均按标准顺序排列，故排列的逆序数为 (1) 0 121 2 n n n + + =?。 (2) 比2小且排在2的后面的数为1，有1个，比4小且排在4的后面的数为1,3， 有2个，?，比2k小且排在2k后面的数为1,3,21k ?，有k个，后面的奇数均 按标准顺序排列，故排列的逆序数为 (1) 12 2 n n n + +=?。 3.设 12 , n jjj?为任一n阶排列，计算 1221 ( ,)(,) nn jjjjjj+? 【解答】 【解答】 假设排列 12 , n jjj?中比 k j 小但排在 k j 后面的数有 k 个， 则比 k j 大且排在 k j 后面的数有 k nk，因此，排列 21 , n jjj?中比 k j 大但排在 k j 前面的数有 3 k nk个。因此， 1221 11 (1) ( ,)(,)() 2 nn nnkk kk n n jjjjjjnk = +=+= ? 4.确定六阶行列式中，项 564562243113 aaaaaa所带符号。 【解答】【解答】 6 (3,4,1,5,6,2)( 1)1= =，故项 564562243113 aaaaaa所带符号为正号。 5.选择ji,，使得五阶行列式中项 41532341 aaaaa ji 所带符号为正号。 【解答】【解答】 只有两种可能：2,5ij=和5,2ij=。2,5ij=时，( , ,4,1,3)6i j=，因 此，2,5ij=时，项 41532341 aaaaa ji 所带符号为正号。 6.利用行列式的定义计算以下行列式： (1) d c b a D 000 000 000 000 =； (2) 000 1000 0200 0010 ? ? ? ? ? n n D =； (3) 11 00 00 00 00 535251 434241 333231 232221 131211 aaa aaa aaa aaa aaa D =。 【解答】 【解答】 (1) 行列式展开共有4!项，但只有项 (1,3,2,4) ( 1)abcdabcd = 为有效项，故 Dabcd= 。 (2) 行列式展开有!n项，但只有 (2,3, ,1)1 ( 1)1 2( 1)! nn nn = ? ?为有效项，故 1 ( 1)! n Dn = 。 (3) 行列式展开有5!项，它们都形如 13 123 1 0 jjj a a a 或 13 123 0 1 jjj a a a ，都是0， 故0D =。 4 7.设njixfij, 2 , 1,),(?=为x的可微函数，证明： 11121 11121 21222 12 1 12 12 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) n n n n iiin i nnnn nnnn fxfxfx fxfxfx fxfxfx dddd fxfxfx dxdxdxdx fxfxfx fxfxfx = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 【解答】【解答】 12 12 12 11121 21222(,) 12 , 12 ( )( )( ) ( )( )( ) ( 1)( )( )( ) ( )( )( ) n n n n njjj jjnj jjj nnnn fxfxfx fxfxfx fx fxfx fxfxfx = ? ? ? ? ? ? ? 12 12 12 1212 1 121 11121 21222(,) 12 , 12 (,)(,) 1 ,1, ( )( )( ) ( )( )( ) ( 1)( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( 1)( )( )( 1) n n n i nn n n n njjj jjnj jjj nnnn n ij jjjjjj jnj jjjij fxfxfx fxfxfx dd fx fxfx dxdx fxfxfx dfx fxfx dx = = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 1, 11121 12 1 12 ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) i n n n ij jnj ijj n n iiin i nnnn dfx fxfx dx fxfxfx dfxdfxdfx dxdxdx fxfxfx = = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8.证明： (1) 0 1111 1111 1111 1111 44342414 43332313 42322212 41312111 = + + + + yxyxyxyx yxyxyxyx yxyxyxyx yxyxyxyx ； (2) 0 )3()2() 1( )3()2() 1( )3()2() 1( )3()2() 1( 2222 2222 2222 2222 = + + + + dddd cccc bbbb aaaa ； 5 (3) 33 () byazbzaxbxayxyz bxaybyazbzaxabzxy bzaxbxaybyazyzx + +=+ + 。 【解答】【解答】 (1) 1112131411121131141 2122232421221231241 3132333431321331341 414243444 11111()()() 11111()()() 11111()()() 11111 x yx yx yx yx yx yyx yyx yy x yx yx yx yx yxyyxyyxyy x yx yx yx yx yxyyxyyxyy x yx yx yx yx + + = + + 1421431441 0 ()()()yxyyxyyxyy = (2) 222222 222222 222222 222222 (1)(2)(3)2123252122 (1)(2)(3)2123252122 0 (1)(2)(3)2123252122 (1)(2)(3)2123252122 aaaaaaaaaa bbbbbbbbbb cccccccccc dddddddddd + + = + + (3) 2 2 byazbzaxbxayyzxzxy bxaybyazbzaxb bxaybyazbzaxa bxaybyazbzax bzaxbxaybyazbzaxbxaybyazbzaxbxaybyaz yzxyzxzxy bxyzabyzxabxyz bzaxbxaybyazbzaxbxaybyazbzaxbxaybyaz zxy ayzx bz + +=+ + =+ + + 3333 () yzxzxyxyz b xyza yzxabzxy axbxaybyazzxyxyzyzx =+=+ + 9.已知a aaa aaa aaa D= 333231 232221 131211 ，计算下列行列式： (1) 333231 232221 131211 1 3 3 3 aaa aaa aaa D =； (2) 333231 232221 131211 2 333 333 333 aaa aaa aaa D =； (3) 32313331 22212321 12111311 3 23 23 23 aaaa aaaa aaaa D =。 【解答】【解答】 6 (1) 111213111213 1212223212223 313233313233 3 333 3 aaaaaa Daaaaaaa aaaaaa = (2) 111213111213 3 2212223212223 313233313233 333 333327 333 aaaaaa Daaaaaaa aaaaaa = (3) 1113111211131112111312111213 32123212221232122212322212223 3133313231333132313332313233 322 3232333 322 aaaaaaaaaaaaaa Daaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa = = 10.计算以下行列式： (1) ab ba ba ba D 00 00 00 00 ? ? ? ? ? =； (2) n n D 222 2122 2222 2221 ? ? ? ? ? =； (3) n n a a a a D 001 001 001 111 1 1 0 ? ? ? ? ? =，其中niai, 2, 1, 0?=； (4) xaaaa axaaa aaxaa aaaxa D n n n n + + + + = ? ? ? ? ? 321 321 321 321 ； 7 (5) nn n n n xaaaa axaaa aaxaa aaaxa D + + + + = ? ? ? ? ? 321 3321 3221 3211 ，其中nixi, 2, 1, 0?=； (6) ab a b ab ba ba ba D ? ? ? =； (7) nnnn naaaa naaaa naaaa D )()2() 1( )()2() 1( 21 1111 2222 = ? ? ? ? ? ； (8) 2 3) 1(2) 1(1) 1( 3322212 2321 321 nnnnnnn nnnn nnnn n D ? ? ? ? ? + + + =； (9) 1221 1000 100 0010 001 axaaaa x x x x D kkk + = ? ? ? ? ? ； (10) 2 2 2 1 1 1 xx x x xxx xx D + + + = ? ?。 【解答】 【解答】 8 (1) 1 00 00 ( 1) 00 00 nnn ab ab Dab ab ba + =+ ? ? ? ? ? ； (2) 12221222 222 22221000 010 2(2)!1010 2212 002 2221002 Dn n n nn = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3) 0 0 1 1 1 011 1 1 1 1 000111 100 100 1 () 100 100 100 100 n k k n nn k k n n n n aa a a a Daaaa a a a a a = = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4) 123123 123 123 123 00 00 00 nn n n n axaaaaxaaa aaxaaxx Daaaxaxx aaaaxxx + + =+= + ? ? ? ? ? 显然，0x =时，0D =。0x 时， 1123 2 1 1 ()000 00 00 ()00 00 00 00 n k n k n n k k a axxaxaaa x xx xx Dxxaxx xx xx xx = = + =+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0x =也适合这个公式，故 1 1 () n n k k Dxxa = =+。 (5) 9 11231123 122312 123313 1231 111 2 12 11123 2 13 1 00 00 00 000 00 () 00 00 nn n n nnn n k k k n k n k k n axaaaaxaaa aaxaaxx Daaaxaxx aaaaxxx a axx x xx a axx x xx xxx xx = = + + =+= + + =+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (7) 2222 (1) 1 2 1111 12 (1)(2)() (1)(2)() (1)()2(1)()(1)(1) ( 1)!( 1)(1)!( 1)( 1)!(1)!2! nnnn n n nn aaaan Daaaan aaaan aaanaaaanaanan nnn n + = = = = ? ? ? ? ? ? ? (8) 2 123123 1232 02122233 (1)1(1)2(1)3 nn nnnnnnnn Dnnnnnnnn nnnnnnnnnnn + =+ + ? ? ? ? ? (9) 21 121 1221 21 121 100 0100 001 () 0001 kk kk kkk kkk kk x x x Daaxa xxa x x aaaaxa aaxa xa xx =+ + =+ ? ? ? ? ? ? ? (10) 记原行列式为 n D ，则 2 1 1Dx= +， 2 24 2 2 1 1 1 xx Dxx xx + = + + ， 22 12 (1) nnn DxDx D =+，3n 。其特征方程为 222 (1)rxrx=+，其两根为1和 10 2 x。 (1) 若 2 1x =，则 12n Dcc n=+，代入初始值，得到 12 2cc+=， 12 23cc+=，求之， 可得 12 1cc= ，1 n Dn= +。 (2) 若 2 1x ，则 2(1) 12 n n Dcc x =+，代入初始值，得到 2 12 1ccx+= +， 224 12 1cc xxx+= +，求之，可得 1 2 1 1 c x = ， 4 2 2 1 x c x = ， 22 2222 2 1 1 1 n nn n x Dxxx x + =+ ?( 2 1x ) 但 2 1x =的情形也适合这个公式，因此，有 2222 1 nn n Dxxx =+?。 11.用Cramer法则解线性方程组： (1) =+ =+ =+ ; 4452 ,22725 , 32 321 321 321 xxx xxx xxx (2) =+ =+ =+ , , , 1 2 aabzcaybcx aczbyax zyx 其中cba,互不相等。 【解答】 【解答】 (1) 112 52763 254 D = ， 1 312 222763 454 D = ， 2 132 5227126 244 D =， 3 113 5222189 254 D = ，因此，方程组的解为 1 1 1 D x D =， 2 2 2 D x D =， 3 3 3 D x D =。 (2) 111 ()()()0Dabcab bc ca bccaab = 1 2 111 ()(2 )Dabca bc bca acaab =+ ， 2 2 111 ()()Daacb bc ac bcbab = 11 2 3 2 111 ()()Dabaab bca bccaa = 因此，方程组的解为 1 1 (2 ) ()() Da bca x Dab ca + = ， 2 2 Db x Dba = ， 2 3 3 ()() Dbca x Dbc ca = 。 12.考虑齐次线性方程组 =+ =+ =+ =+ , 0 , 03 , 02 , 0 4321 4321 4321 4321 bxaxxx xxxx axxxx axxxx ， 若其只有零解，则ba,应满足什么条件？ 【解答】 【解答】 方程组的系数行列式为 2 111111 1210100 (1)4 11310041 11001 aa a Dab a ababa =+ 该齐次线性方程组只有零解当且仅当 2 (1)40Dab=+。 13.用Gauss消元法求以下线性方程组的一般解： (1) =+ =+ =+ =+ ; 432 , 125 , 23223 , 12 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx (2) =+ =+ =+ =+ ; 337 , 13 , 3 , 4432 432 421 432 4321 xxx xxx xxx xxxx (3) =+ =+ =+ ; 023 , 0253 , 0324 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx (4) =+ =+ =+ =+ . 1442 , 634 , 42 , 1 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 【解答】【解答】 (1) 方程组的增广矩阵为 12 141111 1001 772222 21111 917791 322320110 772222 51121 33171026 0000 21134 222277 0224300001 因此，方程组无解。 (2) 方程组的增广矩阵为 123441234410122 011130111301113 1301105353002012 0731307313004824 1002810008 0101301003 0010600106 0008000010 因此，方程组的解为( 8,3,6,0)Tx = 。 (3) 齐次线性方程组的系数