理论力学第五章习题答案.pdfVIP

5.1 试写出点的柱坐标与球坐标之间的关系式 解 质点柱坐标系为z球坐标为r 两者的坐标是相同的由图得 或 z= = cos sin r r = += )2/( )( 1 2/122 tg zr 5.2 根据下列点在平面直角坐标系中的运动方程试求其轨迹并以点的起始位置为 原点写出点的轨迹上的运动方程式中的abk均为正的常数 1ktaxsin=ktabysin= 2ktax 2 cos2=ktay2sin= 3)sin(ktktax=)cos1 (ktay= 解1直角坐标轨迹方程为byx=+在直线 轨迹上取), 0(b为原点 S O箭头方向为正方向 由ktakxcos=&ktakycos=&得 ktakyxUscos2)( 2/122 =+=&积分得 ktassin2= 2直角坐标轨迹为 222 )(ayax=+在圆 轨迹上取) 0 , 2( a为原点 S O箭头方向为正方向 由ktakx2sin2=&ktaky2cos2=&得 aks2=&积分得akts2= 3由给出的参数方程可知轨迹为摆线在轨 迹上取)0 , 0(为原点 S O箭头方向为正方向 由)cos1 (ktakx=&ktakysin=&得 )2/sin(2akaks =&积分得) 2 cos1 (4 kt as= 5.3 根据下列点在极坐标系中的轨迹方程试写出点的直角坐标轨迹方程式中p e均为正的常数 1 + = cos1e p 1e 3 = cos1 p 解直角坐标与极坐标有以下关系: 2/122 )(yx +=x=cosy=sin 1 + = cos1e p pexyxpe=+=+ 22 cos 02)1 ( 2222 =+ppexyxe 2 = cos1 e p 与前题相比仅e差一符号 02)1 ( 2222 =+ppexyxe 3 = cos1 p 与 前 题 相 比只 要 令 前 题 中1=e即 可 02 22 =ppxy 5.4 试以直角坐标及其导数表示)sin(ktktax=)cos1 (ktay=中点的速度 加速度切向加速度法向加速度以及轨迹的曲率半径 解 aykktakv2)2/sin(2= ayakktakva2/1)2/cos( 22 = & 222 akyxaa=+=& & & 2/2 222 a aykaaan= ayktaktakktkaav22)2/sin(4)2/sin(/ )2/(sin4/ 2222 n 2 = 5.5 试以极坐标及其导数表示 + = cos1e p 1e中点的速度和加速度设 t=为常值 解由t=和 + = cos1e p 求导得 = & 0= & & peepe/sin)cos1/(sin 22 =+= & 2222 / )sin2cos(pepe+= & & 根据极坐标下的速度和加速度公式有 pev/sin 22 = & = &v 1/ )sin2cos( 2222 += pepea& & pea/sin22 22 =+= & & 5.6 一点的运动轨迹为平面曲线起速度在 y 轴上的投影保持常量C试求证点的加 速度的大小为=Cva/ 3 其中v为速度为曲率半径 解 根据已知条件设jivcx + = & 其中c为常数则有 2/122 )(cxv+= &xa& &=于 是可求得vaxcxxxva/)/( 2/122 & & &=+= =/ 2 n va代入 22 n 2 aaa=+ 导出 222222 )/()(vvxva= & 注意到 222 cxv= & 求得cva=/ 3 证毕 5.7 一点做螺旋运动如图示其柱坐标运动方程为 R=t=utz = 其中Ru为常数试求该点的va t a n a和并证 明 1a在垂直于 z 轴的平面内并指向轴 z 2= 2 sin/R为点的速度v与轴 z 的夹角 解根据运动方程有0=& &= & uz =&0= z & & & & 代入柱坐标速度和加速度公式得 kueRkzev+=+=+=+= & 22 )(uRv+= =eea 22 R& (*) 2 = Ra 于是有 0= va& 222 = Raaan 2222 / )(/+=RuRav n (*) 1由式(*)可知a在垂直于 z 轴的平面内并指向 z 轴 2由图可知u/v兞=cosvR /sin=则由式(*)得= 222 sin/RRv 5.8 如图所示飞机 P 在任一时刻的经度为)(t纬度为)(t高度为)(th其在 地心坐标系中的球坐标运动方程为 )(thRr+=)(2/t=)(tt+= 其中R是地球半径是地球自转角速度试求飞机的东向北向和天向的速度分量以 h和表示 若飞机一等高度h飞行 相对地球的航速为)(tu求下列两种情形下飞机的加速度分量 1沿经线由南向北 2沿纬线由西向东 解由球坐标运动方程可得 hr & & = = & +=& hr & & & & = = & & & =& & & 则有 += cos)(sin&hRrvv东 += & )(hRrvv北 hrvv & & = = r天 飞机相对地球以)(tu航速等高飞行时h为常量0= hh & & 22 )cos()()(+= & &hRtu 1沿经线由南向北为常值0=& &则)/(hRu+= & )/(hRu+=& & & 计 算可得 2cos2sin2sinurrraa=+= & & & & & & 东 uhRrrraa& & & & & &+= cossin)(2sincos 22 北 += 222222 cos)()/(sinhRhRurrraa r & & & & 天 2沿纬线由西向东为常值0= & & 则cos)/(+=hRu& cos)/(+=hR u & & & 计算可得 uaa&= 东 += tghRuhRaa 2 )/(cos)( 北 2 )/(cos)(hRuhRaa r += 天 5.9 小车 A 与 B 以绳索相连如图示A 车高出 B 车m5 . 1=h今小车以 m/s4 . 0 A =v匀速运动而拉动 B 车设开始时m5 . 4 0 = lBC试求5s后小车 B 的速度 与加速度滑轮 C 的尺寸可忽略不计 解 22 A0 22 B )(htvlhBCx= m/s5 . 0)(/ )( 22 A0A0ABB =htvltvlvxv& 22/322 A0 22 AB m/s045 . 0 )/(=htvlhva 5.10 图示杆 OA 绕 O 轴转动时可在杆上滑动的销子 P 被限制在抛物线 )cos1/(2+=b上运动若t=为常值试求 P 的速度和加速度及 P 相对 OA 的速度和加速度并具体算出下列两个特殊位置 o 0=和 o 90=时的结果 解对)cos1/(2+=bt=分别求导得 bb2/sin)cos1/(sin2 22 =+= & bb2/ )cos/sin( 222 += & & = & 0= & & P 相对 OA 杆的速度和加速度分别为 & 和 & & 则有 = = = )90( 2 )0(0 o & b = = = )90(4 )0(2/ 2 2 o & & b b P 的速度和加速度分别为 +=eevvv 和 +=eeaaa其中 v v a a为 = = = = )90(2 )0(0 2 sin 2 o & bb v = = = )90(2 )0( o & b b v = = = + = )90(2 )0( 2 1 2 )cos/sin( 2 2 2 22 o & & b b b b a = = = =+= )90(4 )0(0 sin 2 2 22 o & & bb a 5.11 图示杆 OA 绕 O 轴转动时可在杆上滑动的销子 P 被限制在抛物线 )cos1/(2+=b上运动若t=为常值计算 o 0=和 o 90=时 P 的切向和 法向加速度以及 P 的轨迹在该处的曲率半径 解P 点的速度和加速度模分别为 2/122 )