《微积分》课后答案复旦大学出社曹定华李建平毛志强著第章.pdf

1 第一章第一章 习题习题 1-1 1.用区间表示下列不等式的解 2 (1)9;(2)1; 1 (3)(1)(2)0;(4)00.01 1 x x xx x 解解(1)原不等式可化为(3)(3)0xx,其解为33x ,用区间表示是-3,3. (2)原不等式可化为11x 或11x ,其解为2x 或0x ,用区间表示是 (-,0)(2,+ ). (3)原不等式的解为21x ,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为 0.0110.01 10 x x 即 1.010.99 1 x x 用区间表示是(-1.01,-1)(-1,-0.99). 2.用区间表示下列函数的定义域: 2 2 1 (1)1;(2)arcsin(1)lg(lg ); 1 (3)65. ln(2) yxyxx x yxx x 解解(1)要使函数有意义,必须 2 0 10 x x 即 0 11 x x 所以函数的定义域为-1,0)(0,1. (2)要使函数有意义,必须 1 11 lg0 0 x x x 即 02 1 0 x x x 所以函数的定义域是12x,用区间表示就是(1,2. (3)要使函数有意义,必须 2 650 ln(2)0 20 xx x x 即 61 1 2 x x x 所以函数的定义域是-6x1 时, f(x)=-1, f(f(x)= f(-1)=1, 综上所述 f(f(x)=1(xR). 5.判定下列函数的奇偶性： (1) f(x) 2 1 cos x x ；(2)f(x)(x2x)sinx； (3)f(x) 1 e ,0 e1,0 x x x x 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 3 解解(1) 22 1 ()1 ()( ) cos()cos xx fxf x xx f(x)是偶函数. (2) 222 ()()()sin()()( sin )()sin( )fxxxxxxxxxxf x 且()( )fxf x , f(x)是非奇非偶函数. (3)当 x0,()1(1)( )ee xx fxf x ; 当 x0 时,-x0, () ()11(1)( )eee xxx fxf x , 综上所述,x R,有 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 6.设 f(x)在区间(-l,l)内有定义,试证明： (1) f(-x)+f(x)为偶函数；(2) f(-x) -f(x)为奇函数. 证证(1)令( )()( )F xfxf x (, )xl l 有() ()()( )()( )Fxfxfxf xfxF x 所以( )()( )F xfxf x是偶函数; (2)令( )()( )F xfxf x, (, )xl l 有() ()()( )() ()( )( )Fxfxfxf xfxfxf xF x 所以( )()( )F xfxf x是奇函数. 7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数；(2) 奇函数与偶函数的积是奇函数. 证证(1)设 f(x),g(x)均为偶函数,令( )( )( )F xf xg x 则()()()( )( )( )Fxfxgxf xg xF x, 所以( )( )f xg x是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数. (2)设 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,令( )( )( )F xf xg x, 则()()()( ) ( )( )Fxfxgxf x g xF x , 所以( )( )f xg x是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数. 8. 求下列函数的反函数: 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 4 2 2 (1)2sin3 ;(2); 21 2101, (3) ( ) 2(2)12. x x yxy xx f x xx 解解(1)由2sin3yx得 1 arcsin 32 y x 所以函数2sin3yx的反函数为 1 arcsin( 22) 32 x yx . (2)由 2 21 x x y 得2 1 x y y ,即 2 log 1 y x y . 所以函数 2 21 x x y 的反函数为 2 log(01) 1 x yx x . (3)当01x时,由21yx得 1 , 11 2 y xy ; 当12x时,由 2 2(2)yx得22,12xyy; 于是有 1 11 2 2212 y y x yy , 所以函数 2 2101 ( ) 2(2)12 xx f x xx 的反函数是 1 11 2( ) 2212 x x f x xx . 9. 将 y 表示成 x 的函数,并求定义域: 2 22 (1)10 ,1;(2)ln ,2 ,sin ; (3)arctan ,(). 为实数 uv yuxyu uvx yu uv vaxa 解解(1) 2 1 1010 ux y ,定义域为(-,+); (2) sin lnln2ln2sinln2 vx yux定义域为(-,+); (3) 22 arctanarctanarctanyuvax(a 为实数),定义域为(-,+). 习题习题 1-2 1.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的? (1) y=arcsin 3x a；(2) y=sin3lnx; (3) y= tan 2 x a；(4) y=lnln2(ln3x). 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 5 解解(1)令arcsin x ua,则 3 yu,再令 x va,则arcsinuv,因此 3 arcsin x ya是由基 本初等函数 3 ,arcsin , x yu uv va复合而成的. (2)令sinlnux,则 3 yu,再令lnvx,则sinuv.因此 3 sin lnyx是由基本初等 函数 3, sin ,lnyu uv vx复合而成. (3)令 2 tanux,则 u ya,再令 2 vx,则tanuv,因此 2 tanx ya是由基本初等函数 2 ,tan , u ya uv vx复合而成. (4)令 23 ln (ln)ux,则lnyu,再令 3 ln(ln)vx则 2 uv,再令 3 lnwx,则lnvw, 再令lntx,则 3 wt,因此 23 lnln (ln)yx是由基本初等函数 2 ln ,ln,yu uv vw 3, lnwt tx复合而成. 2.设 f(x)的定义域为0,1,分别求下列函数的定义域： (1) f(x2)；(2) f(sinx); (3) f(x+a),(a0)；(4) f(ex+1). 解解(1)由 f(x)的定义域为0,1得 0x21,于是-1x1,所以 f(x2)的定义域为-1,1. (2)由 f(x)的定义域为0,1得 0sinx1,于是 2kx(2k+1),kz,所以 f(sinx)的定义域为 2k,(2k+1) , kZ. (3)由 f(x)的定义域为0,1得 0x+a1 即-ax1-a 所以 f(x+a)的定义域为-a,1-a. (4)由 f(x)的定义域为0,1得 0ex+11,解此不等式得 x-1,所以 f(ex+1)的定义域为(-,-1. 3. 求下列函数的表达式： (1) 设(sinx)=cos2x+sinx+5,求(x); (2) 设 g(x-1)=x2+x+1,求 g(x); (3) 设 1 ()f x x =x2+ 2 1 x ,求 f(x). 解解(1)法一法一:令sintx,则 222 cos1 sin1xxt ,代入函数式,得: 22 ( )156ttttt , 即 2 ( )6xxx. 法二法二:将函数的表达式变形得: 22 (sin )(1 sin)sin56sinsinxxxxx 令sintx,得 2 ( )6ttt , 即 2 ( )6xxx. 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 6 (2)法一法一:令1tx,则1xt ,将其代入函数式,得 22 ( )(1)(1) 133g ttttt 即 2 ( )33g xxx. 法二法二:将函数表达式变形,得 22 (1)(21)(33)3(1)3(1)3g xxxxxx 令1xt ,得 2 ( )33g ttt, 即 2 ( )33g xxx. (3)法一法一:令 1 xt x ,两边平方得 22 2 1 2xt x 即 22 2 1 2xt x ,将其代入函数式,得 2 ( )2f tt,即 2 ( )2f xx. 法二法二:将函数表达式变形,得 2 2 2 111 222fxxx xxx 令 1 xt x ,得 2 ( )2f tt,即 2 ( )2f xx. 4.设 f(x)为奇函数,证明：若 f(x)在 x=0 有定义,则 f(0)=0. 证证f(x)为奇函数,且 f(x)在 x=0 处有定义, ( 0)(0)ff 又( 0)(0)ff于是(0)(0)ff 即2 (0)0,(0)0ff. 5.证明：狄利克雷函数是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,但无最小正周期. 证证狄利克雷函数 1, ( ) 0, 当 为有理数时 当 为无理数时. x D x x 设 T 是任一正有理数,x R, 当 x 为有理数时,x+T 为有理数,于是()1D xT,又( )1D x ,所以()( )D xTD x; 当 x 为无理数时,x+T 为无理数,于是()0D xT,又( )0D x ,所以()( )D xTD x. 综上所述,x R有()( )D xTD x,所以( )D x是周期函数,任何一个正有理数均是 它的周期,又设 P 是任一无理数,xP R,使()(0)1D xPP,而( )0D x ,故 ()( )D xPD x,即无理数不是( )D x的周期;因为不存在最小的正有理数,所以( )D x无最 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 7 小正周期. 习题习题 1-3 1.设销售商品的总收入是销售量 x 的二次函数,已知 x=0,2,4 时,总收入分别是 0,6,8,试确 定总收入函数 TR(x). 解解设 2 ( )TRxaxbxc,由已知(0)0,(2)6,(4)8TRTRTR 即 0 426 1648 c abc abc 解得 1 2 4 0 a b c 所以总收入函数 2 1 ( )4 2 TRxxx . 2.设某厂生产某种产品 1000 吨,定价为 130 元/吨,当一次售出 700 吨以内时,按原价出售； 若一次成交超过 700 吨时,超过 700 吨的部分按原价的 9 折出售,试将总收入表示成销售量的 函数. 解解设销售量为 x,实际每吨售价为 P 元,由题设可得 P 与 x 间函数关系为 130700 1177001000 x P x , 总收入 130700 ( ) 130 700(700) 1177001000 TR xx x xx , 即 130700 ( ) 9100 1177001000 TR xx x xx . 3. 已知需求函数为10 5 Q P ,成本函数为 C=50+2Q,P、Q 分别表示价格和销售量.写 出利润 L 与销售量 Q 的关系,并求平均利润. 解解由题设知总收入 2 ( )10 5 Q R QPQQ,则 总利润 2 2 1 ( )( )( )850502 10 5 5 Q L QR QC QQQQ Q , 平均利润 ( )150 ( )8 5 L Q AL QQ QQ . 4. 已知需求函数 Qd和供给函数 Qs,分别为 Qd= 1002 33 P,Qs=-20+10P,求相应的市场均 衡价格. 解解当 ds QQ时供需平衡,由