北大物理科学营营员资格赛试题及参考答案.pdf

1 2015 年物理科学营营员资格赛 试题 2015 年 8 月 11 日 总分：140 分 时间：3 小时 一、简答题（30 分） 1.（6 分）试估算人体平均密度，需给出估算依据。 2.（8 分）如图所示，圆环在水平直轨道上纯滚动。 （1）若为匀速纯滚动，相对地面参考系，某时刻圆环上 各点运动加速度中的最大值 max a和最小值 min a之比为何值？ 为什么？ （2）若为初速度为零的匀加速纯滚动，相对地面参考系，初始时刻圆环上哪一个点部 位运动加速度值最大，哪一个点部位运动加速度值最小？为什么？ 3.（8 分）若干静止的带电导体和静止的本不带电的均匀介质块，互相分离，静电平衡 后，全空间（包含导体和介质块所占据空间）存在静电场。 （1） 若将其中一个导体取走， 但将其表面分布电荷全部留在原处， 试问空间场强分布、 电势分布和电场能量密度分布中，哪些是不变的，哪些是变的？请简述理由。 （2）若改将其中一个均匀极化的介质块取走，但将其表面分布着的极化电荷全部留在 原处，试问空间场强分布、电势分布和电场能量密度分布中，哪些是不变的，哪些是变的？ 请简述理由。 4.（8 分）如图所示，图平面的介质折射率n随y变化的 关系为 n 0 n yA 222 0 0 0 n xAy x yA 光线从0x 、0y 处以某锐角 0 入射后，理论上已确认可沿 0 sin x yA x 曲线行进。 （1）试求 0 （2）光线行进到图中P处时，行进方向已与x轴平行，在该方向上始终为 0 nn，为 何光线没有画成沿着此方向的直线行进，而是只画成向下偏转沿曲线行进？ 二、计算题（110 分） 5.（16 分）某种双原子分子理想气体，其振动自由度在温度 0 2TT时未被激发， 在 0 2TT时被激发。摩尔的此种气体经 历的矩形循环过程如图所示， 其中A、B、C处温度分别为 0 T、 0 P O y A 0 x 0 2 x x A p V O D CB 2 0 2T、 0 3T。 （1）画出循环过程中气体内能U随温度T的变化曲线，其中U的单位取为 0 RT。 （2）计算循环效率。 6.（22 分）如图所示，水平桌面上平放着 质量2m、每边长l、两端开口的U形空心匀 质绝缘细管道，它的AB边与A B 边平行， AB边、A B 边分别经极小的圆弧段过渡到 与原方向垂直的 AA 边。图中 AA 边的中分 线MN朝AB边一侧有场强为 1 E 的水平匀强 电场；MN朝A B 边一侧有场强为 2 E 的水平 匀强电场。 1 E 、 2 E 大小相同，记为E。 AA 管内有两个质量同为m、电量同为0q 的 带电小球 1、2，它们非常靠近地分居中分线MN两侧。开始时，管道、小球均静止。一起 自由释放后，设系统处处无摩擦，小球间作用力可略。管道、小球在而后的运动过程中，因 为对称， 球 1、 2 相对管道的运动速度大小始终相同。 已知 1 E 电场线、 2 E 电场线与中分线MN 的夹角大小同为锐角。 （1）试求球 1、2 分别即将到达A、 A 时相对管道的运动速度大小 1 v，再求此过程中 电场力总得作功量W。 （2）设球 1、2 通过A、 A 处极小圆弧段所经时间可略，试求刚过圆弧段时球 1、2 相对管道的运动速度大小 2 v。 （3）试求球 1、2 分别从B、 B 开口处刚离开管道时，相对管道的运动速度大小 3 v。 7.（18 分）惯性系s、 s 间的相对运动 关系如图所示，O、 O 重合时取为0t t 时刻。 s 系的 y 轴上对称地固定着一个焦距 0f 的会聚透镜，两个点光源A、B分别 固定在 x 轴上，坐标量分别为2 A xf ， 3 2 B xf 。图中未画出 x 轴上所成的像 点a、b，它们的坐标量分别记为 a x 、 b x 。 （1）设A、B持续发光。 1 E 2 E BA B A N M 1 2 2 A xf 3 2 B xf y x AB s s O O y x v 系 系 透 镜 3 （1.1）试求 s 系测得的a、b之间的距离 ab l ； （1.2）试求s系测得的a、b之间的距离(1) ab l。 （2）设 s 系中A、B同于0t 时刻瞬时发光，a、b也瞬时成像，试求s系测得的 这两个像点之间的距离(2) ab l。 8.（30 分）由匀质小球、固定斜面 和固定挡板组成的系统如图所示，图中 给出的参量中仅有和H可在本题答 案中出现。 将小球从图中静止位置自由释放， 恰好能沿斜面作纯滚动，且而后与挡板 发生的每次碰撞都是弹性的。试求： （1）小球与斜面间的摩擦因数； （2）小球与挡板第一次碰撞后，球心相对水平方位线MN上升的高度 1 H； （3）小球与挡板第二次碰撞后，球心相对水平方位线MN上升的高度 2 H； （4）直到最终小球停在挡板右侧为止的全过程中，球心经过的路程S。 9.（24 分）某惯性系Oxy坐标原点处，静质量 0 m的质点开始，沿 2 2 x y A 抛物线 轨道的0x 一侧运动。 （1）用质点运动学方法，计算x位置处该抛物线的曲率半径( )x。 （2）利用积分公式 222 1 11ln1 22 x x dxxxxB （不定常量） 计算该抛物线从0x 到xA位置的一段曲线长度l。 （3）该质点从0x 到xA位置，沿抛物线轨道运动的初速度为零，切向加速度大 小为常量 2 0 42ln 12acA ， c：真空光速 试求质点在xA处所受法向 （即与速度方向垂直的方向） 力的大小F法和切向力的大小F切。 H N M R 2 , ,2/5 C m R ImR 挡板 面 水平方位线 斜 1 参考解答与评分标准 1.（6 分） 可能的解答 ：因为人体大部分（约60%）分子为水分子，且人体的重金属分子或原子含量极少， 故人体平均密度可估算为水的密度，即为 3 1g cm。 ：因为正常人学游泳不是非常困难，也不是非常容易，故人体平均密度与水的密度 相近，近似为 3 1g cm。 ：其它合理的估算。 2.（8 分） （1） maxmin :1:1aa （1 分） 因环心加速度为零， 环上各点相对地面参考系加速度即为相对环心加速度， 后者都为等 值的向心加速度，无大小之分，即 maxmin aa。 （2 分） （2）圆环最高点部位运动加速度值最大，最低点（与直轨道接触的点）部位加速度值 最小。 （2 分） 初始时刻，环上各点P相对地面参考系加速度 P a 可分解为 PP aaa 环心切 a 环心：环心相对地面加速度，方向水平朝右 P a 切：P点相对环心切向加速度 各个P点对应的 P a 切值相同，方向不同。 参见题解图可知，左图可合成的最高点a 上值最大；中图可合成的最低点a 下值最小； 右图可合成的其它点 P a 值介于其间。 （3 分） 3.（8 分） （1）都不变。 （2 分） 据场强和电势叠加原理，( )E r 和( )U r 仅由空间电荷分布确定。静电平衡时，导体电 荷只分布表面上，取走导体，留下表面电荷，即留下其对( )E r 、( )U r 的贡献，故( )E r 、 ( )U r 都不变。空间的真空中和导体内的场能量密度( ) e w r 仅由( )E r 确定，故( ) e w r 不变， P a 切 aa 环心上切 aa 环心下切 a 环心a 环心 a 环心 题解图 2 介质块内( )E r 和( )P r 不变，由它们确定的场能量密度( ) e w r 也同样不变。 （2 分） （2）场强( )E r 、电势( )U r 都不变，取走介质的那个介质块内( ) e w r 分布要变，其余 空间部位( ) e w r 都不变。 （2 分） 均匀极化的介质块无极化体电荷， 取走介质块后， 留下的极化面电荷， 空间( )E r 、( )U r 以及余下介质块中的( )P r 都不变，对应的( ) e w r 也都不变。取走的介质把原存在于其内的 介质极化能也取走了，该区域内的( ) e w r 发生变化。 （2 分） 4.（8 分） （1） 0 000 22 0 0 tansin 2 x xdyA dxx Ax 0 0 22 0 arcsin x Ax （3 分） （2）光线实为一细束光波，在P处将其波阵面放大为 题解图所示， 可能有一部分在yA直线方位上方， 另有一 部分在下方。经dt时间，上方因各处波速相同，波阵面仍 为平面， 于是沿yA直线方位继续传播， 形成直线行进的 光线。经dt时间，下方各处波速不同，波阵面向下偏转， 于是沿题图正弦曲线向下偏转地传播，形成曲线行进的光线。几何光学涉及此类问题时，已 成习俗地约定只关注题目关注的那个方向偏转地光线。 （5 分） （此问不必要求学生解答如上述那样细致。 ） 5.（16 分） （1） 由 0A TT、 0 2 B TT、 0 3 C TT， 可将A、 B、C、D四处p、V参量标记为题解图 1 所示， 可得D处温度和CD过程中存在状态E，其状态 量分别为 0 3 2 D TT， 1 4 3 E pp， 0 2 E TT 据 5 2 R， 0 2TT mV UCT， mV C 7 2 R， 0 2TT 3 得UT曲线如题解图 2 所示。 （6 分） （2） 75 22 BABAAB QUURTRT 吸 0 9 2 RT 1 0 9 2 mpCBBC QCTTRT 吸 0 9 ABBC QQQRT 吸吸吸 0 7527 224 CDCDCD QUURTRTRT 放 2 0 7 4 mpDACD QCTTRT 放 0 34 4 CDDA QQQRT 放放放 得 1 15.6% 18 Q Q 放 吸 （10 分） 附注： 1 9 2 mp CR， 2 7 2 mp CR 6.（22 分） 解：球 1、2 相对桌面运动学量的右上方均无角标，管道相对桌面运动学量的右上方有 角标*。沿 AA 方向运动学量的右下方均带角标，沿MN方向运动学量的右下方均带角 标。 （1）参考题解图 1，对小球有 sinaqEm ， 2 1 () 22 l at t为小球走完2l路程所需的时间，为 sintml qE 因管道相对桌面无 AA 方向运动，即得 4 1 (1)sinuatqElm v （6 分） 对管道，因两小球与其一起沿MN方向运动，有 * 2cos4cos2aqEmqEm 经t时间所得末速度大小为 * 1 (1)cos 2sin qEl uat m 此过程中电场力总得作功量便为 2 2 2* 1 11cos 24(1)sin 222sin Wmm uqEl v （4 分） （2）球拐弯前后，相对桌面运动学量分别 在题解图 2（1） 、 （2）中示出，由动量、能量 守恒方程 * 2(2)2(2)4(1)mumumu 2*2 11 2(2)2(2) 22 m um u 2*2 11 2(1)4(1) 22 m um u * (2)(2)2(1)uuu 2 *2 (2)(2)4(1)uuu 2*22*2 (2)(2)(1)2(1)uuuu 相减得 *22 2(2)(2)2(1)(1)uuuu 继而又可得 2 *2*2*2 (2)(2)(2)(2)2(2)(2)2(1)uuuuuuu 即有 * 21 (2)(2)2(1)2uuu vv 2 2sinqElmv （8 分） （阅卷参考答案： * 1 (2)2(1)2(1) 2 uuu ， * 1 (2)2(1)2(1) 2 uuu ） （3）球拐弯后，管道沿MN方向无加速度，球沿MN方向相对桌面加速度同为相对管 道加速度，大小为 cosaqEm 球相对管道初速度大小为 2 v，末速度为 3 v，则有 5 22 32 22sincoslaqElm v = v 3 2sincosqElmv （4 分） 7.（18 分） （1） （1.1） s 系中由成像公式，对Aa、Bb分别由 111 2 a fxf ， 111 3 2 b xf f 解得 2 a xf ，3 b xf abba lxxf （4 分） （1.2）s系观察到a、b为两个持续亮点，s系于同一时刻测量a、b位置得间距，相 当于测量a、b之间一把运动直尺的长度，故有 22 (1)11 abab llf， c v （4 分） （2） s 系中a、b在不同时刻点亮，期间有时差。s系观察到a、b也在不同时刻依 次点亮，期间也有时差。s系在不同时刻测到a被点亮的位置 a x和b被点亮的位置 b x， (2) ab l即为 a x到 b x的间距，故不可用动尺缩短公式计算。 透镜成像已约定取小角度近轴范围，即可近似为沿主光轴过光心（坐标原点O）的直 线途径。计算光从A到a所需时间和从B到b所需时间分别为 4 f c 和 4.5f c 其中系因透镜介质形成的附加光程差。据此可得， s 系中 a被点亮的点事件 4 2 , aa f xf t c b被点亮的点事件 4.5 3 , bb f xf t c s系中 a被点亮的点事件 22 4 121 aaa f xxtf c vv b被点亮的点事件 22 4.5 131 bbb f xxtf c vv 所求量便为 2 10.5 (2) 1 abab lxxf （10 分） 8.（30 分） 得 末态 过程 末态 得 得末 （1）向下纯 sinmg c I 2 7 态 0e v （2）初态从 v 程态如题解图 sinmg 1 9 7 ag 态： 1 0 e v， 为（3）问求 末态逆时针方 （3）初态从 2 v 纯滚，最大静 cosmg 2 2 5 c mR， tan， 0 a 0 2 e aH 从小球与挡板 10ie vv 图 2 所示，滑 2 sin 7 mg sing 上升高度H 22 11ie vv 1 5 9 H 求解需要，由 2 sin 7 mg 111i tav 方向角速度 11ei 从（2）问末 21 = 0 ie v， 静摩擦力向上 0 ma， 00 aR 5 sin 7 g， sinH 板碰后开始， 10 7 gH， 滑动摩擦力向 1 ma 1 H，则由 11 2sinaH H （ 由 1c RI 10 79 gH 11 4 9 t R 末态开始： ， 21ie 6 上，参考题解 cosmgR 0 5 si 7 g R 10 7 gH， 速度反向， 10 1 ie R 下，有 n （3 分） 1 5 7 7 9 sing 10 0 7 gH 410 97 g R 解图 1，由 0c RI n （7 分） 0 0 e e RR v 角速度方向 110 7 gH R sin g R 0 gH（逆时针 ） 110 7 gH R 向和大小都不 （3 分） 针方向） 不变，有 （3 分） 讨论 得 继而 刚好 此时 小球 此时 到此 这样 论小球沿斜面 过程态如题 sinmg 2 sin 7 mg 21 aa 而有 2 v 好走到向下纯 2 a 2 t 2 t 时达纯滚状态 2e av 球此时位置相 h 下 时小球所处纯 此位置所达状 h 上 样，可等效地 HH 5 9 H 面向下从连滚 题解图 3 所示 2 sin 7 mg 2c RI 9 sin 7 g， 2 at， 2 纯滚时，有 22e tv 2 2 iR a 2 9 sing 态： 22 2 7 at 相对初态 1 H高 2 2 2 sin 2 e a 下 v 纯滚动状态， 状态，即有 2 2 0 sin 2 e a 上 v 地替换成，小 1 Hh 下 210 77 H 滚带滑直到刚好 示，由 2 ma 2 21 22i 22ei R 2 41 9 R 10 7 gH 10 7 gH， 高度的位置， （h 下 也可等效为 （h 上 球在据MN 1 2 hH 上 2 1 s 2 gH 7 好达到纯滚动 5 sin 7 g R t 22 tR 109 77 gH 22ee Rv 下降的高度 20 49 9 H 为小球在该位 4 49 H 上 N水平方位线 2 2 1 sin 2 e v 7 sin 9 sing 动状态为止的 5 sin 7 g 210 77 g R 度量为 ） 位置上方h 上 h 下） 线上方 20 11 aa 7 n5 sing 的过程。 sing gH 处从静止自 由释放纯滚下行 8 521011 7 949795 HgH gg 5204 94945 HH 29 49 H 处，从静止自由释放，开始向下作纯滚动。而后的运动与本题从初态开始的运动相同，只是 需将H改取为 H ，经挡板碰撞后所求 2 H，可类比于 1 5 9 HH 而得 21 5529 9949 HHHH （8 分） （4）据（3）问解答可知，小球第k次与挡板碰后相对水平方位线MN上升到 1 529 949 k k HH 1,2k 高处。开始时，0k ，小球只是下行高度H；而后上升 1 H，又下行 1 H；最终