山东省沂水县高中数学第三章_3.3.2两条直线的交点坐标学案新人教A版.docx

33.1两条直线的交点坐标33.2两点间的距离学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系；3.掌握两点间距离公式并会应用知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系思考1直线上的点与其方程AxByC0的解有什么样的关系？答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标思考2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解思考3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？答案(1)若方程组无解，则l1l2；(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合1两直线的交点几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线l1l1：A1xB1yC10点A在直线l1上A1aB1bC10直线l1与l2的交点是A2.两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行知识点二两点间的距离已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，思考1当x1x2，y1y2时，|P1P2|？答案|P1P2|x2x1|.思考2当x1x2，y1y2时，|P1P2|？答案|P1P2|y2y1|.思考3当x1x2，y1y2时，|P1P2|？请简单说明理由答案如图，在Rt P1QP2中，|P1P2|2|P1Q|2|QP2|2，所以|P1P2|.即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|.类型一两条直线的交点问题例1(1)直线l1：2x6y0与直线l2：yx交点的个数为_(2)若两直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，则k_.(3)直线l过原点，且经过另两条直线2x3y80，xy10的交点，则直线l的方程为_答案(1)0(2)6(3)2xy0解析(1)解方程组6，得30矛盾，故方程组无解，两直线无交点(2)在2x3yk0中，令x0，得y，将(0，)代入xky120，解得k6.(3)由方程组得两直线交点为(1，2)，则直线l的方程为y0(x0)，即2xy0.反思与感悟两条直线相交的判定方法方法一联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二两直线斜率都存在且斜率不等方法三两直线的斜率一个存在，另一个不存在跟踪训练1(1)直线l1：2x6y30与l2：yx的位置关系是_答案重合解析解方程组6，整理得2x6y30，所以、可以化成同一方程，即和表示同一条直线，l1与l2重合(2)求经过两条直线2x3y30，xy20的交点，且与x3y10平行的直线l的方程解解方程组得两直线2x3y30，xy20的交点坐标为(，)，设所求的直线方程为x3yc0，将交点坐标代入得3()c0，c，直线l的方程为x3y0，即5x15y240.类型二两点间的距离公式及其应用例2如图，已知ABC的三顶点A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的面积解(1)方法一|AB|，|AC|，又|BC|，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形方法二kAC，kAB，则kACkAB1，ACAB.又|AC|，|AB|，|AC|AB|，ABC是等腰直角三角形(2)SABC|AC|AB|()226，ABC的面积为26.反思与感悟(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理跟踪训练2已知点A(1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|PB|，并求|PA|的值解设P(x,0)，|PA|，|PB|，|PA|PB|，得x1，P(1,0)，|PA|2.类型三运用坐标法解决平面几何问题例3在ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)证明设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(a,0)|AB|2(ab)2c2，|AC|2(ab)2c2，|AD|2b2c2，|DC|2a2，|AB|2|AC|22(a2b2c2)，|AD|2|DC|2a2b2c2，|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)反思与感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系跟踪训练3已知：等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求证：|AC|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c)|AC|，|BD|.故|AC|BD|.类型四直线恒过定点问题例4不论m为何实数，直线(m1)x(2m1)ym5恒过的定点坐标是_答案(9，4)解析方法一取m1，得直线y4.取m，得直线x9.故两直线的交点为(9，4)，下面验证直线(m1)x(2m1)ym5恒过点(9，4)将x9，y4代入方程，左边(m1)94(2m1)m5右边，故直线恒过点(9，4)方法二直线方程可变形为(x2y1)m(xy5)0，对任意m该方程恒成立，解得故直线恒过定点(9，4)反思与感悟解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得若整理成yy0k(xx0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)跟踪训练4求证：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一定点，并求出这个定点坐标解方法一对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y100.解方程组得两条直线的交点坐标为(2，3)将点(2，3)代入方程组左边，得(2m1)2(m3)(3)(m11)0.这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，3)方法二将已知方程(2m1)x(m3)y(m11)0整理为(2xy1)m(x3y11)0.由于m取值的任意性，有解得所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，3)1已知直线l1：3x4y50与l2：3x5y60相交，则它们的交点是()A(1，) B(，1)C(1，) D(1，)答案B解析由得2经过直线2xy40与xy50的交点，且垂直于直线x2y0的直线方程是()A2xy80 B2xy80C2xy80 D2xy80答案A解析首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为2，可得方程y62(x1)，即2xy80.3已知A(1,0)，B(5,6)，C(3,4)三点，则的值为()A. B. C3 D2答案D解析由两点间的距离公式，得|AC|4，|CB|2，故2.4当a取不同实数时，直线(2a)x(a1)y3a0恒过一个定点，这个定点的坐标为_答案(1，2)解析直线方程可写成a(xy3)2xy0，则该直线系必过直线xy30与直线2xy0的交点，即(1，2)1方程组有惟一解的等价条件是A1B2A2B10，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2A2B10，直线A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)是过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20交点的直线(不含l2)2解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法3两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想一、选择题1直线xky0,2x3y80和xy10交于一点，则k的值是()A. BC2 D2答案B解析由方程组得直线2x3y80与xy10的交点坐标为(1，2)，代入直线xky0得k.2过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程是()A19x9y0 B9x19y0C19x3y0 D3x19y0答案D解析联立方程解得两直线的交点为(，)，直线的斜率为，直线的方程为yx，即3x19y0.3已知点A(0，1)，点B在直线xy10上，直线AB垂直于直线x2y30，则点B的坐标是()A(2，3) B(2,3)C(2,1) D(2,1)答案B解析直线AB垂直于直线x2y30，kAB2.又直线AB过点(0，1)，直线AB的方程为y2x1，解方程组得B(2,3)4已知点A(2，1)，B(a,3)且|AB|5，则a等于()A1 B5C1或5 D1或5答案C解析由两点间距离公式得，(a2)2(31)252，(a2)29，a1或a5，故选C.5已知ABC的三个顶点是A(a,0)、B(a,0)和C(，a)，则ABC的形状是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D斜三角形答案C解析|AB|2|a|，|AC| |a|，|BC| |a|，|AB|2|AC|2|BC|2，ABC为直角三角形6直线l1：xmy60与l2：(m2)x3y2m0只有一个公共点，则()Am1且m3 Bm1且m3Cm1且m3 Dm1且m1答案A解析两线相交，其系数关系为13m(m2)0，解得m3且m1.7两直线3axy20和(2a1)x5ay10分别过定点A、B，则|AB|等于()A. B. C. D.答案C解析3axy20过定点，需x0，则y2，得A(0，2)，(2a1)x5ay10可化为(2x5y)ax10，则得B(1，)，则|AB|.二、填空题8已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_答案(，)解析两直线方程联立求出交点坐标为(，)由交点在第一象限，得0，且0，解得k.9直线ax4y20与直线2x5yc0垂直并且相交于点(1，m)，则a，c，m分别等于_答案10，12，2解析由两直线垂直，则()1，得a10，将(1，m)代入10x4y20，得104m20，解得m2，将(1，2)代入2x5yc0，得c12.10过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线yxm平行，则|AB|_.答案解析因为kABba1，所以|AB|.11已知ABC的三顶点A(3,8)，B(11,3)，C(8，2)，则BC边上的高AD的长度为_答案解析由两点间距离公式得|AB|，|BC|，|AC|.|AB|AC|，ABC是等腰三角形，D为BC的中点，由中点坐标公式易得D(，)|AD| .三、解答题12已知直线l1：2xy60和点A(1，1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|5，求直线l的方程解当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x1)，解方程组得即B(，)由|AB| 5，解得k，直线l的方程为y1(x1)，即3x4y10，当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x1，此时，与l1的交点为(1,4)也满足题意，综上所述，直线的方程为3x4y10和x1.13过点M(0,1)作直线，使它被两已知直线l1：x3y100和l2：