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第第1章 信号与系统分析导论习题详解章 信号与系统分析导论习题详解 1-1 试指出下列各信号类型。 110 A 23 t A 0 t f (t) f (t) 2 (a) (b) 061 k 1 2 t A 0 f k f (t) Ae2t Ae2t (c) (d) 0 kt 0 f kf (t) (e) (f) 题 1-1 图 【解】【解】 可以从不同的角度对信号进行分类，主要分为确定信号与随机信号、连续信号与离 散信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号等。 (a) 信号是个确定、连续、周期信号、功率信号（周期信号和直流信号为功率信号） 。 (b) 信号是确定、连续、非周期信号、能量信号。 (c) 信号是确定、离散、非周期、能量信号 (d) 信号是确定、连续、非周期、能量信号 (e) 信号是随机、离散、非周期、功率信号（随机信号为功率信号） 。 (f) 信号是随机、连续、非周期、功率信号。 1-2 给定一个连续时间信号为 其他 11 0 |1 )( = t-t tf 分别画出以 0.25s 和 0.5s 的取样间隔对 f(t)均匀取样所得离散时间序列的波形。 【解】【解】 信号可以是连续的或者是离散的， 有的离散信号本身就是离散的， 有的离散信号是连续信 号经过抽样得到的。 =kf kTt tf = )(kTf=，T 是抽样间隔。 若，sT25. 0 1 = 1 kf 0.25 ( ) tk f t = 2 信号与系统学习指导及习题详解 所以 = 1 kf4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1, 2, 3, 4; 0 ,25. 0 , 5 . 0 ,75. 0 , 1 ,75. 0 , 5 . 0 ,25. 0 , 0=k。 若， 2 0.50Ts= 2 kf 0.5 ( ) tk f t = ， 所以 = 2 kf2 , 1 , 0 , 1, 2; 0 , 5 . 0 , , 1 , 5 . 0 , 0=k。 f(t)，f1k， f2k的波形如图 1-1所示。 t 1 0 f (t) 1-1 k 1 0 f 1k 1-1 k 1 0 f 2k 1-123 4-2-3-42-2 图1-1 题 1-2 解答图 1-3 设f1(t)和f2(t)是基本周期分别为T1和T2的周期信号。证明)()()( 21 tftftf+=是周期为T的 周期信号的条件为(m、n为正整数) TnTmT= 21 【解】【解】 证：设)()()( 21 tftftf+=的周期为 T，则存在 )()()( 21 TtfTtfTtf+=+)()()( 21 tftftf+= 而 12112 ( )( )()() 2 f tftf tmTftnT+=+， 所以有 12 mTnTT= 1-4 设f1k和f2k是基本周期分别为N1和N2的周期序列。证明 21 kfkfkf+=是周期为N 的周期序列的条件为(m、n为正整数) NnNmN= 21 【解】【解】 证：设 12 f kf kf k=+的周期为 N，则存在 12 f kNf kNf kN+=+ 12 f kf kf k=+ 而 12112 ) 2 f kf kf kmNf knN+=+， 所以有 12 mNnNN= 1-5 试判断下列信号是否是周期信号。若是，确定其周期。 (1) tttf+=sin62sin3)( (2) 2 )sin()(tatf= (3) += 4 2cos)(ttf (4) 0,2cos)(=tttf (5) (6) )4/( = kj ekf() 2 cos /8f kk= (7) ()() cos/2 cos /4f kkk= (8) ()()() cos /4sin /82cos /2f kkkk=+ 【解】【解】 (1) 信号的周期为t 2sin 1 T=，信号tsin的周期为2 2 =T，根据题 1-3 的结论，没有一个 数既是有理数又是无理数，所以 tttf+=sin62sin3)(为非周期信号。 第 1 章 信号与系统分析导论 3 (2) 2 )sin()(tatf=)2cos1 ( 2 2 t a =，是周期信号，且周期 T=。 (3) 正余弦信号的相位不影响其周期性，所以信号是周期信号，且周期 T=。 (4) 0,2cos)(=tttf 周期信号必须在区间()t 1(0)=5, y2(0)=3 时 ?)(=tyx 【解】【解】将输入信号和初始状态列成矩阵向量形式， 则有 )0( )0( )( 2 1 y y tf 0 1 0 )( 1 =Ttyx ，。当y 1 0 0 )( 2 =Ttyx 1(0)=5, y2(0)=3 时，由于 00 55 13 0 30 0 1 =+ 0 ， 所以 )0( )0( 0 )( 2 1 = y yTtyx 3 12 53229, tt xx yyeet =+=+ 1-12 对于题 111，若系统输入激励为 f(t)时的零状态响应为 0,22)( 3 += teety tt f , 试求当y1(0)=2 , y2(0)=5 , 且激励为 3f(t) 时，系统的完全响 应y(t)=? 【解】 【解】 将输入信号和初始状态列成矩阵向量，则有 )0( )0( )( 2 1 y y tf 已知， 0 1 0 )( 1 =Ttyx 1 0 0 )( 2 =Ttyx ( ) ( )0 0 f f t ytT = 当y1(0)=2 , y2(0)=5 ,且激励为 3f(t)时，由于，所以有 + + = 1 0 0 5 0 1 0 2 0 0 )( 3 5 2 )(3tftf 5 2 )(3 )( = tf Tty 12 3( )2( )5( ) fxx ytytyt=+ )22(3 3tt ee +=)32(2 3tt ee +)24(5 3tt ee + 8 信号与系统学习指导及习题详解 3 6272, 0 tt eet =+。 1-13 一连续时间系统输入-输出关系为 + = 2/ 2/ )( 1 )(T)( Tt Tt df T tfty 试确定该系统是否为(a) 线性的；(b) 时不变的；(c) 因果的。 【解】【解】 微、积分系统是线性系统，所以该系统是线性系统。 因为，令 0 ()T f tt + = 2/ 2/ 0 d)( Tt Tt tf 0 tx=， + = 2/ 2/ 0 0 d)( Ttt Ttt xxf + = 2/ 2/ 0 0 d)( Ttt Ttt f 而 + = 2/ 2/ 0 0 0 d)()( Ttt Ttt ftty 0 ()T f tt=，故该系统为非时变系统。 因为 /2 /2 1 (0)( ) T T yfd T = (0)y，包含信号在区间/)(tf2,/2TT上的积分，表明系 统输出早于输入，所以系统是非因果的。 综上所说，系统是线性、时不变的非因果系统。 1-14 一离散时间系统有如下输入-输出关系 2 kfkfTky= 试确定该系统是否为线性、时不变、因果系统。 【解】 系统零状态响应不满足均匀性和叠加性，所以系统为非线性系统。 因为 0 T f kk 0 2 kkf= 而 0 2 0 kkfkky= 0 T f kk=，所以系统为时不变系统。 当时，系统输出不早于输入，所以系统是因果的。 0=k00 2 fy= 综上所说，系统是线性、时不变的因果系统。 1-15 下列方程描述的离散时间系统哪些具有(1)线性；(2)非时变；(3)因果性。 (1) (2) 2kfky k =3 2 kfkkyky=+ (3) 24 13+=kfkfkfky 【解】【解】 (1) 线性、时变、因果系统。 (2) 非线性、时变、因果系统。 (3) 线性、时不变、因果系统。 1-16 试写出下图(a)和(b)所示系统的输入-输出关系。 f (t) y(t) y(t) - f k yk - D yk+1 (a) (b) 第 1 章 信号与系统分析导论 9 题 1-16 图