原子物理第五章习题.pdf

1 第五章习题 1,2 参考答案 5-1 氦原子中电子的结合能为 24.5eV，试问：欲使这个原子的两个 电子逐一电离，外界必须提供多少能量? 解:第 一 个 电 子 电 离 是 所 需 的 能 量 为 电 子 的 结 合 能,即: eVE5 .24 1 = 第二个电子电离过程,可以认为是类氢离子的电离,需要的能量为: eVeVRhczE n RhcZhvE4 .546 .132) 1 1 1 ( 222 2 = 所以 两 个 电 子 逐 一 电 离 时 外 界 提 供 的 能 量 为: eV 9 . 78eV 4 . 54eV 5 . 24 21 =+=+=EEE 5-2 计算 4 4 4 4D3/2 3/23/23/2态的L L L LS S S S.(参阅 4.4.205) 分析要点:L L L L与S S S S的点积,是两矢量的点积,可以用矢量三角形的方法, 用其他矢量的模来表示;也可以求出两矢量模再乘其夹角的余弦. 解：依题意知，L=2，S=3/2，J=3/2 J=S+L J2=S2+L2+2SL 据： 2 2 2 3 )12(2) 1 2 3 ( 2 3 ) 1 2 3 ( 2 3 2 1 )1() 1() 1( 2 1 = += +=LLSSJJSL 5-3对于S=1/2，和L=2，试计算LS的可能值。 要点分析:矢量点积解法同 5-2. 解：依题意知，L L L L=2，S S S S=1/2 可求出J=L1/2=21/2=3/2，5/2 有两个值。 因此当J J J J=3/2 时有： 课后答案网 2 据： 2 2 2 2 3 )12(2) 1 2 1 ( 2 1 ) 1 2 3 ( 2 3 2 1 )1() 1() 1( 2 1 2 3 = += +=LLSSJJSL 而当J J J J=5/2 时有： 据： 2 2 2 )12(2) 1 2 1 ( 2 1 ) 1 2 5 ( 2 5 2 1 )1() 1() 1( 2 1 2 5 = += +=LLSSJJSL 故可能值有两个：， 2 2 3 2 5-4 试求 3F2态的总角动量和轨道角动量之间的夹角。 (参阅 4.3.302) 解:总角动量(1) ) 1(+=JJPJ 轨道角动量(2) ) 1( +=LLPL 自旋角动量(3) 1(+=SSPS 三者构成矢量三角形,可得:)cos(2 222 JLJLJLS PPPPPPP+= (4) JL SJL JL PP PPP PP 2 )cos( 222 + = 把(1)(2)(3) 式代人(4)式: 得 ) 1() 1(2 ) 1() 1() 1( )cos( 222 + + = JJLL SSJJLL PP JL 对 3F2态 S=1L=3J=2代人上式得: 9428. 0)cos(= JLP P2819 = 5-5在氢、氦、锂、铍、钠、镁、钾和钙中，哪些原子会出现正 课后答案网 3 常塞曼效应?为什么? 解:正常塞曼效应的条件是,S=0,即2S+1=1 是独态,也即电子为偶数 并形成独态的原子,才能有正常的塞曼效应. 依据条件,氦、铍、镁、钙会出现正常塞曼效应。 5-6假设两个等效的d电子具有强的自旋-轨道作用，从而导致j-j； 耦合，试求它们总角动量的可能值若它们发生L L L L-S S S S耦合，则它们 总角动量的可能值又如何?在两种情况下，可能的状态数目及相同J J J J 值出现的次数是否相同? 5-75-75-75-7依依依依L L L L- - - -S S S S耦合法则，下列电子组态可形成哪些原子态耦合法则，下列电子组态可形成哪些原子态耦合法则，下列电子组态可形成哪些原子态耦合法则，下列电子组态可形成哪些原子态? ? ? ?其中哪其中哪其中哪其中哪个个个个 态的能量最低态的能量最低态的能量最低态的能量最低? ? ? ? (1)(1)(1)(1)npnpnpnp4 4 4 4；(2)(2)(2)(2)npnpnpnp5 5 5 5；(3)(3)(3)(3)ndndndnd( ( ( (n n n n d d d d) ) ) ) 解： （解： （解： （解： （1 1 1 1）对于）对于）对于）对于npnpnpnp4 4 4 4的原子态同的原子态同的原子态同的原子态同npnpnpnp2 2 2 2的原子态完全一样。的原子态完全一样。的原子态完全一样。的原子态完全一样。 l l l l1 1 1 1= = = =l l l l2 2 2 2=1,=1,=1,=1,s s s s1 1 1 1=s=s=s=s2 2 2 2=1/2=1/2=1/2=1/2 依依依依L-SL-SL-SL-S 耦合原则，耦合原则，耦合原则，耦合原则，L L L L= = = =l l l l1 1 1 1+ + + +l l l l2 2 2 2，l l l l1 1 1 1+ + + +l l l l2 2 2 2-1-1 -1-1，| | |l l l l1 1 1 1- - - -l l l l2 2 2 2|=2,1,0|=2,1,0|=2,1,0|=2,1,0 S S S S= = = =s s s s1 1 1 1+ + + +s s s s2 2 2 2，s s s s1 1 1 1+ + + +s s s s2 2 2 2-1-1 -1-1，| | |s s s s1 1 1 1- - - -s s s s2 2 2 2|=1,0|=1,0|=1,0|=1,0 对于对于对于对于npnpnpnp2 2 2 2来说，来说，来说，来说，n n n n, , , ,l l l l已经相同，考虑泡利不相容原理，只有已经相同，考虑泡利不相容原理，只有已经相同，考虑泡利不相容原理，只有已经相同，考虑泡利不相容原理，只有m m m ms s s s, , , ,m m m ml l l l不不不不能能能能 同时相同的原子态才存在；即只有满足斯莱特方法的原子态才存在，同时相同的原子态才存在；即只有满足斯莱特方法的原子态才存在，同时相同的原子态才存在；即只有满足斯莱特方法的原子态才存在，同时相同的原子态才存在；即只有满足斯莱特方法的原子态才存在， 用斯莱特方法分析用斯莱特方法分析用斯莱特方法分析用斯莱特方法分析, , , ,原子态反映原子态反映原子态反映原子态反映SLSLSLSL的状态的状态的状态的状态, , , ,它包含它包含它包含它包含SLSLSLSL所有投影， 可所有投影， 可所有投影， 可所有投影， 可能能能能 的原子态应有：的原子态应有：的原子态应有：的原子态应有：( ( ( (注注注注: : : :排表时不能写出排表时不能写出排表时不能写出排表时不能写出MMMML L L L,M,M,M,MS S S S为负值的哪些电子分布为负值的哪些电子分布为负值的哪些电子分布为负值的哪些电子分布, , , , 可以证明可以证明可以证明可以证明, , , ,它们不能出现新的状态它们不能出现新的状态它们不能出现新的状态它们不能出现新的状态) ) ) ) L L L L=2=2=2=2，S S S S=0=0=0=0 2,1,0 3 p L L L L=1=1=1=1，S S S S=1=1=1=1 2 1D L L L L=0=0=0=0，S S S S=0=0=0=0 0 1S L L L L=2=2=2=2，S S S S=1=1=1=1n,l,mn,l,mn,l,mn,l,ml l l l,m,m,m,ms s s s都相同都相同都相同都相同不存在不存在不存在不存在 3,2,1 3D L L L L=1=1=1=1，S S S S=0=0=0=0n,l,mn,l,mn,l,mn,l,ml l l l,m,m,m,ms s s s有几个相同态都满足有几个相同态都满足有几个相同态都满足有几个相同态都满足, , , ,不符合泡利原理不符合泡利原理不符合泡利原理不符合泡利原理. . . . L L L L=0=0=0=0，S S S S=1=1=1=1n,l,mn,l,mn,l,mn,l,ml l l l,m,m,m,ms s s s都相同都相同都相同都相同同科不存在同科不存在同科不存在同科不存在 1 3 S 后面几个态不符合泡利原理后面几个态不符合泡利原理后面几个态不符合泡利原理后面几个态不符合泡利原理, , , ,即不存在即不存在即不存在即不存在. . . . 基态分析基态分析基态分析基态分析: : : :对对对对npnpnpnp2 2 2 2电子来说电子来说电子来说电子来说, , , ,是同科电子是同科电子是同科电子是同科电子, , , ,根据洪特定则根据洪特定则根据洪特定则根据洪特定则, , , ,自旋自旋自旋自旋S S S S=1=1=1=1时时时时, , , , 课后答案网 4 能量最低能量最低能量最低能量最低, , , ,即即即即s s s s1 1 1 1= = = = s s s s2 2 2 2=1/2.=1/2.=1/2.=1/2.mlmmlmmlmmlms s s s都相同都相同都相同都相同, , , ,那么只有那么只有那么只有那么只有m m m ml l l l不同不同不同不同,L,L,L,L2,L2,L2,L2,L0,0,0,0, 只有只有只有只有L=1.2L=1.2L=1.2L=1.2 个个个个 P P P P 电子组合电子组合电子组合电子组合, , , ,按正常次序按正常次序按正常次序按正常次序,J,J,J,J 取最小值取最小值取最小值取最小值1 1 1 1 时能量最低时能量最低时能量最低时能量最低, , , ,基基基基 态应是态应是态应是态应是 3 3 3 3P P P P0 0 0 0. . . . （2 2 2 2）同理，对于）同理，对于）同理，对于）同理，对于npnpnpnp5 5 5 5的原子态同的原子态同的原子态同的原子态同npnpnpnp1 1 1 1的原子态完全一样。的原子态完全一样。的原子态完全一样。的原子态完全一样。 有有有有L L L L=1,=1,=1,=1,S S S S=1/2=1/2=1/2=1/2 原子态原子态原子态原子态 3/2,1/2 2P 基态基态基态基态 2 2 2 2P P P P1/2 1/21/21/2 如硼如硼如硼如硼, , , ,铝铝铝铝, , , ,钾等钾等钾等钾等 3 3 3 3）对于）对于）对于）对于ndndndnd( ( ( (n n n n d d d d) ) ) )，由于电子为非同科电子，其原子态可以全部计算，由于电子为非同科电子，其原子态可以全部计算，由于电子为非同科电子，其原子态可以全部计算，由于电子为非同科电子，其原子态可以全部计算。 。 。 。 依依依依L-SL-SL-SL-S 耦合原则，耦合原则，耦合原则，耦合原则，L L L L= = = =l l l l1 1 1 1+ + + +l l l l2 2 2 2，l l l l1 1 1 1+ + + +l l l l2 2 2 2-1-1 -1-1，| | |l l l l1 1 1 1- - - -l l l l2 2 2 2|=4,3,2,1,0|=4,3,2,1,0|=4,3,2,1,0|=4,3,2,1,0 S S S S= = = =s s s s1 1 1 1+ + + +s s s s2 2 2 2，s s s s1 1 1 1+ + + +s s s s2 2 2 2-1-1 -1-1，| | |s s s s1 1 1 1- - - -s s s s2 2 2 2|=1,0|=1,0|=1,0|=1,0 其组合的原子态有：其组合的原子态有：其组合的原子态有：其组合的原子态有： L L L L=4=4=4=4，S S S S=0=0=0=0J J J J=4=4=4=4 L L L L=3=3=3=3，S S S S=0=0=0=0J J J J=3=3=3=3 L L L L=2=2=2=2，S S S S=0=0=0=0J J J J=2=2=2=2 L L L L=1=1=1=1，S S S S=0=0=0=0J J J J=1=1=1=1 L L L L=0=0=0=0，S S S S=0=0=0=0J J J J=0=0=0=0 L L L L=4=4=4=4，S S S S=1=1=1=1J J J J=5=5=5=5，4 4 4 4，3 3 3 3 L L L L=3=3=3=3，S S S S=1=1=1=1J J J J=4=4=4=4，3 3 3 3，2 2 2 2 L L L L=2=2=2=2，S S S S=1=1=1=1J J J J=3=3=3=3，2 2 2 2，1 1 1 1 L L L L=1=1=1=1，S S S S=1=1=1=1J J J J=2=2=2=2，1 1 1 1，0 0 0 0 L L L L=0=0=0=0，S S S S=1=1=1=1J J J J=1=1=1=1 所以有：所以有：所以有：所以有：， 0 1S 1 1P 2 1D 3 1F 4 1G 1 3S 2,1,0 3P 3,2,1 3D ，. . . . 4,3,2, 3F 5,4,3 3G 基态基态基态基态: : : :S S S S 最大最大最大最大,L,L,L,L最大最大最大最大.J .J .J .J最小最小最小最小. . . .应为应为应为应为: : : :, , , ,两非同科两非同科两非同科两非同科d d d d电子此种情况很电子此种情况很电子此种情况很电子此种情况很少少少少 5 3G 见见见见. . . .常见的为同科常见的为同科常见的为同科常见的为同科p,d,fp,d,fp,d,fp,d,f电子电子电子电子. . . . 5-85-85-85-8铍原子基态的电子组态是铍原子基态的电子组态是铍原子基态的电子组态是铍原子基态的电子组态是2 2 2 2s s s s2 2 2 2s s s s， 若其中有一个电子被激， 若其中有一个电子被激， 若其中有一个电子被激， 若其中有一个电子被激发发发发 到到到到3 3 3 3p p p p态，按态，按态，按态，按L L L LS S S S耦合可形成哪些原子态耦合可形成哪些原子态耦合可形成哪些原子态耦合可形成哪些原子态? ? ? ?写出有关的原子态的符写出有关的原子态的符写出有关的原子态的符写出有关的原子态的符 号从这些原子态向低能态跃迁时，可以产生几条光谱线号从这些原子态向低能态跃迁时，可以产生几条光谱线号从这些原子态向低能态跃迁时，可以产生几条光谱线号从这些原子态向低能态跃迁时，可以产生几条光谱线? ? ? ?画出相应画出相应画出相应画出相应 课后答案网 5 的能级跃迁图若那个电子被激发到的能级跃迁图若那个电子被激发到的能级跃迁图若那个电子被激发到的能级跃迁图若那个电子被激发到2 2 2 2p p p p态，则可能产生的光谱线又态，则可能产生的光谱线又态，则可能产生的光谱线又态，则可能产生的光谱线又 为几条为几条为几条为几条? ? ? ? 解：解：解：解：1 1 1 1. . . .2s2s2s2s2s2s2s2s电子组态形成的原子态电子组态形成的原子态电子组态形成的原子态电子组态形成的原子态 s s s s1 1 1 1=s=s=s=s2 2 2 2=1/2=1/2=1/2=1/2l l l l1 1 1 1= = = =l l l l2 2 2 2=0=0=0=0l l l l= = = =l l l l1 1 1 1l l l l2 2 2 2=0=0=0=0 S S S S1 1 1 1= = = = s s s s1 1 1 1+s+s+s+s2 2 2 2=1=1=1=1S S S S2 2 2 2= = = =s s s s1 1 1 1- - - -s s s s2 2 2 2=0=0=0=0 J J J J= = = =L L L L+ + + +S S S S J J J J1 1 1 1= = = =L L L L+ + + +S S S S1 1 1 1=0+1=1=0+1=1=0+1=1=0+1=1J J J J2 2 2 2= = = =L L L L+ + + +S S S S2 2 2 2=0+0=0=0+0=0=0+0=0=0+0=0 2 2 2 2s s s s2 2 2 2s s s s形成的原子态有形成的原子态有形成的原子态有形成的原子态有 3 3 3 3S S S S1 1 1 1 , , , , 1 1 1 1S S S S0 0 0 0四种原子态。由于为同 四种原子态。由于为同四种原子态。由于为同四种原子态。由于为同科科科科 电子，所以只存在电子，所以只存在电子，所以只存在电子，所以只存在 1 1 1 1S S S S0 0 0 0一种原子态。 一种原子态。一种原子态。一种原子态。 2 2 2 2. . . .2 2 2 2s s s s3 3 3 3p p p p电子组态形成的原子态电子组态形成的原子态电子组态形成的原子态电子组态形成的原子态 s s s s1 1 1 1=s=s=s=s2 2 2 2=1/2=1/2=1/2=1/2l l l l1 1 1 1=0=0=0=0l l l l2 2 2 2=1=1=1=1l l l l= = = =l l l l1 1 1 1l l l l2 2 2 2=1=1=1=1 S S S S1 1 1 1= = = = s s s s1 1 1 1+s+s+s+s2 2 2 2=1=1=1=1S S S S2 2 2 2= = = = s s s s1 1 1 1-s -s -s -s2 2 2 2=0=0=0=0 J J J J= = = =L L L L+ + + +S S S S J J J J1 1 1 1= = = =L L L L+ + + +S S S S1 1 1 1=2,1,0=2,1,0=2,1,0=2,1,0J J J J2 2 2 2= = = =L L L L+ + + +S S S S2 2 2 2=1+0=1=1+0=1=1+0=1=1+0=1 2s3p2s3p2s3p2s3p形成的原子态有形成的原子态有形成的原子态有形成的原子态有 3 3 3 3P P P P2,1,0 2,1,02,1,02,1,0, , , , 1 1 1 1P P P P0 0 0 0四种原子态。 四种原子态。四种原子态。四种原子态。 同理同理同理同理2s2p2s2p2s2p2s2p形成的原子态有形成的原子态有形成的原子态有形成的原子态有 3 3 3 3P P P P2,1,0 2,1,02,1,02,1,0, , , , 1 1 1 1P P P P0 0 0 0四种原子态。 四种原子态。四种原子态。四种原子态。 3. 3. 3. 3.2 2 2 2s s s s2 2 2 2s s s s，2 2 2 2s s s s3 3 3 3p p p p形成的原子态的能级跃迁图形成的原子态的能级跃迁图形成的原子态的能级跃迁图形成的原子态的能级跃迁图 根据根据根据根据L L L L- - - -S S S S耦合的跃迁选择定则，可产生的光谱线如图所示。耦合的跃迁选择定则，可产生的光谱线如图所示。耦合的跃迁选择定则，可产生的光谱线如图所示。耦合的跃迁选择定则，可产生的光谱线如图所示。 5-9证明：一个支壳层全部填满的原子必定具有 1S S S S0 的基态 课后答案网 6 证:例如np闭合壳层,允许安排l=1 的六个电子,这六个电子轨道角动 量和自旋角动量以及它们在空间方向规定,按泡利原理,可列表: ML=Mli=Ml1+Ml2+Ml3+Ml4+Ml5+Ml6=1+1+0+0+(-1)+(-1)=0 MS=Msi=Ms1+Ms2+Ms3+Ms4+Ms5+Ms6 =1/2+(-1/2)+1/2+(-1/2)+ 1/2+(-1/2)=0 ML=0,Ms=0,MJ=0,所以原子态应为 1S0.题意得证. 5-10依照L L L L- - - -S S S S耦合法则,(nd)2组态可形成哪几种原子态?能量最 低的是哪个态?并依此确定钛原子的基态(求基态时,不能有重复原 子态) 解：方法一1. 对于(nd)2组态可形成的原子态有 s1=s2=1/2l1=l2=2l=l1l2=4,3,2,1,0 S1= s1+s2=1S2= s1-s2=0 J=L+S （1）J1=L+S1（L=4,J1=5,4,3 同科时不存在）;（L=3，J1=4，3， 2）； （L=2,J1=3,2,1同科时不存在） （L=1,J1=2,1,0）（L=0,J1=1）分 别对应于 3G5，4，3；3F4，3，2；3D3，2，1；3P2，1，0；3S1； (2)J2=L2+S2=L2+04,3,2,1,0 分别对应于 1G4;1F3;1D2;1P1;1S0; 两者合起来共 18(20 考虑 3S1为三个)个原子态。 （3）符合泡利原理的原子态分析 类比前题:考虑到ndnd是同科电子组合,同科电子时 3S1(n,2,0,1/2) nlmlms n111/2 n11-1/2 n101/2 n10-1/2 n1-11/2 n1-1-1/2 课后答案网 7 不符合泡利原理,不存在. 3G5，4，3,(n,2,2,1/2),3D3，2，1(n,2,1,1/2), 1P1,1F3(n,2,(2,1)(-1/2,+1/2)全同粒子.与1G 的投影态重复等 (P223). 所以形成的原子态中并只存在 1S,1D,1G,3P,3F 共 9 个可能态。 2按照洪特能量定则,S大的能级低,l大的能量低,3F4，3，2；的能量 较低。 按照洪特的附加定则,同一l情况下，同科电子在壳层电子数不超过 半数的情况下,J小的能级较低,因而 3F2状态能级最低。 3.对于钛原子22Ti,原子外有 22 个电子，按照壳层填充理论，其电子 组态为 1s22s22p63s23p64s23d2,所以钛原子恰好对应ndnd组态。 其基态为 3F2。 解：方法二直接按斯莱特方法进行分析。 1S=1,0L=4,3,2,1,0 2. 按其在Z方向的投影关系，列出ndnd电子的可能组态表； （略） 3. 考虑到它们在Z方向的投影关系,可做出斯莱特图 课后答案网 8 利用斯莱特图，可确定ndnd同科电子的原子态为 1S,1D,1G,3P,3F. 从上面的分析中我们知道,我们找到的原子态是不考虑投影的,即其它 投影的情况包含在这些态中. 第五章习题 11,12 参考答案 5-11一束基态的氦原子通过非均匀磁场后，在屏上可以接受到几 束?在相同条件下，对硼原子，可接受到几条?为什么? 解：氦原子处于基态时电子组态为1s1s 其中1 1 =n1 2 =n0 1 =l0 2 =l 2 1 21 =ss 所以：L=0故原子态为所以 J=00 21 =sss 0 1S 原子束通过非均匀磁场后在屏上可接收到的束数为（2J+1）条 所以一束基态的氦原子通过非均匀磁场后,在屏上可以接受到一束. 而硼原子的电子组态为则 2p 态未满：L=1 122 221pss 所以- 1= l m 2 1 = s m 2 1 =s 课后答案网 9 形成的原子态为： 2 1 =+= sl mmJ 在相同条件下硼原子可接收到两条。 5-12 写出下列原子的基态的电子组态