概率论邓爱珍课后习题解答第2章.pdf

习题 2 2. 设离散型随机变量的分布律为 . 4 , 3 , 2 , 1, 12 )( k k a kXP 求（1）常数 a； （2）)2(XP. 解 （1）由, 1) 9 1 7 1 5 1 3 1 (a得 248 315 a （2） 248 105 ) 1()2(XPXP （答案有误） 3.一颗骰子抛两次，以 X 表示两次中所得的最小点数，试求 X 的分布律。 解 X 可能取值为 1,2，6 ,，用二维数组表示两次的点数，则两次中最小点 数为 1 可表示为： （1，1） ， （1,2） ， （2，1） ， （1,3） ， （3，1） ，) 1 , 6(),6 , 1 ( ,， 于是36/111 XP，同理可得其余。 4甲、乙两棋手约定进行 10 局比赛，以赢的局数多者为胜。设在每局中甲 赢的概率为 0.6，乙赢的概率为 0.4。假设各局比赛是相互独立的。 （1）写出甲赢局数的分布律； （2）试分别求甲胜、乙胜、不分胜负的概率。 解 （1）设甲赢局数为 X，则)6 . 0 ,10( BX。 （2）甲胜概率为) 1 , 6 . 0 ,10, 5(1516BINOMDISTXPXP =0.6332 乙胜概率为) 1 , 6 . 0 ,10, 4(4BINOMDISTXP=0.1662 不分胜负的概率)0 , 6 . 0 ,10, 5(5BINOMDISTXP=0.2007 5.某人独立地射击，设每次射击的命中率为 0.02，射击 400 次，求至少两次 击中目标的概率 解：设击中目标次数为 X，则)02. 0 ,400( BX。 方法 1：802. 0400np，利用泊松定理并查泊松分布表得 997. 0 ! 8 2 8 2 e k XP k k 方法 2：利用 excel 函数 ) 1 ,01. 0 ,400, 1 (1112BINOMDISTXPXP =1-0.002835997. 0 6若每次射击中靶的概率为 0.7，求射击 10 炮，命中 3 炮的概率，至少中 3 炮的概率，最可能命中几炮 解：设中靶次数为 X，n=10, p=0.7, XB(10, 0.7) 10, 2, 1,3 . 07 . 0 10 10 kCkXP kkk 733 10 3 . 07 . 03CXP, 21013XPXPXPXP 82910 3 . 07 . 0453 . 07 . 0103 . 01 910 3 . 08 . 813 . 0 3 88 1， 或 .3 . 07 . 0) 3( 10 10 10 3 kkk k CXP 又77 . 010np, 所以最有可能命中 7 炮. 7从学校乘汽车到火车站的途中有 5 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红 灯的事件是相互独立的，并且概率都是 5 2 设为途中遇到红灯的次数，求的 分布律 解：)4 . 0 , 5( BX 8设离散型随机变量的分布律是 ., 2 , 1, ! )( ke k C kXP k 讨论常数 C 与应满足的条件 解：因为 ! 11k Cee k C k k k k ) 1( eCe)1 ( eC， 由.1)1 ( e CeC 解得 9设服从参数的泊松分布，且 P(=1)=P(=2)，求 P(1)及 P(023) 解：, ,k, !k e kXP k 210 由,21XPXP即有 ! 2! 1 2 ee , 从而2. 因此 222 1 2 2 1 1) 1( ! 2 ! 2 1 eee k e k e XP k k k k . 11进行某种试验，设每次试验成功的概率为 4 3 ，以表示首次成功所需试 验的次数，试求出取偶数的概率 （原书此处有误） 12 盒内有 3 个黑球和 6 个白球， 从盒内随机地摸取一个球， 如果摸到黑球， 则不放回，第二次再从盒中摸取一个球，如此下去，直到取到白球为止，记为 抽取次数，求的分布律及分布函数 解：抽取次数 X 的可能取值为 1，2，3，4，且 3 2 9 6 1XP, 4 1 8 6 9 3 2XP, 14 1 7 6 8 2 9 3 3XP, 84 1 8 6 7 1 8 2 9 3 4XP. 14. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 exd exdcxxbx xa xF , ,1 ,ln , 1, )( 求常数dcba,和 X 的概率密度。 解 由0)(F得0a；由1)(F得1d； 由)(xF在1x的连续性可得, 0 dc即1c； .2 ! 1 2 130 2 2 2 e e XPXP 由)(xF在ex 的连续性可得,ddcebe即. 1b 15设连续型随机变量的概率密度为 , )1 ( 2 )( 2 xa x xf （1）试确定常数 a； （2）若 Pab=0.5，确定常数 b 解： （1）由 a a xdx x dxxf|arctan 2 )1 ( 2 )(1 2 ).arctan 2 ( 2 a 得 arctan a=0，从而 a=0. （2）由 b a bdx x bXaP, 2 1 arctan 2 )1 ( 2 2 得,barctan 4 从而 b=1. 17已知随机变量的概率密度 , 2 1 )( | xexf x 试求的分布函数 解：由于 x dttfxF,)()( 因此当 x0 时， xt xx t edtedtexF 2 1 2 1 2 1 )( . 当 x0 时，)2( 2 1 2 1 2 1 )( 0 0 x x tt edtedtexF . 2 1 1 x e 故 X 的分布函数为 . 0 , 0 , 2 1 1 , 2 1 )( x x e e xF x x 18.设随机变量的概率密度为 ., 0 , 10 ,2 )( 其他 xx xf 以 Y 表示对 X 的三次独立观察中事件5 . 0X出现的次数，试求)2(YP。 解：每次观察的观察值不大于 0.5 的概率为 .25. 021 . 0 5 . 0 0 dxxXP 从而 1406. 0)75. 0()25. 0(2 12 2 3 CYP 19设某汽车站每隔 20 分钟有一辆汽车通过，乘客在 20 分钟内任一时刻到 达汽车站是等可能的，求乘客候车时间不超过 15 分钟的概率 解：由题意知，乘客到达汽车站的等待时间 X 服从0，20上的匀均分布， 故 15 0 4 3 20 1 15dxXP 20设随机变量U1，6，求一元二次方程 t2+t+1=0 有实根的概率 解：设 P 表示方程有实根的概率，由=X240，得 X2 或 X2，所以 6 2 5 4 5 1 222dxXPXPXPP=0.8 21某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都 服从同一指数分布，其分布密度 , 0, 0 , 0, 600 1 )( 600 x xe xf x 试求：在仪器使用的最初 200 小时内，至少有一只电子元件损坏的概率 解：设电子元件的寿命为 X, 一只电子元件寿命大于 200 小时的概率为 .1 600 1 200 3 1 600 200 0 edxeXPp x 3 只元件寿命均大于 200 小时的概率为 .)1 (1 ()1 ( 13 3 1 3 eep 故 3 只元件中至少有一只损坏的概率为 .1)1 (1 13 eP 22 某厂生产的某种电子元件的寿命（小时） 服从正态分布 N （1600， 2） ， 如果要求元件的寿命在 1200 小时以上的概率不小于 0.96，试求常数 解：因 XN),1600( 2 ,故) 1 . 0( 1600 N X . 要 .96. 01200 XP 即要 .96. 0 160012001600 X P 因此 960 400 反查标准正态分布表，得 7550 400 . , 即3227. 23抽样调查结果表明，考生的数学成绩（百分制）近似地服从正态分布， 平均成绩（即参数的值）为 72 分,96 分以上的占考生总数的 2.3%,试求考生的 数学成绩在 60 分至 84 分之间的概率 解：由题意知，学生成绩 X 近似服从正态分布，即).,(NX 2 72由 023. 0 729672 96 X PXP 得.977. 0023. 01) 24 ( 查正态分布表得 12, 2 24 即，从而 7284727260 8460 X PXP 6826. 018413. 021) 1 (2) 1() 1 (, 即考生成绩在 60 分至 84 分之间的概率为 0.6826. 24. 设随机变量（ 2 ,） ，且方程0 2 Xxx有实根的概率为 0.5， 求未知参数。 解 由5 . 0)041(XP，得5 . 0)4/1(XP，由于 X 服从正态分布， 所以. 4/1 25. 设随机变量的分布函数为 F（x） ，概率密度)()()( 21 xbfxafxf，其 中 1( ) f x 为标准正态分布的概率密度， 2( ) fx 是参数为的指数分布的概率密度， 已知 8 1 )0(F，求常数.,ba 解 由 8 1 05 . 0)()()()0( 0 2 0 1 0 adxxfbdxxfadxxfF 得. 4/1a（原书答案有误） 由1)()()()( 21 badxxfbdxxfadxxfF 得. 4/3b 26.设随机变量的概率密度 ., 0 , 10,2 )( 其它 xx xf 现对进行 n 次独立重复观测，以 Yn表示观测值不大于 0.1 的次数，求 Yn的分 布律 解：每次观察的观察值不大于 0.5 的概率为 .01. 021 . 0 1 . 0 0 dxxXP 从而 nkCkYP knk k nn , 2, 1, 0,)99. 0()01. 0( 27设测量的随机误差N（0，102） ，试求在 100 次重复测量中，至少有 三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 解：因 XN(0,102), 则) 1, 0( 10 N X ，所以 975. 022)96. 1 (2296. 1 10 6 .19 X PXP5 . 0. 设 100 次测量中， 测量误差的绝对值大于 19.6 的次数为 Y， 则)5 . 0 ,100( BY. 从而 k k h .CYP 100 100 100 3 9503. 因55 . 0100 np，由泊松定理得 ! 5 3 5 100 3k e YP k k , 查泊松分布表得875. 03 YP. 28设随机变量的分布律 1 0 1 2 P 10 3 10 1 5 1 5 2 求 Y=2+1 的概率分布 解：由于随机变量 X 的可能取值为 0, , 2, 1 所以随机变量1 2 XY的可 能取值为 1，2，5. . 10 3 25 , 2 1 5 2 10 1 112 , 5 1 01 XPYP XPXPYP XPYP 所以 Y 的分布律为 Y 1 2 5 P 0.2 0.5 0.3 29设 XU（0，1） ，试求X1的分布。 解 设XY1，由于 X 的概率密度为 ., 0 ) 1 , 0(, 1 )( 其它 x xfX 利用公式| )(|)()(yhyhfyf XY 可得 Y 的概率密度为 ) 1 , 0(1, 0 ) 1 , 0(1, 1 )1 (| )(|)()( y y yfyhyhfyf XXY 即 ., 0 ) 1 , 0(, 1 )( 其它 y yfY 即X1仍服从（0,1）上均匀分布。 30设随机变量 XU1，2，求随机变量 X eY 2 的概率密度函数)(y Y 解 X 的概率密度为 ., 0 )2 , 1 (, 1 )( 其它 x xfX Y 的分布函数为.)( 2 yePyYPyF X Y 由ye X 2 可得：当 2 ey 时，1X，故0)(yFY； 当 2 ey 时，1X，因此有 2 1 4 ln 2 1 1 42 .,1 ,1 ln 2 1 )( eydx eyedx yXPyF y Y 所以 Y 的概率密度为 ., 0 , 2 1 )()( 42 其它 eye y yFyF YY 31设随机变量服从标准正态分布，求以下随机变量的概率密度 （1）Y=eX； （2）Y=22+1； （3）Y=| 解 （1）因为 X eY ，故 Y 不取负值，从而，当0y时，则0)(yfY； 当0y时，Y 的分布函数为 ).(lnln 00)( yyXP yePyYPyYPyF X Y 从而，0y时， . 1 2 1 1 | )()()( 2 )(ln 2 1 ln y e y xyFyf y yxYY 于是， X eY 的概率密度为 其它, 0 , 0, 2 1 )( 2/)(ln 2 ye y yf y Y （2）因12 2 XY，故 Y 在), 1 取值，从而1y时,0)(yfY；1y， 由于 XN(0,1)，故 Y 的分布函数为 . 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 12)( 2 yyy y X y P yXPyYPyFY 故1y时， . ) 1(2 1 ) 1(2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2)()( 4/ )1( 4/ )1( y y YY e y y e y yFyf 于是12 2 XY的概率密度为 ., 0 , 1, ) 1(2 1 )( 4/ )1( 其它 ye y yf y Y （3）对于| XY ，显然，当0y时,0)(yfY；当0y时， . 1)(2 )()( |)( y yyyXyP yXPyFY 因此，0y时， . 2 2 1)(2)()( 2/ 2 y YY eyyFyf 故| XY 的概率密度为 ., 0 , 0, 2 )( 2 2 其它 ye yf y Y 32设随机变量服从指数分布，试求随机变量 Y=min，2的分布函数 解 X 的密度函数为 . 0, 0 , 0, )( x xe xf x 由于 .2, ,2, 2 2 ,min 时当 时当 XX X XY 因此，当