同济习题课.pdf

目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 连续与间断连续与间断 一、一、 函数函数 三、三、 极限极限 习题课习题课 函数与极限函数与极限 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 )(xfy y x O D 一、一、 函数函数 1. 概念 定义定义: 定义域 值域 图形图形: ( 一般为曲线 ) 设 函数为特殊的映射: 其中 目录 上页 下页 返回 结束 2. 特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函数 设函数 为单射, 反函数为其逆映射 DDff )(: 1 4. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 )(:DgfDgf 5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与 复合而成的一个表达式的函数. gf 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)( 2 xxx与 axa axx xf , , )()2( 2 )( 2 1 )(xaxax与 0, 0,0 )() 3( xx x xf)()(xffx 与 相同相同 相同相同 相同相同 目录 上页 下页 返回 结束 2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么? 1sin 1 ) 1 ( x y , 0,cos,sinmax)2( 2 xxxy 2 2,arcsin) 3(xuuy 不是不是 4 0 x,cos x 2 4 x,sin x 是是 不是不是 提示提示: (2) y 目录 上页 下页 返回 结束 0x 0,1 0,1 )()4( 3 3 xx xx xf 0, 1 0, 1 )()2( x x xf 1,4 1,2 )() 3( x x xf , 2 x x x y O 4 2 1 1, 1 1, 1 3 x x 1 ) 1( 3 2 x x ,1 6 x Ox y 1 1 1x Rx 3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ? 0, 0, )() 1 ( xx xx xf 2 x 以上各函数都是初等函数 . x y 1 O 目录 上页 下页 返回 结束 4. 设 ,0)(,1)(,e)( 2 xxxfxf x 且求 )(x 及其定义域 . 5. 已知 8,)5( 8,3 )( xxff xx xf, 求 . )5(f 6. 设 ,coscsc) sin 1 (sin 22 xx x xf 求 . )(xf 由 得 ,)1ln()(xx0,(x x x )(x 4. 解解: )(x 目录 上页 下页 返回 结束 f 5. 已知 8,)5( 8,3 )( xxff xx xf, 求 . )5(f 解解: )5(f)( f)10(f)(7f f )( f)(9f6 6. 设 ,coscsc) sin 1 (sin 22 xx x xf 求 . )(xf 解解: 1sin sin 1 ) sin 1 (sin 2 2 x x x xf 3) sin 1 (sin 2 x x 3)( 2 xxf 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 . , 1 x x t , 1 1 t x 代入原方程得 , 1 1 1 u u x 代入上式得 设 其中 ，求 令 即 即 令 即 画线三式联立 即 例例1. 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 连续与间断连续与间断 1. 函数连续的等价形式 )()(lim 0 0 xfxf xx )()(, 000 xfxxfyxxx 0lim 0 y x )()()( 000 xfxfxf ,0,0, 0 时当xx 有 )()( 0 xfxf 2. 函数间断点 第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 目录 上页 下页 返回 结束 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 . 3. 闭区间上连续函数的性质 例例2. 设函数 在 x = 0 连续 , 则 a = , b = . 提示提示: 2 0 )cos1 ( lim)0( x xa f x 2 a 2 2 1 cos1xx )(lnlim)0( 2 0 xbf x bln b a ln1 2 2e 目录 上页 下页 返回 结束 有无穷间断点 及可去间断点 解解: 为无穷间断点, ) 1)( e lim 0xax b x x 所以 b xax x x e ) 1)( lim 0 b a 1 0 1,0ba 为可去间断点 , ) 1( e lim 1 xx b x x 极限存在 0)(elim 1 b x x eelim 1 x x b 例例3. 设函数 试确定常数 a 及 b . 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设 f (x) 定义在区间 上 , , 若 f (x) 在 连续, 提示提示: )(lim 0 xxf x )()(lim 0 xfxf x )0()(fxf )0( xf)(xf 阅读与练习阅读与练习 且对任意实数 证明 f (x) 对一切 x 都连续 . P65 题 1 , 3(2) ; P74 题 *6 目录 上页 下页 返回 结束 证证: P74 题题*6. 证明: 若 令 ,)(limAxf x 则给定 ,0,0X当 Xx 时, 有 AxfA)( 又 , ,)(XXCxf根据有界性定理, 0 1 M, 使 ,)( 1 XXxMxf 取 1 ,maxMAAM 则 ),(,)(xMxf )(xf 在 ),( 内连续, )(limxf x 存在, 则 )(xf必在 ),(内有界. )(xf XX A 1 M O y x 目录 上页 下页 返回 结束 上连续 , 且恒为正 , 例例5. 设 )(xf在 对任意的 必存在一点 证证: 使 令 , 则 )()( 21 xfxf 2 21 )()(xfxf0 使 故由零点定理知 , 存在 即 证明: 即 目录 上页 下页 返回 结束 上连续, 且 a c d b , 例例6. 设 )(xf在 必有一点 证证: 使 即 由介值定理, 证明: 故 即 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 极限极限 1. 极限定义的等价形式 (以 为例 ) 0 xx (即 为无穷小) Axf)( 有 “ 2. 极限存在准则及极限运算法则 目录 上页 下页 返回 结束 3. 无穷小 无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ; 常用等价无穷小: 4. 两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法 sin xxcos1x 2 2 1 x arcsin xx 1e x x1)1 ( x x 5. 求极限的基本方法 或 注注: 代表相同的表达式 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求下列极限： )sin1(sinlim) 1 (xx x x x x sin 1 1 2 lim)2( x x x x cot 1 1 0 lim)3( 提示提示: xxsin1sin) 1 ( 2 1 cos 2 1 sin2 xxxx 2 1 cos )1(2 1 sin2 xx xx 无穷小 有界 目录 上页 下页 返回 结束 令 1 lim)2( x 1 xt 0 lim t) 1(sin )2( t tt 0 lim t t tt sin )2( 0 lim t t tt )2( 2 x x sin 1 2 目录 上页 下页 返回 结束 0 lim) 3( x x x x cot 1 1 0 lim x x x x cot ) 1 2 1( e x x x x 1 2 1 2 )1(ln 2 e 则有 )( )(1lim 0 xv xx xu 复习复习: 若 ,0)(lim 0 xu xx ,)(lim 0 xv xx e e )()(lim 0 xuxv xx )(lim 1 2 sin cos 0 x x x x x 1 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 确定常数 a , b , 使 解解: 原式可变形为 0)1(lim 3 1 3 x b x x ax 0)1(lim3 1 3 x b x x a 故 ,01a于是 ,1a而 233 3 23 1)1 ( 1 lim xxxx x 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 当 0x时, 32 xx 是 的几阶无穷小? 解解: 设其为 x 的 k 阶无穷小, 则 k x x xx 32 0 lim 0C 因 k x x xx 32 0 lim 3 3 2 0 lim k x x xx 3 3 0 )1 (lim 2 3 2 1 xx k x 故 6 1 k 目录 上页 下页 返回 结束 阅读与练习阅读与练习 1. 求 的间断点, 并判别其类型. 解解: ) 1)(1( sin)1 ( lim 1 xxx xx x 1sin 2 1 x = 1 为第一类可去间断点 )(lim 1 xf x x = 1 为第二类无穷间断点 , 1)(lim 0 xf x 1)(lim 0 xf x x = 0 为第一类跳跃间断点 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求 解解: x x x x x sin e1 e2 lim 4 1 0 x x x xx x sin 1e e2 lim 4 34 0 e 1 x x x x x sin e1 e2 lim 4 1 0 x x x x x sin e1 e2 lim 4 1 0 1 原式 = 1 (2000