广东工业大学考试试卷08高等数学B卷及答案.pdfVIP

广东工业大学试卷用纸，共 2 页，第 页 学学 院院 ： 专业：专业： 学号：学号： 姓名： 装 订 线 广东工业大学考试试卷广东工业大学考试试卷 ( B )( B ) 课程名称课程名称: : 高等数学高等数学 A(1)A(1) 试卷满分试卷满分 100100 分分 考试时间考试时间: 2008 : 2008 年年 1 1 月月 14 14 日日 ( (第第 20 20 周周 星期一星期一 ) ) 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 1 2 3 4 评卷得分 评卷签名 复核得分 复核签名 一、填空题： （每小题一、填空题： （每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 1.)0, 0( 1 4 lim ba ax ax bx x = . 2. 设 )(xyy 是由方程xyexycos 2 所确定的隐函数， 则dy . 3. 设)(xf可导, 则 x fxf x )2()22( lim 0 = . 4. dx x x xfx ln )( 2 = . 5. 01,)1ln( 0,)( 1 1 xx xexf x 有第一类间断点 ； 第二类间断点 二、选择题： （每小题二、选择题： （每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 1. 设函数 0,0 0, 12sin )( 2 x x x ex xf ax 在0x处连续, 则 )(a. A A2 B.B. 2 C C 2 1 D.D. 2 1 2. 函数71862 23 xxxy的极大值为（ ）. A17 B. 17 C 24 D. 24 广东工业大学试卷用纸，共 2 页，第 页 3. 极限 2 0 0 )1ln( lim x dtt x x 的值等于（ ）. A. 1 B. 1 C 2 1 D. 2 1 4定积分 dxxxx)sin|2cos1( 的值等于（ ）. A. 22 B. 0 C24 D. 24 5微分方程xxxyysin2cot满足初始条件 4 2 2 x y的特解为 ( ) A.xxysin 2 B. xxysin 2 Cxxycos 2 D. xxycos 2 三、计算题三、计算题（每小题每小题 7 分，共分，共 28 分分） 1. 求由参数方程 t t ety ex 2 所确定的函数的二阶导数 2 2 dx yd . 2求曲线 1 2 x x xy的凹凸区间和拐点. 3. 计算定积分 1 0 2 2xdxx. 4. 求微分方程 x eyyy 5 834 的通解. 四、四、（8 分）证明:当4x时， 2 2x x . 五、五、（8 分）若对任意0x,曲线)(xfy 上的点)(,(xfx处的切线在y轴上的截距 等于 x dttf x0 )( 1 ,求)(xf的一般表达式. 六、六、（8 分）设)(xf在0a，上连续, 在），（a0内可导,且0)(af证明: 存在 ），（a0,使得 0)()(ff. 七、七、（8 分）求曲线 xyln在区间)6,2( 内的一条切线, 使得该切线与直线2x, 6x 和曲线 xyln 所围成的平面图形面积最小. 共 6 页，第 页 学学 院：院： 专专 业：业： 学学 号：号： 姓姓 名名： 装 订 线 广东工业大学考试广东工业大学考试 答题纸答题纸 课程名称课程名称: : 高等数学高等数学 A(1)A(1) 试卷满分试卷满分 100100 分分 考试时间考试时间: : 2008 2008 年年 1 1 月月 14 14 日日 ( (第第 20 20 周周 星期星期 一一 ) ) 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 1 2 3 4 评卷得分 评卷签名 复核得分 复核签名 一、填空题： （每小题一、填空题： （每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 1. a b e 3 ; 2. dx xey yex dy xy xy 2 sin ; 3. )(22 f ; 4. Cxxfxfx 2 2 1 )(ln)()( ; 5. 10xx; 二、选择题： （每小题二、选择题： （每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 1 2 3 4 5 B A C D A 三、计算题三、计算题（每小题每小题 7 分，共分，共 28 分分） 1. 解解: 方法一：方法一： tt e dt dx e dt dy 2 21 , （2 分）分） t t e e dt dx dt dy dx dy 2 2 1 （4 分）分） 共 6 页，第 页 dt dx dx dy dt d dx yd )( 2 2 （5 分）分） tt tttt ee eeee 24 22 2 1 4 142 )( （6 分）分） t t e e 5 4 23 （7 分）分） 方法方法二二： tttt e dt xd e dt yd e dt dx e dt dy 2 2 2 2 2 2 421 , （2 分）分） 32 2 )(x xyxy dx yd （5 分）分） t tttt e eeee 6 22 8 142)( （6 分）分） t t e e 5 4 23 （7 分）分） 2. 解解: , )( 22 2 1 1 1 x x y （1 分）分） , )( )( 32 2 1 32 x xx y （2 分）分） 00 xy得令 以及以及 y 不存在点不存在点1x （3 分）分） 列表讨论如下列表讨论如下: x ( , 1) 1 ( 1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, + ) y + + y 凸凸 无定义无定义 凹凹 0 凸凸 无定义无定义 凹凹 共 6 页，第 页 曲线的凸区间曲线的凸区间:),(),(101 （或（或 ,(),(101 ） （4 分）分） 曲线的凹区间曲线的凹区间),(),(101（或（或),(,(101） （5 分）分） 曲线有拐点曲线有拐点: (0, 0) （7 分）分） 3. 方法一：方法一： 令令 2 2xxy，则则 1102 2222 yxxyx)(, （2 分）分） 由定积分由定积分的几何意义的几何意义，该积分表示以（，该积分表示以（1，0）为圆心，）为圆心， 半径为半径为 1 的圆的面积的四分之一，的圆的面积的四分之一， （5 分）分） 即即dxxx 1 0 2 2 = 4 1 （7 分）分） (说明：图错扣一分；说明：图错扣一分； 没有图，但答案对，不扣分；如直接得答案，扣没有图，但答案对，不扣分；如直接得答案，扣 2 分分). 方法二：方法二：dxxx 1 0 2 2 dxx 1 0 2 11)( （4 分）分） dttttx 0 2 2 11 cossinsin令 （5 分）分） dtt 0 2 21 2 1 )cos( （6 分分） 0 2 2 2 1 2 1 )sin(tt 4 （7 分）分） 方法三：方法三：dxxx 1 0 2 2 1 0 2 1 2 1 )(arcsinxxx （5 分）分） 4 （7 分）分） 共 6 页，第 页 4. 解解: 特征方特征方程为程为: 034 2 rr, （1 分）分） 特征根特征根: 13 21 rr, （3 分）分） 齐次方程的通解为齐次方程的通解为: xx eCeCY 2 3 1 （4 分）分） 由于由于5 不是特征根不是特征根,且且8 )(xPm 故可设原方程的一个特解为故可设原方程的一个特解为: x Aey 5 * （5 分）分） 将其代入原方程得将其代入原方程得: xx eAe 55 88,解得解得: 1 A （6 分）分） 所以所以 x ey 5 *, 从而求得原方程的通解为从而求得原方程的通解为 xxx eeCeCy 5 2 3 1 （7 分）分） 四四、（8 8 分）分）证明：方法一：令证明：方法一：令 2 2xxf x )(，04 )(f （1 分）分） xxf x 222ln)( ，082164ln)( f （2 分）分） 222 2 )(ln)(“ x xf （3 分）分） 当当4x时时，0)(“ xf （5 分）分） 所以所以)( xf单调增加， 于是当单调增加， 于是当4x时时，04 )( )( fxf （6 分）分） 因此因此)(xf单调增加， 故当单调增加， 故当4x时，时，04 )()(fxf （7 分）分） 即当即当4x时，时， 2 2x x （8 分）分） 方法二：令方法二：令xxxflnln)(22， 04 )(f （1 分）分） x xf 2 2 ln)( ，0 2 1 24 ln)( f （3 分）分） 0 2 2 x xf)(“ （5 分）分） 所以所以)( xf单调增加，于是当单调增加，于是当4x时，时，04 )( )( fxf （6 分）分） 因此因此)(xf单调增加，故当单调增加，故当4x时，时，04 )()(fxf （7 分）分） 共 6 页，第 页 即当即当4x时，时，xxlnln22 ，亦即亦即4x时， 2 2x x （8 分）分） 方法三：令方法三：令 x x xf ln )(，则，则 2 1 x x xf ln )( （3 分）分） 令令0)( xf，得得ex ，当当ex 时，时，0)( xf，从而从而)(xf单减单减 （5 分）分） 所以当所以当xe 4时，时，)()(xff4， x xlnln 4 4 ，即即 x xlnln 2 2 （7 分）分） 亦即当亦即当4x时，时， 2 2x x （8 分）分） 五五、（8 8 分）分）解：设曲线过解：设曲线过)(,(xfx点的切线方程为：点的切线方程为： )()(xXxfxfY （2 分分） 当当0X时，得该切线在纵轴上的截距为：得该切线在纵轴上的截距为：)()(xfxxfY 根据题意有：根据题意有： x dttf x xfxxf 0 )( 1 )()( （4 分分） 上式两边同乘上式两边同乘x，求导并整理得：求导并整理得：0)()( xfxxf （6 分分） 令令)()(xpxf，上式可化为上式可化为0pxp，求得求得 x c p 1 （7 分分） 或由或由0)(0)()( xfxdxfxxf，故故 1 )(cxfx （7 分分） 即即 x c xfy 1 )(，从而从而 21ln cxcy （8 分分） 六六、(8(8 分分) ) 证明证明: : 设设 )(xxfxF）（ （2 分分） 由题目所给条件知由题目所给条件知: )(axF，在 0上连续上连续,在在),a0（内可导内可导, 于是由拉格朗日中值定理有于是由拉格朗日中值定理有: )()( )()( 10 0 0 aF a FaF （4 分分） 又由题目所给条件有又由题目所给条件有: .)(0af 共 6 页，第 页 000)(;)()FaafaF（有 )( )( )()( ffxxfxfxxfF xx ）（又 （7 分分） 代入（代入（1）式得）式得：.)( )(0 ff 证毕。证毕。 （8 分分） 七、 （七、 （8 8 分）解：分）解：如图所示：如图所示： 设所求切线与曲线设所求切线与曲线xyln相切于点相切于点)ln,(cc， 则切线方程为：则切线方程为：)(lncx c cy 1 （2 分）分） 又切线与直线又切线与直线6, 2xx和曲线和曲线xyln所围成的平面图形的面积为所围成的平面图形的面积为 6 2 1 dxxccx c Alnln)( （5 分）分） 2266441 4 4lnl