上海工程技术大学概率论与数理统计复习题一答案.pdf

概率论与数理统计复习题概率论与数理统计复习题 1设 3 1 )(AP， 2 1 )(BP，试分别在下列三种情况下求()P AB的值： (1)BA,独立；(2)BA,互斥；(3)BA ； (4) 8 1 )(ABP 解：()( )( )()P ABP AP BP AB (1)BA,独立，则()( )( )( ) ( )P ABP AP BP A P B (2)BA,互斥，则()( )( )P ABP AP B (3)BA ，则()( )P ABP B (4) 直接算 答案： 2 5 1 17 3 6 2 24 ； 2已知 4 1 )(AP， 3 1 )|(ABP， 2 1 )|(BAP，求)(BAP 解： 1 ()( ) (|) 12 P ABP A P B A ()1 ( ) (|)6 P AB P B P A B 1111 ()( )( )() 46123 P ABP AP BP AB 3. 甲乙二人独立地去破译一份密码， 已知各人能译出的概率分别为 1/5 和 1/3， 求密码被译 出的概率. 解：设A:甲译出密码，B:乙译出密码，C:密码被译出. 则则 方法一：方法一： 111 17 ( )()( )( )( ) ( ) 535 315 P CP ABP AP BP A P B. 方法二：方法二： 4 27 ( )1()1( ) ( )1 5 315 P CP A BP A P B 4. 盒子中装有同型号的电子元件 100 个，其中有 4 个是次品从盒子中任取 4 个，求： (1) 4 个全是正品的概率； (2) 恰有一个是次品的概率. 解： 4 96 4 100 (1)0.8472 C p C 31 964 4 100 (2)0.1458 C C p C 5某人独立射击 10 次，每次射击的命中率均为 0.6，求： (1) 击中三次的概率； (2) 至少有一次未击中的概率 解： （1） 337 1010 (3)(0.6) (0.4)0.0425pPC CAB （2） 10100 1010 1(10)(0.6) (0.4)0.9940pPC 全概率公式和贝叶斯公式（注意解题步骤） 6两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为 0.03，第二台出现废品的概率为 0.02加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍， 求任意取出的一件产品是合格品的概率 解：设事件A：取得的产品是合格品，事件 i B：取得的产品由第i台车床加工，1,2i 则所求概率为： 1122 21 ( )() (|)() (|)0.970.980.9733 33 P AP B P A BP B P A B 7设 8 支枪中有 3 支未经试射校正，5 只已经试射校正一射手用校正的枪射击时，中靶 的概率为 0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶的概率为 0.3现假定从 8 支枪中任取一支进 行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率 解：设事件A：射击中靶，事件B：所用的枪是已校正过的 则所求概率为： ( ) (|) (|) ( ) (|)( ) (|) P B P A B P B A P B P A BP B P A B 5 0.8 40 8 0.8163 53 49 0.80.3 88 8.设随机变量X的分布律为,1, 2, 3k a P Xkk，求常数a 解：由规范性得： 1 3 1 1 23 1 3 k k a aa 2a 9设随机变量X的概率密度为 ., 0 , 2 ,cos )( 其它 xxk xf求：(1) 系数k； (2) XP 0； 解： 22 2 0 0 2 (1)cos2cos2 sin21kxdxkxdxkxk 1 2 k 2 2 0 0 2 111 (2) 0cos0sin 222 Pxxdxdxx . 10设连续型随机变量X的分布函数为 . 1, 1 , 10 , 0, 0 )( 2 x xkx x xF求：(1) 系数k；(2) 3 . 13 . 0 XP；(3) 概率密度)(xf 解： 2 111 (1) lim( )limlim( )1 xxx F xkxkF x 1k 2 (2) 0.31.3(1.3)(0.3)1 0.30.91PxFF 201 (3)( ) 0 xx f x 其他 11. 设随机变量X在0, 2上服从均匀分布，求 2X Ye的概率密度. 解解X的概率密度函数为： 1 , 02 ( )2 0, x f x ， 其他 2 ( ) x yg xe， 2 ( )20 x g xe，( )g x单调可导，可用公式法计算. 11 ( )ln ,( ), 22 xh yy h y y 4 (0)1, (2)gge 所以 2X Ye的概率密度为： 4 ( )( )1 ( ) 0 X Y fh yh yye fy 其它 4 11 1 2 2 0 ye y 其它 4 1 1 4 0 ye y ， ，其它 12. 完成表格 分布分布律 或概率密度函数 数学期望()E X方差()D X (0-1)分布 二项分布( , )B n p 泊松分布( ) 均匀分布( , )U a b 指数分布( )E 正态分布 2 ( ,)N 期望、方差、协方差公式 ()()E aXbaE Xb； 2 ()()D aXba D X (,)(, )Cov aX bYabCov X Y； 1212 (, )(, )(, )Cov XX YCov X YCov X Y ()()( )2(, )D XYD XD YCov X Y()( )2()( ) XY D XD YD XD Y 13. 设随机变量X服从参数为 2 的泊松分布，23XZ，求)(),(ZDZE 解：()2,()2E XD X ( )(32)3 ()24E ZEXE X， 2 ( )(32)3()18D ZDXD X 14设随机变量X服从参数为, n p的二项分布，且()2.4E X ，()1.44D X ，求参数 , n p. 解：()2.4E Xnp，()(1)1.44D Xnpp， 两式相除，得 ()1.44 10.6 ()2.4 D X p E X ，故0.4p ，6n . 15设随机变量X的概率密度为 其它，, 0 , 21,2 , 10, )(xx xx xf求)(),( 2 XEXE 解： 12 01 ()( )(2)1E Xxf x dxx xdxxx dx 12 2222 01 7 ()( )(2) 6 E Xx f x dxxxdxxx dx 16. 已知二维随机变量(, )X Y的联合分布律 Y X 123 10 6 1 12 1 2 6 1 6 1 6 1 3 12 1 6 1 求 P X Y，()E X，()E XY 解： 1115 = 612612 P X Y，()=2E X， 23 ()= 6 E XY 17. 设二维随机变量 22 1122 (, )(, )X YN ，则随机变量X 2 11 (,)N ，并 且Y 2 22 (,)N ；参数0是X和Y相互独立的充分必要条件；参数又 称为X 和 Y 的相关系数，用来描述随机变量X和Y之间的相互关系. 18设二维随机变量),(YX在G上服从均匀分布，其中0 , 10| ),(xyxyxG， 试求相关系数 XY 解： 其他0 0, 102 ),( xyx yxf 3 2 2)( 0 1 0 x xdydxXE 3 1 2)( 0 1 0 x ydydxYE 4 1 2)( 0 1 0 x xydydxXYE 2 1 2)( 0 2 1 0 2 x dyxdxXE 6 1 2)( 0 2 1 0 2 x dyydxYE 36 1 3 1 3 2 4 1 )()()(),cov(YEXEXYEYX 18 1 3 2 2 1 )()()( 2 22 XEXEXD 18 1 3 1 6 1 )()()( 2 22 YEYEYD 2 1 )()( ),cov( YDXD YX XY 19. 已知随机变量X和Y分别服从正态分布 2 (1,3 )N和 2 (0,4 )N，且X与Y的相关系数 1 2 XY ，设 32 XY Z ，求： (1)Z的数学期望( )E Z和方差( )D Z； (2)X与Z的相关系数 XZ . 解：()1,()9E XD X；( )0,( )16E YD Y； 1 ,(, )()( )6 2 XYXY Cov X YD XD Y . (1) ()( )1 ( )() 32323 XYE XE Y E ZE； 关于方差，错解： 22 22 ()( )34 ( )()5 323294 XYD XD Y D ZD（错因：没有说独立！ 不能用公式） 正解：( )()()()2(,) 323232 XYXYX Y D ZDDDCov 22 111 ()( )(, )1423 323 D XD YCov X Y . (2)(,)()9Cov X XD X. (,)(,) 32 XY Cov X ZCov X 11 (,)(, )330 32 Cov X XCov X Y (,) ()( ) XZ Cov X Z D XD Z 0. 二维概率密度（注意解题步骤） 20设随机变量),(YX的概率密度为 , 0 , 42 , 20),6( ),( 其它 yxyxk yxf (1) 确定常数k； (2) 求YX、的边缘概率密度； (3) 问X与Y相互独立吗？为什么？(4) 求 P XY 解： (1) 242 020 ( , )(6)(62 )81f x y dxdydxkxy dykx dxk 1 8 k (4) 242 2 020 1112 4(6)(46) 8823 x P XYdxxy dyxxdx . 21设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 其他 xye yxf x 0, , 0 ),(， 求： （1）求出关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度； （2）判断 X 和 Y 是否相互独立，并说明理由 解： （1）)(xfX= dyyxf, 00 0 0 x xxedye x x x )(yfY= dxyxf, 00 0 y yedxe y y x （2）由于 其他0 0, 0 )()( )( yxxe yfxf yx YX 所以)()(),(yfxfyxf YX 故 X 和 Y 不相互独立 拉普拉斯中心极限定理（注意解题步骤） 22有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3 米现从这批木柱中随机地取出 100 根，问其中至少有 30 根短于 3 米的概率是多少？ 解：设短于 3 米的根数为X，则)2 . 0 ,100( BX，则 168 . 02 . 0100)(,202 . 0100)(XDXE 由中心极限定理得：) 1 , 0( 4 20 16 20 N XX 近似 所以， 20302020 302.5 444 XX P XPP 1(2.5)1 0.99380.0062 . 23. 一箱同型号的零件共有 400 个，已知该型号的零件的重量是一个随机变量， 其数学期望为 0.5kg，方差为 0.01kg2，试利用中心极限定理计算这 400 个零件的 总重量超过 202kg 的概率 解设 i X为第i个零件的重量,400,.,2 , 1i,01. 0)(, 5 . 0)( ii XDXE 记 400 1i i XX，则求202XP 2005 . 0400)(XE，401. 0400)(XD 由中心极限定理知)4200(， 近似 NX 于是2021202XPXP 2 200202 2 200 1 X P 1587. 08413. 01) 1 (1 24. 设 1234 ,XXXX是取自正态总体 2 ( ,)N 的样本，其中为已知， 2 未知，指出 下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？ 1234 1 4 XXXX g ; 21 gX; 4 3 X g ; 41234 min,gXXXX 25. 设总体(0,1)XN， 12 , n XXX是取自X的样本，X为样本均值，S为样本标准 差，则(C) A.(0,1)XNB.(0,1)nXNC. 22 1 ( ) n i i Xn D.(1) X t n S 26. 设 128 ,XXX和 1210 ,Y YY分别来自正态总体( 1,4)N 和(2,5)N的样本， 且相互 独立， 2 1 S和 2 2 S分别为两个样本的样本方差，则统计量 2 1 2 2 5 4 S S 服从(C)分布 A.(5,4)FB.(4,5)FC.(7,9)FD.(9,7)F 27. 设元件寿命X服从正态分布 2 ( ,)N ，其中参数 2 , 都是未知的，现随机抽取 6 个 元件，测得其使用寿命（单位：小时）分别为：1498, 1502, 1578, 1366, 1454, 1650，试求总 体均值和方差 2 的矩估计值，以及和方差 2 的无偏估计值. 解：和方差 2 的矩估计值 2 2 1508,8046.6667xb， 和方差 2 的无偏估计值 22 1508,9656xs 28. 电阻的使用寿命X服从参数为的指数分布，参数未知. 今抽查了 6 只电阻，测得 到以下数据（单位：年） ：1.9, 2.7, 4.8, 3.1, 3.4, 2.4，求参数的矩估计值. 解：因为 1 ()E X ，令()3.05E Xx，即 1 3.05 ，得 1 0.3279 3.05 29. 设总体X服从泊松分布( ) ，试求的矩估计量. 解：设 12 , n XXX为来自总体的样本，因为()E X，令()E XX，即X，得 X 极大似然估计（注意解题步骤） 30. 设总体X的概率密度函数为 1, 0 1, ( , )(0) 0,. xx f x 其他 ， 求的极大似然估计 解解 11 111 , nnn n iii iii Lf xxx , 1 lnln(1)ln n i i Lnx ， 1 ln ln0 n i i d n x d ,所以，的极大似然估计量 1 ln n i i n X . 31. 设 12 ,XX是取自总体( ,1)XN的样本，其中为未知参数，则的无偏估计是(A ) A. 12 31 + 44 XXB. 12 31 44 XXC. 12 71 55 XXD. 12 71 + 55 XX 32. 设 12 (,)XX是来自总体( ,1)N的样本，试证明下列统计量是的无偏估计量： 112 11 22 gXX ， 212 12 33 gXX , 312 35 88 gXX 并指出其中哪一个最有效 证证 212 1212 3333 E gE XE X，可证， 1 E g， 3 E g 212 145 999 D gD XD X， 312 92517 ()()() 646432 D gD XD X， 112 111 442 D gD XD X， 231 ()()()D gD gD g，所以， 112 11 22 gXX估计最有效. 置信区间（注意解题步骤） 33. 已知某厂生产的钉子的直径服从正态分布，先从中抽取 16 枚，测得其样本均值 =2.125x，样本方差 22 0.01713s ，求总体均值的置信度为 0.90 的置信区间. 解：的1的置信区间为 2 (1) /);2.125,0.01713,16,0.1XtnSnxsn 查t分布表，得 0.05(16 1)1.7531 ,t 3 2 0.01713 (1) /1.75317.507710 16 tnSn 从而的置信度为 90%的置信区间为（2.1175，2.1325） 34. 某种疾病的存活时间 2 ( ,)XN ，现随机抽查 16 个患此疾病的患者，得到 13.88,2.1xs，求 2 的置信度为 0.95 的置信区间. 解： 2 的1的置信区间为 22 22 1 22 (1)(1) , (1)(1) nSnS nn ，查表得 22 0.050.05