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第 1 页 参参 考考 答答 案案 概率论与数理统计概率论与数理统计1 注：注： 0.050.0250.050.025 2222 0.9750.950.050.025 22 0.050.05 (1)0.84,(1.645)0.95,(1.96)0.975,(2.31)0.99 (8)1.86,(8)2.31,(16)1.75,(16)2.12, (8)2.18,(8)2.73,(8)15.51,(8)17.53, (4)9.49,(3) tttt = = = = ， 0.0250.025 7.82,(9,7)4.82,(7,9)4.2.FF= 一一 填空题（每小格填空题（每小格 3 分，共分，共 39 分。每个分布要求写出参数） ：分。每个分布要求写出参数） ： 1. 设事件 A,B,C 相互独立，已知( )0.5, ()0.6, (|)0.4,P AP ABP C A=则 P(B)= 0.2 ， ()P ABC= 0.84 . 2. 在区间(0, )(参数0 )内独立重复观测 5 次，记为 15 ,(0, ) i XXXUL, (1) 设2 =，则最大观测值小于 1.8 且最小观测值大于 0.4 的概率为 0.16807 ; (2) 设 0 未知，5 次观测值为 1.18,0.48,1.59,0.13,1.76，则的矩估计值是 2.056 . 3.某超市从开门到第 1 位顾客进入所需时间 X(分钟)的概率密度函数 /5 1 ,0 ( )5 0,. x ex f x = 其他 则超市开门后的 10 分钟内至少有 1 人进入的概率为 2 1e ; 从开门到第 1 位顾 客进入平均花 5 分钟. 4. 设某地区男性成年人的身高 X（厘米）与体重 Y（公斤）服从二元正态分布， 22 (169.5,10.5 ),(57.3,16.2 ),0.6 XY XNYN=, 从该地区独立随机选 n 名男子， 测得 身高体重为 11 11 11 (,)(,), nn nnii ii X YX YXX YY nn = = L记。则X服从 2 10.5 (169.5,)N n 分布，(,)Cov X Y= 102.06/n , 当 1 1(169.5)(57.3) 10.5 16.2 n P ii i XY n n = 时， 0.6 . 5. 设总体 22 ( ,),XN 均未知, 19 ,XXL为来自 X 的简单随机样本，XS和分 别是样本均值和样本标准差，(1) 若根据样本观测值，7.076,1.2,xs= 则 2 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为 (0.657 , 5.284) ，检验假设 01 :8,:8HH=的 P_值为 0.05 ；(2) 设 X10是从总体中独立抽取的另一次观测，则 10 3(- ) 10 XX S 服从 第 2 页 t(8) 分布. 6. 在研究我国人均消费水平问题上，考虑人均国民收入 x（千元）对人均消费金额 Y（千 元）的影响。设 22 (,), ,YN abxa b+均未知， 111919 (,)(,)x yxyL是 1980- 1998 年的数据，已知 1919 22 11 2.32,1.09,()73.980,()15.343, ii ii xyxxyy = = 19 1 ()()33.291, ii i xxyy = = 采用最小二乘估计， 则回归方程 y = 0.046+0.45x . 二 （11 分）有 A,B 两盒，A 盒中有 1 个红球 1 个白球，B 盒中有 4 件正品 2 件次品。先从 A 盒中采用放回抽样取 2 球，X 表示从 A 盒中取到的红球数，若 X=1 时，则从 B 盒中 采用不放回抽样取 3 件产品；若1X 时，从 B 盒中采用不放回抽样取 2 件产品。Y 表 示从 B 盒中取到的次品数。(1)已知 X=1, 求 Y 的条件分布律；(2) 求 Y 的分布律. （1） 033 246 (0|1)/0.2P YXC CC=; 123 246 (1|1)/0.6P YXC CC=; 213 246 (2|1)/0.2P YXC CC= （2） 11113 (0)(1) (0|1)(1) (0|1) 252510 P YP XP YXP XP YX=+= += 131817 (1)(1) (1|1)(1) (1|1) 252 1530 P YP XP YXP XP YX=+=+= 11114 (2)(1) (2|1)(1) (2|1) 2521530 P YP XP YXP XP YX=+=+= 三.（12 分）设总体 X 服从参数为的泊松分布， 1200 ,XXL为来自 X 的简单随机样本， X是样本均值; （1） 若2 =， 求 1 (2)P X 的值， 以及(2.1)P X 的近似值。 （2） 若0 未知，判断统计量 200 1 1 (1) 200 ii i TXX = = 是否为 2 的无偏估计量，说明理由. （1） 2 1111 (2)1(2)1(0)(1)1 30.594P XP XP XP Xe= = 近似 （2） 200 22 1 1 ( )(1)( (1)()( )( )( )( ) 200 ii i E TEX XE X XE XE XD XE XE X = =+ 22 =+= 所以 T 是 2 的无偏估计量。 第 3 页 四(12 分) 设随机变量(X,Y)的密度函数 6(),01 ( , ) 0, xyyx f x y 0.5); （2）X 的边际密度函数( ) X fx (3) 设 Z=X+Y,求 Z 的密度函数( ) Z fz （1）() 11 2 0.50.50.5 0.5 0.5( , )6()(333/4) 1/8 x y P Yf x y dxdydxxy dyxx =+= （2） 2 0 6()3,01 ( )( , ) 0, x X xy dyxx fxf x y dy = 频数 i n 33 17 23 12 15 (1)若总体 X 的概率密度函数为 2 /, ( , ) 0, xx f x = 其它 ，求的极大似然估计值； （2）在显著水平 0.05 下用 2 拟合检验法检验 H0：总体 X 的概率密度 2, 1 ( ) 0, xx f x = 其它 . (1)设 100100 100 12100 11 ( )()/ () ii ii Lf xxx xx = = L 12100 ln ( )100lnln()Lx xx=L ln ( )/100/0Ld=, ( )L 关于 增函数， 1100 min(,)1.01 L xx =L (2) 1 =, 1.6 2 1 (1.6)0.375,0.125,0.25,0.15,0.1.P Xx dxX = 同理得 落在其他四个区间的概率为： 第 5 页 观察值 i x的范围 1.61.622441010xxxxx 频数 i n 33 17 23 12 15 概率 i p 0.375 0.125 0.25 0.15 0.1 理论频数 i np 37.5 12.5 25 15 10 25 2 1 i i i n n np = = 检验统计量, 2 22 0 1 (1) k i i i n Hnkr np = = 的拒绝域 这里 n=100, k=5, r=0 222222 222 0.05 1 3317231215 1005.42(1)(4)9.49 37.512.5251510 k i i i n nkr np = =+= 接受原假设，即认为总体 X 的概率密度是 2, 1 ( ) 0, xx f x = 其它 。 一填空 5（2） 1011910 10 1010 101010 2 22 2 10 1010 2 2 2 2 111 999 ()()()0 ()()()2(,) 10 0 99 10 (0,) 9 ()03() (0,1) 1010 9 (91) (8) 2, XXXXXX XX E XXE XE X D XXD XD XCov XX XXN XXXX UN S V U V = + = =+ =+= = = QL 独立独立 服从正态分布服从正