概率统计试卷和答案.pdf

江汉大学 20122013 学年第 一 学期 江汉大学 20122013 学年第 一 学期 考 试 试 卷 一、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 设、AB为两个事件，, ( )0.5P A ()0P AB.2，则()P AB 2. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别为 321 532 , , ，则 3 人中恰好有 2 人合格的概率 为 2 312123 ( ) xx Xf xe 3. 设，且(0,6)YUXY、相互独立，则()E XY_， _，_. 2 ()E X(6)D YX 4. 设一次试验成功的概率为p，进行 100 次独立重复试验，p 时，成功次数的标 准差最大，最大值为_. 5. 设由来自正态总体XN(,)， 容量为 9 的简单随机样本计算得样本值 2 0.95x ， 则未 知参数的置信度为 0.95 的置信区间是_ 二、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题3分，共15分） 1 若事件、AB同时发生的概率为， 则 ( ) ()0P AB = ( )A,A B不相容； ( )BAB是不可能事件； ( )CABf=未必成立； ()D( )0P A 或 ( )0P B X,)的联合密度函数为2. 设随机变量(Y , 01,01 ( , ) Cxyxy f x y 0, 其他 ， 则下列叙述正确 的是 ( )A2, CP 1 2 XY； ( )B0P XY； ( ) ( )C2, 1 4 CP XY； ()D4, 1 2 CP XY 3. 设随机变量X的方差为 25， 则根据 Chebyshev 不等式有|()| 10PXE X ( ) ( )A0.25； ( )B0.25； ( )C0.75； ()D0.75 4. 设 12 (,) n XXX是取自总体 2 (0,)N的样本， 则可作为 2 无偏估计量的是 ( ) ( )A 1 1 n i i X n ； ( )B 1 11 n i i X n ； ( )C 2 1 11 n i i X n ； ()D 2 1 1 n i i X n 5. 在假设检验问题中， 如果检验方法选择正确， 计算也没有错误， 则 ( ) ( )A 仍有可能作出错误判断； ( )B 不可能作出错误判断； ( )C 计算更精确些就可避免做出错误判断； ()D增加样本容量就不会作出错误判断 三 三、计算题（本大题共 7 小题，每题 10 分，共 70 分） 1. 某地气象预报表明， 在一年中有 1 5的日子预报下雨， 有 4 5 的日子预报不下雨. 某位王先生， 若预报下雨必带伞；若预报不下雨带伞的概率为 1 8 ，求： (1)这位王先生带伞的概率；(2) 某日发现这位王先生带伞，则这天预报下雨的概率是多少？ X的密度函数为： ，试求： (1) ,0 ( ) 0, x X ex fx 其他 X的分布函数( )F x； 2. 随机变量 (2) 的概率密度 2 YX( ) Y fy 3. 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布. 求： 22 1xy (1) X与Y的边缘密度函数；(2) X与是否相互独立；(3)求. YP XY 1 2 4. 设随机变量X的密度函数为 2 ,01 ( ) 0, X axbxcx fx 其他 ，已知， ，求系数 ()0.5E X ()0.15D X, , .a b c 5. 炮火轰击敌方防御工事 100 次，每次攻击命中的炮弹数服从同一分布，其数学期望为 2， 均方差为 1.5. 若多次轰击命中的炮弹数是相互独立的，试用中心极限定理 求 100 次轰击至 少命中 180 发但不超过 220 发的概率. (1.33)0.9082) 6设总体X的概率分布为 X 1 2 3 P 2 2 (1) 2 (1) 其中(01)是未知参数，利用总体X的如下样本值： 123 1,2,1xxx，求参数的 矩估计值 和最大似然估计值 7. 设某次考试的成绩服从正态分布， 随机抽取了 36 位考生的成绩， 算得平均分为 66.5 分， 标准差为，问：在显著性水平15s 0.05下，是否可以认为这次考试的平均成绩为 70 分？ (已知， 0.025(35) 2.0301t 0.025(36) 2.0281t，0.05(35)1.6869t，) 0.05(36) 1.6833t 江汉大学 20122013 学年第 一 学期 江汉大学 20122013 学年第 一 学期 试卷评分参考答案（A 卷） 一、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 0.7 2. 13 30 3. 6, 25 6 ，9 4. 1 2 ，5 5. (50 0.025 .3z) 二、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） C D D D A 三三、计算题（本大题共 7 小题，每题 10 分，共 70 分） 1解：设事件为“预报下雨”；AB为事件“王先生带伞”。由已知 1 5 ( )P A ， 4 5 ( )P A ， (|)1P B A ， 1 8 (|)P B A 。 (1)由全概率公式得“王先生带伞”的概率为： 3114 5581 ( )(|) ( )(|)1P BP B A P AP B A 0 6 分 (2)由贝叶斯(Bayes)公式得“某日发现王先生带伞，则这天预报下雨”的概率为： 1 52 3 3 10 1 (|) ( ) (|) ( ) P B A P A P A B P B 10 分 2解：(1) 由分布函数定义： 0 0 0, 0 0, 0 ( )( ) 0, 01, 0 x x X tx x x F xP Xxft dt dte dt xex 5 分 (2) 有 2 YX 2 ( )yg xx， 在时，0x ( )g x严格单调递增， 具有反函数( )xh yy， 又有 12 1 2 y ( )h y，解得Y的概率密度为： 2 X 1 2 , 0 ( ) 0, 0 y X y y fy y e 10 分 3解：(1)当11x 时， 2 2 1 2 1 12 ( )( , )1 x X x fxf x y dydyx ； 而当 1x 时，因，故( , )0f x y ( )0 X fx ，综合得X的概率密度为： 22 1, 1 ( ) 0, X 1xx fx 其他 ， 同理， 22 1, 1 ( ) 0, Y yy fy 1 其他 。 4 分 (2) 因( , )( )( ) XY f x yfx fy，故X与Y不独立。 (3) 即是(,P XY)X Y落入区域 22 ( , )|,1Gx yxy xy的概率，有 1 2 G P XYdxdy 1 。 10 分 4解：由密度函数性质有 1 2 0 32 ( )()1 X ab fx dxaxbxc dxc 由有( )0.5E x 1 2 0 432 ( )()0.5 X abc xfx dxx axbxc dx 由 1 22222 0 543 ()( )( ( )( )()0.4 X abc E xD xE xx fx dxxaxbxc dx 联立，解得 10 分 12, 12, 3abc 5解：设 k X表示第次轰击命中的炮弹数，则k 12100 ,XXX相互独立。依题意， ；设 2 (, (1.5 (1,2,100)E XDk )2) kk XX表示 100 次轰击命中的炮弹数，则 ，由中心极限定理有 100 1 XX , (200, ()225 k k D X )E X ()200 (0,1) ()225 XE XX N D X （近似地服从）， 5 分 所求概率为 180200200220200 180220 225225225 (1.33)( 1.33)2 (1.33)10.8164. X PXP 10 分 6解：(1) 总体一阶矩 22 1 ()22 (1)3 (1)32aE X ，解得 1 1 2(3 )a，用样本一阶矩XA 代替得 1 a的矩估计量为 1 2(3 )X。 由已知 123 114 333 ()(121)xxxx，故的矩估计值为 5 6 . 4 分 (2) 由给定样本值得似然函数： 3 22 123 1 ( )1 2 12 (1) (1)2(1) ii i LP XxP XP XP X 5 两边取对数： ln ( )ln25lnln(1)L 令 ln ( )51 0 1 dL d ，解得 5 6 即为参数的极大似然估计值。 10 分 7解：已知0.05，36n 66.5, 15xs，方差 2 未知； 假设检验为 00 :7H0， 10 :H，用T检验。 选用检验统计量 (1) X tt sn n， 4 分 拒绝域为 0.025 2 (1)(35)2.030ttnt 1 计算 0 66.570 361.52.0301 15 x t sn ，不在拒绝域内。 故在显著性水平05. 0下接受 0 H，即可以认为这次考试的平均成绩为 70 分。 10 分 学院 数 计 出卷教师 王 岑 系主任签名 制卷份数 专 业 班级编号 江汉大学 20122013 学年第 二 学期 江汉大学 20122013 学年第 二 学期 考 试 试 卷 课程编号： 410801009 课程名称： 概率论与数理统计（理） 试卷类型：A A 、B 卷 考试形式：开 、闭 卷 考试时间： 120 分钟 题号 一 二 三 四 五 总分 总分人 得分 得分 评分人 一、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 设、AB为两个事件，, ，则 A B2.6( )0.P A ( )0P B (A) P B，(P AB) 2. 每次试验的成功率为， 则 3 次独立重复试验中至少失败一次的概率为 (01)pp 3. 设 2 44 4 1 ( ) 2 xx Xf xe ，YU，且(0,6)XY、相互独立，则()E XY ， 2 ()E X， (D YX1) . X 1 2 3 P 0.2 k 0.4 k4. 设离散型随机变量X的分布律如右表，则 ，且 13PX，( )F x . 5. 设正态总体XN(, 2 0 )，其中未知， 2 0 已知， 12 , n XXX为其样本，的置信度 为1的双侧置信区间为 0 () n 2 Xz ，则 0 2 z n PX (其中 2 z为 标准正态分布的上 2 分位点) 二、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 得分 评分人 1若任意两事件和AB ( ) ( )A若AB ，则、AB一定独立； ( )B若AB ，则、AB有可能独立； ( )C若AB =，则、AB一定独立； ()D若AB =，则、AB一定不独立 设随机变量的概率密度为 2, 1 ( ) 0, 1 bxx f x x ， 则bB ) ( ( )A 3 2 ( )B1； ( )C1； ()D 1 2 3. 设随机变量X的方差为 45， 则根据 Chebyshev 不等式有|()| 10PXE X ( ) ( )A0.45； ( )； ( )B0.45C0.55； ()D0.55 1 4. 设 12 (,) n XXX是取自总体X的一个样本，()E X， 2 ()D X，X和是样本 均值和样本方差， 若 2 S 22 ()XcS是 2 的无偏估计， 则c _ ( ) ( )A1； ( )B 2 1 n ； ( )C 1 n； . ()Dn 5. 在假设检验问题中， 若 1 H为备择假设， 则称_为犯第二类错误。 ( ) ( )A 1 H为真，接受 1 H； ( )B 1 H不为真，接受 1 H； ( )C 1 H为真，不接受 1 H； ()D 1 H不为真，不接受 1 H 三三、计算题（本大题共 7 小题，每题 10 分，共 70 分） 1. 设 8 支枪中已有 5 支经试射校正，有 3 支未试射校正。一射手用校 正过的枪射击时，中靶概率为 0.8，而用未试射校正的枪射击，中靶的 概率为 0.3。今从 8 支枪中任选一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是已校正过的枪的概 率。 得分 评分人 2. 设随机变量X的概率密度为 2 2 , 0 (1)( ) 0, 0 X x xfx x ， 试求随机变量Y的概率密 度。 ln X 2 3. 设随机变量(, )Y的概率密度为 2 , 01, 02 ( , )3 0, xy xx f x y y 其他 ，试求(1)XX,Y的 边缘概率密度；(2)判断,X Y是否相互独立；(3)求概率1P XY。 X具有概率密度 1 cos , | ( )2 0, xx f x2 其他 ，试求X的期望及方差. 4. 随机变量 5. 一学校有 100 名住校生，每人都以 80%的概率去图书馆自习，试问图书馆至少应设多少 个座位， 才能以 99%的概率保证去上自习的同学都有座位。 () (2.33)0.99 3 4 6. 设 1 X， 2 X， ， n X为 来 自 总 体X的 一 个 样 本 ，X的 概 率 密 度 为 , 01 ( ;1 1x2 0, , ) x f x 其他 ，其中是未知参数(01)k 1 ，记为样本值x， 2 x， n x 中小于 1 的个数，试求：(1)的矩估计量；(2) 的极大似然估计量。 7. 已知某厂生产一批某种型号的汽车蓄电池，由以往的经验知其寿命X(单位：年)近似服 从正态分布。现从中任意取出 13 个蓄电池，计算得样本均方差为，取显 著性水平 2 ( ,0.8 )N 0.10 0.92s ，试问这批蓄电池寿命的方差是否有明显改变？ ( 2 0.1 2(12) 21.026， 2 1 0.1 2(12) 5.226) 江汉大学 20122013 学年第 二 学期 江汉大学 20122013 学年第 二 学期 试卷评分参考答案（A 卷） 课程编号： 410801009 课程名称： 概率论与数理统计（理） 一、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 0.4，0.2 2. 1 3 p 3. 6，6，5 4. 0.4，0.8， 0, 1 0.2, 12 0.6, 23 1, 3 x x x x 5. 1 2 二、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） B B D C C 三三、计算题（本大题共 7 小题，每题 10 分，共 70 分） 1 解 设选出的枪是经试射校正过的，AB 射击中靶 ， 则由题设条件知( )5 8P A ， ( )3 8P A，(|)0.8P B A(|)0.3P B A.故由 Bayes 公式可所求概率为 5 分 5 0.8 ( ) ( ) 8 (|)0.8163 53 ( ) (|)( ) (|) 0.80.3 88 P A P B P A B P A P B AP A P B A X y 10 分 2解 因为的分布函数为 lnY ( )ln() y YX FyP YyPXyP XeFe 5 分 故Y的概率密度为ln X 2 2 ( )(), (1) y yy YX y e fyfeey e 10 分 3解 (1)X的边缘概率密度为 2 2 0 1 ()2 (), 0 ( )( , )33 0, X xy 1xdyx xx fxf x y dy 其他 Y的边缘概率密度为 1 2 0 1 ()(1), 0 ( )( , )332 0, Y xyy xdxy fyf x y dx 2 其他 4 分 (2)因为( , )( )( ) XY f x yfx fy，故,X Y不是相互独立的. 5 分 (3)所求的概率为： 121 22 1 010 1 01 02 1 22 0 1( , )()()| 33 111165 (1)4(1) (2) 634612 x x xy x y xyxy P XYf x y dxdydxxdyxdx x xxxdx 2 72 10 分 4解： 2 2 1 ()( )cos0 2 E Xxf x dxxxdx 3 分 22222 2222 0 00 2 1 ()( )coscossin|2sin 2 E Xx f x dxxxdxxxdxxxxxdx 2 22 222 0 0 ()2 cos |2cos()2sin|2 22 xxxdxx 0 4 7 分 22 22 ()() ()202 44 D XE XE X 10 分 5解 设需设个座位，令，则有 n100X名住校生中去图书馆自习的人数 (100,0.8)XB，且，()1000.8E X()100 0.8 0.2D X. 3 分 利用隶莫佛拉普拉斯中心极限定理得 1000.81000.8 1000.8 0.21000.8 0.2 1000.880 ()()0.99 41000.8 0.2 Xn P XnP nn 7 分 查表得 80 2.33 4 n ，即，所以该图书馆至少应设 90 个座位. 10 分 89.32n 6解