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湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 第六章 常微分方程初值问题的数值解法 自测题及答案 1 .欧拉法的局部截断误差的阶为 。 改进欧拉法的局部截断误差的阶为 。 三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。 四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。 2. 欧拉法的绝对稳定实区域为 。 二阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。 三阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。 四阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。 3. 求解初值问题的欧拉法的局部截断误差是( ); yxy yxfy )( ),( 改进欧拉法的局部截断误差是( ); 三阶龙格库塔法的局部截断误差是( ); 四阶龙格库塔法的局部截断误差是( ). (A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5) 4初值问题 00 ( , ) () yf x y y xy 的下列数值方法中，( )的局部截断误差为. 3 ()O h (A) 欧拉法； (B) 改进欧拉法； (C) 三阶龙格库塔法； (D) 四阶龙格库塔法 答案答案：(B) 5. 改进欧拉法的平均形式公式是( ) .(A) )( ),( ),( cpk pkkc kkkp yyy yxhfyy yxhfyy (B) )( ),( ),( cpk pkkc kkkp yyy yxhfyy yxhfyy (C) )( ),( ),( cpk pkkc kkkp yy h y yxhfyy yxhfyy (D) )( ),( ),( cpk pkkc kkkp yyy yxhfyy yxhfyy 答案答案：(D) 1 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 6. 对Euler公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。 解：解：其局部截断为 1n T)(,()()( 1nnnn xyxhfxyxy 对 )( 1n xy 在 n x处作Talor展开，有 )()( 2 )()()( 3 2 1 hOxy h xyhxyxy nnnn 而且，因此其局部截断为 )(,()( nnn xyxfxy (,()() nnn xyxhfxy)( 11nn xyT )()( 2 )()( 3 2 hOxy h xyhxy nnn )()( nn xyhxy )()( 2 3 2 hOxy h n )( 2 hO )( 2 2 n xy h 所以，显式Euler方法是1阶方法，其截断误差的主项是。 .对隐式Euler公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。 7 解：解：其局部截断为 1 n T)(,()()( 111 nnnn xyxhfxyxy 对 )( 1n xy 在 n x处作Talor展开，有 )()( 2 )()()( 3 2 1 hOxy h xyhxyxy nnnn 而且，也在处作Talor展开，有 ) )(,()( 111 nnn xyxfxy n x ()() 2 111 (, ()()( nnnnn f xy xh y xy xhyxO 所以，因此其局部截断为 ()( )(,() 1111 nnn xyxyT nn xyxhf )()( 2 )()( 3 2 hOxy h xyhxy nnn )()()()( 32 hOxyhxyhxy nnn )()( 2 3 2 hOxy h n )( 2 hO )( 2 2 n xy h 所以，隐式Euler方法也是1阶方法，其截断误差的主项是。 .对梯形公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法. 8 解：解：其局部截断为 )(,()(,( 2 )()( 1111 nnnnnnn xyxfxyxf h xyxyT 对在处作Talor展开，有 )( 1n xy n x )()( 6 )( 2 )()()( 4 32 1 hOxy h xy h xyhxyxy nnnnn 而且， )(,()( nnn xyxfxy)(,()( 111 nnn xyxfxy 对 y lor)( 1n x 也在处作Ta展开，有 n x 2 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 )()( 2 )()()( 3 2 1 hOxy h xyhxyxy nnnn 所以，因此其局部截断为 )(,()(,( 2 )()( 1111 nnnnnnn xyxfxyxf h xyxyT )()( 6 )( 2 )()( 4 32 hOxy h xy h xyhxy nnnn )()( 12 )( 2 )( 2 )( 2 )( 4 32 hOxy h xy h xy h xy h xy nnnnn )()( 12 4 3 hOxy h n )( 3 hO 所以，梯形公式是2阶方法，其截断误差的主项是 3 () 12 n h yx 9.对改进改进Eluer公式推导局部截断误差, 并指出该方法是几阶方法. 解解: 改进欧拉公式为 ) ,(),( 2 ),( 111 1 iiiiii iiii yxfyxf h yy yxhfyy 由于讨论的是局部截断误差，因而可设 )( ii xyy 又 ，,故有 ( , )yf x y ( , )( , ) xy yfx yy fx y )()(,(),( 11iiiii xyhxyhxfyxf = )()(,( 2 )(,( hOfyhhfxyxf ii xyxyxii 所以)()( 2 )()( 3 2 1 hOxy h xyhxyy iiii 而原方程的解连续可微，有 )()( 2 )()()()( 3 2 1 hOxy h xyhxyhxyxy iiiii 通过比较，两式中的次数低于三次的项相同，而三次项不相同，因而 h ) ()( 3 11 hOyxy ii 即改进欧拉公式的局部阶段误差为. )( 3 hO 所以，改进欧拉改进欧拉公式是2阶方法 10.用欧拉法解初值问题，取步长h=0.2.计算中保留4位小数. )( ).( y xxyyy 解解: h=0.2, f(x)=yxy2. 首先建立欧拉迭代公式 )2 , 1 , 0)(4(2 . 0 ),( 2 1 kyxy yhxhyyyxhfyy kkk kkkkkkkk 当k=0时， x0=0, y0=1，x1=0.2，有 y(x1)=y(0.2)y1=0.21(401)0.800 0 当k1时，x1=0.2, y1=0.8，x2=0.4，有 3 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 y(x2)=y(0.4)y2=0.20.8(40.20.8)0.614 4 当k=2时，x2=0.4, y2=0.614 4，x3=0.6，有 y(x3)=y(0.6)y3=0.20.614 4(40.40.4613)0.800 0 11.用欧拉预报校正公式求解初值问题，取步长h=0.2,计算 y(1.2), y(1.4)的近似值，计算过程保留5位小数.l )( sin y xyyy 解解 步长h=0.2, 此时f(x,y)=yy2sinx. 欧拉预报校正公式为： ),(),( 2 ),( 111 1 kkkkkk kkkk yxfyxf h yy yxhfyy 校正值 预报值 有迭代公式： )sin( 1 . 0)sin1 . 09 . 0( )sin()sin( 2 )sin2 . 08 . 0( )sin( 1 2 11 1 2 11 2 1 2 1 kkkkkk kkkkkkkk kkk kkkkk xyyxyy xyyxyy h yy xyy xyyhyy 校正值 预报值 当k=0时，x0=1, y0=1，x1=1.2，有 .)sin.()sin(xyyy .).sin(.)sin().(yy 当k=1时， x1=1.2, y1=0.71549，x2=1.4，有 . ).sin(.)sin(xyyy ).sin(.).sin.(. ).( yy =0.52608 12.用改进的欧拉法平均公式，取步长h=0.1，求解初值问题 1)0( )2 . 00( y xyxy 计算过程保留4位小数. 解解 首先建立迭代格式： 4 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 kkkcpk kkkpkkc kkkkkp y h hhxxhhyyy xhhxhhyyxhfyy hyhxyxhfyy ) 2 1 ()1 ( 2 1 2 1 )1 (),( )1 (),( 2 11 2 1 2 1 当k=0时，x0=0,y0=1,x1=0.1,有 11. 11) 2 1 . 0 1 . 01 ( 1 . 01 . 00) 1 . 01 (1 . 0 2 1 2 1 y 当k=1时，x1=0.1, y1=1.11, x2=0.2,有 1242. 111. 1) 2 1 . 0 1 . 01 (2 . 01 . 01 . 0) 1 . 01 (1 . 0 2 1 2 2 y 13. 取步长为0.1，试用欧拉公式求解常微分方程初值问题 1)0( 1 y yxy 在x=0.4处的近似值(计算过程保留3位小数)； 解: 欧拉公式为: ) 1( 1 iiii yxhyy,计算结果为： i x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 i y 1.000 1.000 1.010 1.031 1.064 14. 取步长取步长，用预估-校正法解常微分方程初值问题 2 . 0h 1)0( 32 y yxy ) 10( x 解： )32()32(1 . 0 )32(2 . 0 )0( 111 )0( 1 nnnnnn nnnn yxyxyy yxyy 即 04 . 0 78. 152. 0 1 nnn yxy n 0 1 2 3 4 5 n x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 n y 1 1.82 5.8796 10.7137 19.4224 35.0279 15.用欧拉法，预估用欧拉法，预估校正法求一阶微分方程初值问题校正法求一阶微分方程初值问题 1)0(y yxy ，在0x（0.1）0.2近似解 解 （1）用欧拉法计算公式 1 . 0h nnnnnn xyyxyy1 . 09 . 0)( 1 . 0 1 ， 0,1n 计算得 9 . 0 1 y 82. 01 . 01 . 09 . 09 . 0 2 y （2）用预估校正法计算公式 5 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 1 , 0 )(05. 0 1 . 09 . 0 )0( 111 )0( 1 n yxyxyy xyy nnnnnn nnn 计算得 91. 0 1 y， 83805. 0 2 y 16. 取步长，写出用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题的计算公式： 0.2h 3 , 01;,01; (1) (1)(2) (0)1; (0)1. y yxyxyx x y y 1 211 322 433 1 (,) (,)1.1()0.1 2222 (,)1.11()0.11 2222 (,)1.222( nnnn nnnnnn nnnnnn nnnn kf xyxy hhhh kf xykxykxy hhhh kf xykxykxy kf xh yhkxhyhkx 解： （） 11234 1 21 32 43 11234 )0.222 (22)0.22141.22140.0214 6 2 3/ (1) 3(0.1 ) / (10.1) 3(0.1) / (10.1) 3(0.2) / (10.2) 0.2 (22). 6 nn nnnn nn nn nn nn nn y h yykkkkxy kyx kykx kykx kykx yykkkk （ ） 17. 对初值问题 1)0( 1 y y dx dy ，取步长1 . 0h ) 1 . 0(y ，用经典的四阶龙格-库塔法求的值. 解： 经典的四阶龙格-库塔法公式为 ),( ) 2 , 2 ( ) 2 , 2 ( ),( 22 6 34 23 12 1 43211 hkyhxfk k h y h xfk k h y h xfk yxfk kkkk h yy nn nn nn nn nn 将 , , 1 . 0h 001 0,1,0.1xyx( , )1f x yy 代入上式，得 6 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 10 201 302 203 10 10 2 10 2 10 ky h kyk h kyk kyhk 所以， 10 (0.1)1yyy 18. 证明对任意参数 ，下列龙格库塔公式是二阶的： t 123 1 21 31 (); 2 (,); (,); (1) ,(1) nn nn nn nn h yyKK Kf xy Kf xth ythK Kf xt h yt hK . 2 3 1 123 2 () ()()()(, ()(, () (, () 23 ()( (,)(,) 22 (,)(,)()( (,)(, n nnnxnnynnnn nnnnnxnn ynnnnnnxnn yh y xy xhy xfxy xfxy xf xy xh hh yyKKyf xyfxy th fxy thf xyO hf xyfxy 证：由一元函数的泰勒展开有 又由二元函数的泰勒展开有 ! 2 2 3 2 3 1 1 )(1)(,)(1)(,)() (,)(,)(,) (,)() 2 (), (, ()(, ()(, () (, ()() 2 () ynnnn nnnxnnynnnn nn nnnnxnnynnnn nn t hfxyt hf xyO h h yhf xyfxyfxyf xyO h yy x h yyhf xy xfxy xfxy xf xy xO h y xy 为考虑局部截断误差，设上式有 比较与 3 1111 ()() nnn Ry xyO h t 两式，知其局部误差为 故对任意参数 ，公式是二阶的。 19.已知一阶初值问题已知一阶初值问题，求使欧拉法绝对稳定的步长h值。 1)0( 5 y yy 解：由欧拉法公式 1 ( ,) iiii yyhf x y ，得 1 (5)(1 5 ) nnnn yyhyh y nn yhy )51 ( 1 相减得 01 )51 ()51 (ehehe n nn 当 151 h ，即时，有4 . 00 h 0 een 欧拉法绝对稳定。 7 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 20. 试用试验方程yy（为常数，可以取复数）分析Euler方法、隐式隐式Euler方法、 梯形方法、改进的 方法、 梯形方法、改进的Euler方法方法的绝对稳定性. 解： Euler方法的绝对稳定性方法的绝对稳定性 1 (,) nnnnnn yyhf xyyh y nnnnnnn yhyhyyxhfyy) 1(),( 1 )1 ( 11 hyy nn 当满足h 11h ，Euler方法绝对稳定。 所以Euler方法绝对稳定的区域为： 11 zz 绝对稳定区间为 )0