山东省济南市历城区2016届九年级上期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 31 页） 2015年山东省济南市历城区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共 15 个小题，每小题 3 分，共 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1正方形的边长是 1，它的对角线长为（ ） A 1 B 2 C D 3 2如图，反比例函数 y= （ x 0）的图象经过点 P，若矩形的面积是 6，则 k 的值为（ ） A 6 B 5 C 6 D 5 3如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（ ） A B C D 4若线段 ，点 C 是 黄金分割点，且 ） A 1 B 2 C D 5用配方法解方程 2x 1=0 时，配方后得的方程为（ ） A（ x+1） 2=0 B（ x 1） 2=0 C（ x+1） 2=2 D（ x 1） 2=2 6从 2， 3， 4， 5 中任意选两个数，记作 a 和 b，那么点（ a， b）在函数 y= 图象上的概率是（ ） A B C D 第 2 页（共 31 页） 7顺次连接矩形 边中点，所得四边形必定是（ ） A邻边不等的平行四边形 B矩形 C正方形 D菱形 8某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 560 元降为 315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价 的百分率设每次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是（ ） A 560（ 1+x） 2=315 B 560（ 1 x） 2=315 C 560（ 1 2x） 2=315 D 560（ 1 =315 9某一时刻甲、乙两木杆的影子长分别是 2 米和 3 米，已知乙杆的高度是 甲杆的高度是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10若点（ （ （ 是反比例函数 y= 图象上的点，并且0 下列各式中正 确的是（ ） A 1如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 较 大小（ ） A 2 D不能确定 12如图，平行四边形 ， M 是 中点，且 ， 2， 0，则 面积是（ ） A 30 B 36 C 54 D 72 13如图，在 ， ， ， 0， P 为边 一动点（且点 P 不与点 B、 C 重合）， E， F则 最小值为（ ） 第 3 页（共 31 页） A 4 B 6 14如图，已知 A、 B 是反比例函数 y= （ k 0， x 0）图象上的两点， y 轴于点 C，动点 P 纵坐标原点 O 出发，沿 OABC 匀速运动，终点为 C， 过点 P 作 x 轴， y 轴，垂足分别为 M、 N设四边形 面积为 S，点 P 运动的时间为 t，则 S 关于 t 的函数图象大致为（ ） A B C D 15如图，已知 面积为 1， 斜边 中点，过 11，连接 2；过 接 ，如此继续，可以依次得到点 ， 别记 ， 面积为 于（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分把答案填在题中的横第 4 页（共 31 页） 线上） 16在平面直角坐标系中，反比例函数 y= 图象的两支分别在 象限 17一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子 6 颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在 右，则盒子中黑珠子可能有 颗 18菱形的两条对 角线长分别是方程 14x+48=0 的两实根，则菱形的面积为 19如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙 顶端 C 处，已知 得 米， 米， 0 米，那么该古城墙的高度 米 20如图， ， D， E 是 中点若 ， ，则 长等于 21如图，在菱形 菱形 ，点 A、 B、 E 在同一直线上， P 是线段中点，连接 0， ， ，则 长度 = 三、解答题 22解下列一元二次方程： 第 5 页（共 31 页） （ 1） 2x=3 （ 3） x+1 23如图，四边形 矩形，把矩形沿对角线 叠，点 B 落在点 E 处， 交于点 O （ 1）求证： O； （ 2）若 0， ，求 面积 24如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用 25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80 25用 4 张相同的小纸条做成甲、乙、丙、丁 4 支签，放在一个盒子中，搅匀后先从盒子中任意抽出 1 支签（不放回），再从剩余的 3 支签中任 意抽出 1 支签 （ 1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果； （ 2）求抽出的两支签中， 1 支为甲签、 1 支为丁签的概率 26已知反比例函数 的图象与一次函数 x+b 的图象交于点 A（ 1， 4）和点 B（ m， 2） （ 1）求 k， b 及 m 的值； （ 2）观察图象，直接写出 自变量 x 的取值范围； （ 3）若点 C（ 4， n）在反比例函数的图象上，求 面积 第 6 页（共 31 页） 27探究问题： （ 1）方 法感悟： 如图 ，在正方形 ，点 E， F 分别为 上的点，且满足 5，连接 证 F= 感悟解题方法，并完成下列填空： 将 点 A 顺时针旋转 90得到 时 合，由旋转可得： D， E， 1= 2， D=90， 0+90=180， 因此，点 G， B， F 在同一条直线上 5 2+ 3= 0 45=45 1= 2， 1+ 3=45 即 又 E， F = F= （ 2）方法迁移： 如图 ，将 斜边翻折得到 E， F 分别为 上的点，且 猜想 间有何数量关系，并证明你的猜想 （ 3）问题拓展： 如图 ，在四边形 ， D， E， F 分别为 的点，满足 猜想当 B 与 D 满足什么关系时，可使得 F=直接写出你的猜想（不必说明理由） 第 7 页（共 31 页） 28如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 边 别与 x 轴、 0， 5， ，点 C 的坐标为（ 18， 0） （ 1）求点 B 的坐标； （ 2）若直线 梯形对角线 点 D，交 y 轴于点 E，且 ， 直线 解析式； （ 3）若点 P 是（ 2） 中直线 的一个动点，是否存在点 P，使以 O、 E、 P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 8 页（共 31 页） 2015年山东省济南市历城区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 15 个小题，每小题 3 分，共 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1正方形的边长是 1，它的对角线长为（ ） A 1 B 2 C D 3 【考点】 正方形的性质 【分析】 根据正方形的对角线等于边长的 倍解答 【解答】 解： 正方形的边长是 1， 它的对角线长 =1 = 故选 C 2如图，反比例函数 y= （ x 0）的图象经过点 P，若矩形的面积是 6，则 k 的值为（ ） A 6 B 5 C 6 D 5 【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】 根据矩形 面积为 6，得出 |k|=6，再根据反比例函数的图象得出k 0，从而求出 k 的值 【解答】 解： 矩形 面积为 6， |k|=6， 反比例函数 y 第 9 页（共 31 页） = （ x 0）的图象过第二象限， k 0， k= 6； 故选 A 3如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（ ） A B C D 【考点】 简单组合体的三视图 【分析】 根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案 【解答】 解：从上面看外边是一个矩形，里面是一个圆， 故选： C 4若线段 ，点 C 是 黄金分割点，且 ） A 1 B 2 C D 【考点】 黄金分割 【分析】 根据黄金分割的定义得到 代入计算即可 【解答】 解：解： 点 C 是线段 黄金分割点（ 而 ， 1= 故选 C 第 10 页（共 31 页） 5用配方法解方程 2x 1=0 时，配方后得的方程为（ ） A（ x+1） 2=0 B（ x 1） 2=0 C（ x+1） 2=2 D（ x 1） 2=2 【考点】 解一元二次方程配方法 【分析】 在本题中，把常数项 1 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 2 的一半的平方 【解答】 解：把方程 2x 1=0 的常数项移到等号的右边， 得到 2x=1， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 2x+1=1+1 配方得（ x 1） 2=2 故选 D 6从 2， 3， 4， 5 中任意选两个数，记作 a 和 b，那么点（ a， b）在函数 y= 图象上的概率是（ ） A B C D 【考点】 列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（ a，b）在函数 y= 图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】 解：画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，点（ a， b）在函数 y= 图象上的有（ 3， 4），（ 4， 3）； 点（ a， b）在函数 y= 图象上的概率是： = 故选 D 7顺次连接矩形 边中点，所得四边形必定是（ ） A邻边不等的平行四边形 B矩形 C正方形 D菱形 第 11 页（共 31 页） 【考点】 中点四边形 【分析】 作出图形，根据三角形的中位线定理可得 H= H= 根据矩形的对角线相等可得 D，从而得到四边形 四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答 【解答】 解：如图，连接 E、 F、 G、 H 分别是矩形 上的中点， H= H= 角形的中位线等于第三边的一半）， 矩形 对角线 D， H=H， 四边形 菱形 故选： D 8某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 560 元降为 315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是（ ） A 560（ 1+x） 2=315 B 560（ 1 x） 2=315 C 560（ 1 2x） 2=315 D 560（ 1 =315 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】 设每次降价的百分率为 x，根据降价后的价格 =降价前的价格（ 1降价的百分率） ，则第一次降价后的价格是 560（ 1 x），第二次后的价格是 560（ 1 x） 2，据此即可列方程求解 【解答】 解：设每次降价的百分率为 x，由题意得： 560（ 1 x） 2=315， 故选： B 第 12 页（共 31 页） 9某一时刻甲、乙两木杆的影子长分别是 2 米和 3 米，已知乙杆的高度是 甲杆的高度是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 相似三角形的应用 【分析】 设甲杆的高度为 用在同一时刻物高与影长的比相等得 = ，然后解方程即可 【解答】 解：设甲杆的高度为 根据题意得 = ，解得 x=1， 即甲杆的高度是 1m 故选 A 10若点（ （ （ 是反比例函数 y= 图象上的点，并且0 下列各式中正确的是（ ） A 考点】 反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】 由三点均在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征可得出 ， ， ，再根据 0 可得出结论 【解答】 解：点（ （ （ 是反比例函数 y= 图象上的 点， x1y1=x2y2=x3， ， ， 0 0 ， 故选 B 第 13 页（共 31 页） 11如图，边长为 6 的 大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 较 大小（ ） A 2 D不能确定 【考点】 相似三角形的判定与性质；正方形的性质 【分析】 由图可得， 边长为 3，由 G= 得 D=2， ；再分别算出 面积，即可解答 【解答】 解：如图， 设正方形 边长为 x， 为等腰直角三角形， H， G， D=90， = ，即 理可得： G= H+， =2， 2+22，即 ； 面积为 ； 5， O， N， B， M 为 中点， 边长为 3， 面积为 3 3=9， 故选 B 第 14 页（共 31 页） 12如图，平行四边形 ， M 是 中点，且 ， 2， 0，则 面积是（ ） A 30 B 36 C 54 D 72 【考点】 平行四边形的性质；三角形的面积；勾股定理的逆定理 【分析】 求 面积，就需求出 上的高，可过 D 作 ，那么四边形 是平行四边形，则 E；在 ，三角形的三边长正 好符合勾股定理的逆定理，因此 直角三角形；可过 D 作 F，根据三角形面积的不同表示方法，可求出 长，也就求出了 此可求出四边形 面积 【解答】 解：作 延长线于 E，则 平行四边形， M=9， D=10， 又由题意可得， ，则 5， 在 ， 44+81=225= 直角三角形，且 0， 过 D 作 F， 则 = ， SC0 =72 第 15 页（共 31 页） 故选 D 13如图，在 ， ， ， 0， P 为边 一动点（且点 P 不与点 B、 C 重合）， E， F则 最小值为（ ） A 4 B 6 【考点】 矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理 【分析】 先由矩形的判定定理推知四边形 矩形；连接 F，所以要使 短，只需 可；然后根据三角形的等积转换即可求得 值 【解答】 解：如图，连接 在 ， ， ， 0， A=90 又 点 E， 点 F 0， 四边形 矩形 F 当 小时， 最小， 即当 ， 小， C= P，即 = = 线段 的最小值为 故选： B 第 16 页（共 31 页） 14如图，已知 A、 B 是反比例函数 y= （ k 0， x 0）图象上的两点， y 轴于点 C，动点 P 纵坐标原点 O 出发，沿 OABC 匀速运动，终点为 C，过点 P 作 x 轴， y 轴，垂足分别为 M、 N设四边形 面积为 S，点 P 运动的时间为 t，则 S 关于 t 的函数图象大致为（ ） A B C D 【考点】 动点问题的函数图象 【分析】 通过两段的判断即可得出答案， 点 时四边形 以排除 B、 D； 点 P 在 运动时， S 减小， S 与 t 的关系为一次函数，从而排除 C 【解答】 解： 点 P 在 运动时，此时四边形 面积 S=K，保持不变，故排除 B、 D； 点 P 在 运动时，设路线 OABC 的总路程为 l，点 P 的速度为 a，则S=C （ l 因为 l， a 均是常数， 所以 S 与 t 成一次函数关系故排除 C 故选 A 15如图，已知 面积为 1， 斜边 中点，过 17 页（共 31 页） 于 接 2；过 接 ，如此继续，可以依次得到点 ， 别记 ， 面积为 于（ ） A B C D 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质解答即可 【解答】 解：由题意得： 底同高，面积相等，以此类推； 根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知 ： 在 ， 其重心， S ： 3， ： 2， ， 3： 4， S S ； 故选： A 二、填空题（本大题 共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分把答案填在题中的横线上） 第 18 页（共 31 页） 16在平面直角坐标系中，反比例函数 y= 图象的两支分别在 二、四 象限 【考点】 反比例函数的性质 【分析】 直接根据反比例函数的图象与系数的关系进行解答即可 【解答】 解： 反比例函数 y= 中 k= 3 0， 此函数的图象经过二、四象限 故答案为：二、四 17一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子 6 颗和黑珠子若干颗， 每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在 右，则盒子中黑珠子可能有 14 颗 【考点】 利用频率估计概率 【分析】 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解 【解答】 解：由题意可得， ， 解得 n=14 故估计盒子中黑珠子大约有 14 个 故答案为： 14 18菱形的两条对角线长分别是方程 14x+48=0 的两实根，则菱形的面积为 24 【 考点】 菱形的性质；根与系数的关系 【分析】 先解出方程的解，根据菱形面积为对角线乘积的一半，可求出结果 【解答】 解： 14x+48=0 x=6 或 x=8 所以菱形的面积为：（ 6 8） 2=24 菱形的面积为： 24 故答案为： 24 第 19 页（共 31 页） 19如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙 顶端 C 处，已知 得 米， 米， 0 米，那么该古城墙的高度 5 米 【考点】 相似三角形的应用 【分析】 首先证明 得 = ，再代入相应数据可得答案 【解答】 解：由题意可得： 0， = ， 米， 米， 0 米， = ， ， 故答案为： 5 20如图， ， D， E 是 中点若 ， ，则 长等于 8 【考点】 勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【分析】 由 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ”求得 0；然后在第 20 页（共 31 页） 直角 ，利用勾 股定理来求线段 长度即可 【解答】 解：如图， ， D， E 是 中点， ， ， 0 在直角 ， 0， ， 0，则根据勾股定理，得 = =8 故答案是： 8 21如图，在菱形 菱形 ，点 A、 B、 E 在同一直线上， P 是线段中 点，连接 0， ， ，则 长度 = 【考点】 菱形的性质 【分析】 延长 H，由菱形的性质得出 D=，F=，由 明 出对应边相等 G， G，得出 G，再根据等腰三角形三线合一的性质得出 120=60，得出 0，求出 出 可 【解答】 解：延长 H，如图所示： 四边形 四边形 菱形， D=， F=， P 是线段 中点， F， 在 ， ， 第 21 页（共 31 页） G， G=1， D 1=2， C 1=2， G， 0， 80 60=120， 120=60， 0， ， ； 故答案为： 三、解答题 22解下列一元二次方程： （ 1） 2x=3 （ 3） x+1 【考点】 解一元二次方程配方法 【分析】 （ 1）两边都加上 1 配成完全平方式，再开平方即可得出答案； （ 2）一次项移到方程的左边，两边都加上 1 配成完全平方式，然后开平方即可得出答案 【解答】 解：（ 1） 2x+1=3+1，即（ x 1） 2=4， x 1=2 或 x 1= 2， 解得： ， 1； 第 22 页（共 31 页） （ 2） 2x=1， 2x+1=1+1，即（ x 1） 2=2， 则 x 1= ， x=1 ， 即 + ， 23如图，四边形 矩形，把矩形沿对角线 叠，点 B 落在点 E 处， 交于点 O （ 1）求证： O； （ 2）若 0， ，求 面积 【考点】 翻折变换（折叠问题）；矩形的性质 【分析】 （ 1）根据翻折的性质和矩形的性质可得 D， E= D=90，再根据对顶角相等可得 后利用 “角角边 ”证明 等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （ 2）根据含 30角的直角三角形的特点求出 求出 C，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解 【解答】 （ 1）证明：由题可得： D， E= D=90， 又 顶角相等）， O； （ 2）解： ， ， 0， ， ， 第 23 页（共 31 页） D， O， C=2， S 2 = 24如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用 25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80 【考点】 一元二次方程的应用 【分析】 设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 以得出平行于墙的一边的长为（ 25 2x+1） m根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了 【解答】 解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 以得出平行于墙的一边的长为（ 25 2x+1） m，由题意得 x（ 25 2x+1） =80， 化简，得 13x+40=0， 解得： ， ， 当 x=5 时， 26 2x=16 12（舍去），当 x=8 时， 26 2x=10 12， 答：所围矩形猪舍的长为 10m、宽为 8m 25用 4 张相同的小纸条做成甲、乙、丙、丁 4 支签，放在一个盒子中，搅匀后先从盒子中任意抽出 1 支签（不放回），再从剩余的 3 支签中任意抽出 1 支签 （ 1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果； （ 2）求抽出的两支签中， 1 支为甲签、 1 支为丁签的概率 【考点】 列表 法与树状图法 【分析】 （ 1）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来即可； （ 2）根据列表得到所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可 【解答】 解：（ 1）画树状图，如图所示： 第 24 页（共 31 页） （ 2）所有等可能的情况有 12 种，其中 1 支为甲签、 1 支为丁签的情况有 2 种， 故 P（ 1 支为甲签、 1 支为丁签） = = 26已知反比例函数 的图象与一次函数 x+b 的图象交于点 A（ 1， 4）和点 B（ m， 2） （ 1）求 k， b 及 m 的值； （ 2）观察图象，直接写出 自变量 x 的取值范围； （ 3）若点 C（ 4， n）在反比例函数的图象上，求 面积 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （ 1）由点 A 的坐标利用待定系数法即可求出 k、 b 的值，再由点 B 的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 m 值； （ 2）根据两函数图象的上下位 置关系即可找出 自变量 x 的取值范围； （ 3）由点 C 的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点 C 的坐标，过点 C 作 x 轴，交直线 点 D，根据点 D 的纵坐标利用一次函数图象上点的坐标特即可求出点 D 的坐标，根据 S 可求出 面积 【解答】 解：（ 1） 点 A（ 1， 4）在 的图象上， 4= ， k=4； 第 25 页（共 31 页） 点 A（ 1， 4）在 x+b 的图象上， 4=2 1+b， b=2； 点 B（ m， 2）在 的图象上， m= = 2 （ 2）观察函数图象可知：当 0 x 1 或 x 2 时，反比例函数图象在一次函数图象上方， 当 0 x 1 或 x 2 时， 立 （ 3）在 中令 x=4 可得 y=1， 点 C（ 4， 1） 过点 C 作 x 轴，交直线 点 D，如图所示 在 x+2 中令 y=1 得 x= ， D（ ， 1）， （ ） = S 3+ 5=18 27探究问题： （ 1）方法感悟： 如图 ，在正方形 ，点 E， F 分别为 上的点，且满足 5，连接 证 F= 感悟解题方法，并完成下列填空： 第 26 页（共 31 页） 将 点 A 顺时针旋转 90得到 时 合，由旋转可得： D， E， 1= 2， D=90， 0+90=180， 因此，点 G， B， F 在同一条直线上 5 2+ 3= 0 45=45 1= 2， 1+ 3=45 即 又 E， F F= （ 2）方法迁移： 如图 ，将 斜边翻折得到 E， F 分别为 上的点，且 猜想 间有何数量关系，并证明你的猜想 （ 3）问题拓展： 如图 ，在四边形 ， D， E， F 分别为 的点，满足 猜想当 B 与 D 满足什么关系时，可使得 F=直接写出你的猜想（不必说明理由） 【考点】 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质 【分析】 （ 1）利用角之间的等量代换得出 利用 出 出答案； （ 2）作出 4= 1，利 用已知得出 证明 可得出答案； （ 3）根据角之间关系，只要满足 B+ D=180时，就可