分式知识点总结和练习题讲义

左岸专修学校 1 分式知识点总结和练习题讲义 第一讲 分式的运算 【知识要点】 通分与约分 ) 【主要公式】 0b c b c aa a a 0 , 0b d b c d a b c d a c a c a c a c ; b d c , b c b d b da d a c a c （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查 分式的定义 : 一般地，如果 A， B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子A 为分子，B 为分母。 【例 1】下列代数式中：1,21, 22 ，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为 0（ 0B ） 分式无意义：分母为 0（ 0B ） 【例 1】当 x 有何值时， 下列分式有意 义 （ 1）442）232x x（ 3）122x（ 4）3|6 x x（ 5）型三：考查分式的值为 0 的条件 分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（00 【例 1】当 x 取何值时，下列分式的值为 0. （ 1）312）42| 23）65 3222 xx 2 【例 2】 当 x 为何值时，下列分式的值为零： （ 1）4 |1|5 x x（ 2）562522xx 查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于 0：分子分母同号（0000 分式值为负或小于 0：分子分母异号（0000 【例 1】（ 1）当 x 为何值时，分式x84为正； (2)当 x 为何值时，分式2)1(3 5 x （ 3） 当 x 为何值 时，分式32 【例 2】 解下列不等式 （ 1） 012| 2）032 52 xx ：考查分式的值为 1， 条件 分式值为 1：分子分母值相等（ A=B） 分式值为 子分母值互为相反数（ A+B=0） 【例 1】 若22| ， x 的取值 分别 为 左岸专修学校 3 思维拓展练习题： 1、 若 ab0, 2a 2b 6,则 2、 一组按规律排列的分式：2 5 8 1 12 3 4, , , ,b b b ba a a a （ 0），则第 n 个分式为 3、 已知 2 3 1 0 ，求 2 21x x 的值。 4、 已知 22 2 4 5 0 ,x y x y 求分式值。 （二）分式的基本性质及有关题型 1分式的基本性质：2分式的变号法则：题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数 . （ 1） （ 2）ba 数的系数变号 【例 1】不改变 分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号 . （ 1）yx （ 2）ba a（ 3）题型三：化简求值题 【例 1】已知：511 2 232的值 . 左岸专修学校 4 【例 2】已知： 21 22 1的值 . 【例 3】若 0)32(|1| 2 求4 1的值 . 【例 4】 已知： 311 232的值 . 【例 5】 若 01062 22 求ba 32 的值 . 【例 6】 如果 21 x ，试化简2 |2| |1| 1 . 思维拓展练习题 1、 对于任何非零实数 a,b,定义运算“ * ”如下： a * b , 求2*1+3*2+ +10*9 的值 2、 已知 0,2 3 4x y z 求代数式2x y zx y z的值 3、 （三） 分式的运算 分式的乘除法法则： 乘法分式 式子表示为：db 除法分式 式子表示为： b 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为： 分式的加减法则：c 5 异分母分式加减法：式子表示为：bd 以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为 1 的分式，再通分。 题型一：通分 1系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数 . 2取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式 . 3如果分母是多项式 ,则应先把每个分母分解因式 ,然后判断最简公分母 . 【例 1】将下列各式分别通分 . （ 1）2 5,3,2 ； （ 2）ab a 22, ； （ 3）22,21,1 222 （ 4） 2 1,2题型二：约分 分式的分子与分母 均为单项式 时可 直接约分 ，约去分子、分母 系数 的最大公约数，然后约去分子分母 相同因式 的最低次幂。 分子分母若 为多项式 ， 先 对分子分母进行 因式分解 ，再约分。 【例 2】约分 ： （ 1）322016； （ 2） nm 22 ； （ 3） 6222 xx 题型三：分式的混合运算 【例 3】计 算： （ 1） 42232 )()()(； （ 2）22233 )()()3( xy a ； 左岸专修学校 6 （ 3）mn 22； （ 4） 112 （ 5）87432 1 81 41 21 11 1 ； （ 6）)5)(3( 1)3)(1( 1)1)(1( 1 （ 7） )12()2144 4(222 x 简求值题 【例 4】先化简后求值 （ 1） 已知： 1x ，求分子 )121()14 4(48122 的值； （ 2） 已知：432 ，求222 32 的值； （ 3） 已知： 0132 试求)1)(1( 22 的值 . 题型五：求待定字母的值 【例 5】若11131 2 x x，试求 的值 . 左岸专修学校 7 思维拓展练习题： 1、 某工厂通过改造设备，平均每天节约用煤 15 ，那么相同数量的煤，现在使用的天数是原来的几倍？ 2、 若非零实数 a,b 满足 221 04a a b b ，则 3、 若27求22322 5 7x xy yx xy y的值 4、 已知 ,求 111a b ca b a b c b a c c 的值 5、 已知 a,b,c 为实数，且 1 1 1,3 4 5a b b c c aa b b c c a ，求 bc 的值 第 二 讲 分式 方程 分式方程的解的步骤： 去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程） 解整式方程，得到整式方程的解。 检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中： 如果最简公分母为 0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为 0，则是原方程的解。 产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为 0。 （一）分式方程题型分析 题型一：用常规方法解分式方程 左岸专修学校 8 【例 1】解下列分式方程 （ 1）11 ；（ 2） 0132 3）11411 2 4）x 4 535题型二：特殊方法解分式方程 【例 2】解下列方程 （ 1） 4441 x； （ 2）569108967 1）换元法，设 1； （ 2）裂项法，61167 【例 3】解下列方程组 )3(4111)2(3111)1(2111待定字母的值 【例 4】若关于 x 的分式方程3132 x m 的值 . 【例 5】若分式方程 122 x a 的取值范围 . 左岸专修学校 9 提示： 032 x ， 2a 且 4a . 题型四：解含有字母系数的方程 【例 6】解关于 x 的方程 )0( 提示：（ 1） , 是已知数；（ 2） 0 题型五：列分式方程解应用题 1、 某服装厂准备加工 400 套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成任务，问：原计划每天加工服装多少套？ 2、 某商店经销一种泰山旅游纪念品， 4 月份的营业额为 2000 元，为扩大销售量， 5 月份该商店对这种纪念品打 6 折销售，结果销售量增加 20 件，营业额增加 700 元。 （ 1） 求该种纪念 4 月份的销售价格？ （ 2） 若 4 月份销售这种纪念品获得 800 元， 5 月份销售这种纪念品获利多少元？ 3、河边两地相距 50船在静水中的速度是 m(km/h)，水流速度是 n(km/h). (1)船从河边两地往返一次需要多长时间？ （ 2）当 m=30,n=10 时，求船往返一次需要的时间？ 4、“丰收 1 号”小麦的试验田是边长为 a（ m）的正方形减去一个边长为 1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收 2 号”小麦的试验田是边长为（ m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 1）哪种小麦的单位面积产量高 ? (2)小麦高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 思维拓展练习题： 左岸专修学校 10 1、已知 1 1 1a b a b ，求 的值。 （二）分式 方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 例 1解方程：231 归法 例 2解方程：01211 2 边通分法 例 3：解方程： 87 178 子对等法 例 4解方程： )(11 五、观察比较法 例 5 解方程：4174 2525 4 离常数法 例 6解方程：87329821 组通分法 例 7解方程：41315121 x 的分式方程 112无解，试求 a