概率统计辅导讲义VIP

概率论与数理统计考研辅导讲义 目 录 第 1 讲 随机事件和概率 第 2 讲 随机变量及其分布 第 3 讲 多维随机变量及其分布 第 4 讲 随机变量的数字特征与中心极限定理 第 5 讲 数理统计 1 第 1 讲 随机事件和概率 1随机现象及其统计规律性 在客观世界中存在着两类不同的现象：确定性现象和随机现象 在一组不变的条件 S 下，某种结果必定发生或必定不发生的现象称为 确定性现象 这类现象的一个共同点是：事先可以断定其结果 在一组不变的条件 S 下，具有多种可能发生的结果的现象称为 随机现象 这类现象的一个共同点是：事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种 一般来说，随机现象具有两重性：表面上的偶然性与内部蕴含着的必然规律性随机现象的偶然性又称为它的 随机性 在一次实验或观察中，结果的不确定性就是随机现象随机性的一面；在相同的条件下进行大量重复实验或观察时呈现出来的规律性是随机现象必然性的一面，称随机现象的必然性为 统计规律性 2随机试验与随机事件 为了叙述方便，我们把对随机现象进行 的一次观测或一次实验统称为它的一个试验如果这个试验满足下面的三个条件： (1)在相同的条件下，试验可以重复地进行 (2)试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果 (3)在进行试验前不能确定出现哪一个结果那么我们就称它是一个 随机试验 ，以后简称为 试验 一般用字母 E 表示 在随机试验中，每一个可能出现的不可分解的最简单的结果称为随机试验的 基本事件 或 样本点 ，用 表示；而由全体基本事件构成的集合称为 基本事件空间或样本空间 ，记为 随机事件 ： 是样本空间 的一个子集，随机事件简称为 事件 ，用字母 A， B， C 等 表示因此，某个事件 A 发生当且仅当这个子集中的一个样本点 发生，记为 A 3 事件之间的关系与运算 事件之间的关系有： “ 包含 ” 、 “ 等价 (或相等 )” 、 “ 互不相容 (或互斥 )” 以及 “ 独立 ” 四种 事件之间的基本运算有： “ 并 ” 、 “ 交 ” 以及 “ 逆 ” 事件的包含关系与等价关系 ： 设 A， B 为两个事件如果 A 中的每一个样本点都属于 B，那么称事件 B 包含 事件 A，或称事件 A 包含于事件 B，记为 A B 或 B A如果 A B 与 B A 同时成立，那么称事件 A 与事件 B 等价或相等 ，记为 A B 事件的并与交 ： 设 A， B 为两个事件我们把至少属于 A 或 B 中一个的所有样本点构成的集合称为事件 A 与 B 的并或和，记为 A B 或 A B 事件的互不相容关系与事件的逆 ： 设 A， B 为两个事件，如果 A B ，那么称事件 A 与 不相容 的 (或 互斥 的 ) 对于事件 A，我们把不包含在 A 中的所有样本点构成的集合称为事件 A 的 逆 (或 A 的 对立事件 )，记为 们规定 它是事件的基本运算之一 在一次试验中，事件 A 与 A 不会同时发生 (即 A A ，称它们具有互斥性 )，而且 A 与 A 至少有一个发生 (即 A A ，称它们具有完全性 )这就是说，事件 A 与 A 满足：.,根据事件的基本运算定义，这里给出事件之间运算的几个重要规律： (1) (交换律 ) ， (2) (结合 律 ) )()( ， )( 2 (3) (分配律 )(B C) A (A B)(A C) (4) (德 摩根律 ) 2121 ， 2121事件 事件 A 与 B 的差，记为 A B可见，事件 A B 是由包含于 A 而不包含于 B 的所有样本点构成的集合 【例 1】 设 A ， B 是任意二事件，完成运算： （ 1）、 )()()( ； （ 2）、 【例 2】 从一批产品中任取 3 个，观察其中的合格数，记 A =三件产品都是合格品 ， B =三件产品至多有一件是合格品 ，第 i 件是合格品 ， 3,2,1i 。试用 ， A ， B ， B 。 4概率的公理化定义 ： 设 E 是一个随机试验， 为它的样本空间，以 E 中所有的随机事件组成的集合为定义域，定义一个函数 P(A)(其中 A 为任一随机事件 )，且 P(A)满足以下三条公理，则称函数 P(A)为事件 A 的 概率 公理 1(非负性 ) 0 P(A) 1 公理 2(规范性 ) P() 1 公理 3(可列可加性 ) 若 ， 两两互斥，则 ).()(11 由上 面三条公理可以推导出概率的一些基本性质 性质 1(有限可加性 ) 设 ， ).()(11 性质 2(加法公式 ) 设 A， B 为任意两个随机事件，则 P(A B) P(A) P(B) P( 性质 3 设 A 为任意随机事件，则 P(A ) 1 P(A) 性质 4 设 A， B 为两个任意的随机事件，若 A B，则 P(B A) P(B) P(A) 由于 P(B A)0，根据性质 4 可以推得，当 A B 时， P(A) P(B) 请注意以下常见结论： ， ， ， A ， ， )( ； 【例 3】 A ， B 是两 随机事件， 则 )( 。 【例 4】 A ， B 是两随机事件， 则 )( 。 3 【例 5】 A ， B 是两随机事件， )()( ， )( ，则 )( 。 【例 6】 A ， B 是两随机事件，当 A ， B 发生时事件 C 发生，则以下正确的是（ ） A）、 )()( B）、 )()()( C）、 )()( D）、 )()( 【例 7】 A ， B ， C 是三随机事件，已知 )()( 且 A ， B ， C 至少有两个 发生 的概率为 A ， B ， C 同时发生的概率为 则 A ， B ， C 都不发生的概率为 （ ） A）、 B）、 C）、 1. 0 D）、 6概率的统计定义 ： 在一组不变的条件 S 下，独立地重复做 n 次试验设 是 n 次试验中事件A 发生的次数，当试验次数 n 很大时，如果 A 的频率 )稳定地在某一数值 p 附近摆动；而且一般说来随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称数值 p 为事件 A 在条件组 S 下发生的概率 ，记作 .)( 问题 (1)试判断下式 什么？ (2)野生资源调查问题 池塘中有鱼若干 (不妨假设为 x 条 )，先捞上 200 条作记号，放回后再捞上 200 条，发现其中有 4 条带记号用 任捞一条带记号 ，问下面两个数 2004,200 的频率？哪个是 A 的概率？为什么？ 7古典概型 ： 古典型试验： ( )结果为有限个； ( )每个结果出现的可能性是相同的 定义 设古典概型随机试验的基本事件空间由 n 个基本事件组成，即 1， 2， ， n如果事件 A 是由上述 n 个事件中的 m 个组成，则称事件 A 发生的概率为 (8几何概型 ： 几何型试验： ( )结果为无限不可数； ( )每个结果出现的可能性是均匀的 定义 设 E 为几何型的随机试验，其基本事件空间 中的所有基本事件可以用一个有界区域来描述，而其中一部分区域可以表示事件 A 所包含的基本事件，则称事件 A 发生的概率为 ,)( )()( L 中 L()与 L(A)分别为 与 A 的 几何度量 【例 7】 一袋中有 10 件产品，其中 3 件次品， 7 件正品，从中不放回地取 3 次，则“至少有两件次品的概率”为 。 【例 8】 从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，则此 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率为 。 【例 9】 设有 n 个人，每个人都等可能的被分配到 N 个房间中的任意一间去住 ，求（ 1）、指定的 n 个房间各有一个人住的概率为 。（ 2）、恰有 n 个房间各有一个人住的概率为 。 【例 10】 从 )1,0( 中任取两个数 x 和 y ，则满足条件的41 。 4 【例 11】 从长度为 a 的线段内任取两个点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率为 。 9条件概率 前面我们所讨论的事件 B 的概率 )，都是指在一组不变条件 S 下事件 B 发生的概率 (但是为了叙述简练，一般不再提及条件组 S，而把 )简记为 P(B)在实际问题中，除了考虑概率 )外，有时还需要考 虑 “ 在事件 A 已发生 ” 这一附加条件下，事件 B 发生的概率与前者相区别，称后者为 条件概率 ，记作 P(B|A)，读作在 A 发生的条件下事件 B 的概率 在一般情况下，如果 A， B 是条件 S 下的两个随机事件，且 P(A)0，则在 A 发生的前提下 B 发生的概率 (即条件概率 )为)( )()|( ， 并且满足下面三个性质： (1)(非负性 )P(B|A)0； (2)(规范性 )P(|A) 1； (3)(可列可加性 )如果事件 互不相容，那么 ).|()|(11 条件 概 率 仍 具 有 概 率 的 其 他 性 质 ： 、 )|(1)|( ； 、)|()|()|()|( 212121 10概率的乘法公式 ： 在条件概率公式 (1 3)的两边同乘 P(A)，即得 P( P(A)P(B|A) 【例 12】 一袋中有 5 件产品，其中 2 件次品， 3 件正品，从中不放回地取 2 次，设 A =第一次取得正品 ， B =第二次取得正品 ，则 )|( 。 【例 13 】 A ， B 是两随机事件， 1)(0 且 ， )( ，则 )|()|( 。 【例 14 】 A ， B ， C 是三个随机事件，其中 1)(),(),(0 且已知)|()|()|( ，则以下正确的是（ ） A）、 )|()|()|( B）、 )()()( C）、 )()()( D）、 )|()()|()()( 【例 15】 A ， B ， C 是三个随机事件，设以下条件概率均有意义，则以下不正确的是（ ） A）、 )|(1)|( B）、 1)|()|( C）、 )|()|()|()|( D）、 )|()|()|()|()|( 5 【例 16】 为了防止意外，在矿内同时有两个报警系统 A ， B 。每个报警系统单独使用时，其有效的概率是 A 为 B 为 A 失灵的情况下， B 有效的概率为 ： （ 1）、发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率？ （ 2）、 B 失灵的情况下， A 有效的概率？ 11 全概率公式 ： 如果事件组 ， (1) 1且 P( 0(i 1， 2， ， n) (2) (ij； i， j 1， 2， ， n)， 则对任一事件 B，有 ).|()()(1 上式称之为 全概率公式 12贝叶斯公式 ： 设 ， 某一随机试验的一个完备事件组，对任意事件 B(P(B) 0) ， 在 事 件 B 已 发 生 的 条 件 下 事 件 生 的 概 率 为 ).,2,1()|()()|()()|(1上式称之为 贝叶斯公 式 (或逆概率公式 ) 利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率的关键是找满足全概率公式中条件的事件组，即完备事件组 ， 掌握以下两点： (1)事件 B 必须伴随着 n 个互不相容事件 ， 一发生， B 的概率就可用全概率公式计算 (2)如果我们已知事件 B 发生了，求事件 Aj(j 1， 2， ， n)的概率，则应使用贝叶斯公式这里用贝叶斯公式计算的是条件概率 P()(j 1， ， n) 这里，我们把导致试验结果的各种 “ 原因 ” ： ， (为 先验概率 ，它反映了各种 “ 原因 ” 发生的可能性大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道现在若试验产生了事件 B，它将有助于探讨事件发生的 “ 原因 ” 我们把条件概率 P()称为 后验概率 ，它反映了试验之后对各种 “ 原因 ” 发生的可能性大小的新知识 【例 17】 一单位有甲乙两人 ， 已知甲近期出差的概率 80，若甲出差则乙出差的概率为 10，若甲不出差则乙出差的概率为 85。已知乙出差在外，则甲出差在外的概率为 （ ） A）、 8. 0 B）、 C）、 5. 0 D）、 【例 18】 有报告称一名探险者失踪，失踪地点等可能的分布在 3 个区域，以区域而没有被发现的概率， 3,2,1i ，已知对区域 1 的搜索没有发现失踪者，求在此条件下，失踪者在第 i 个区域的概率 。 【例 19】 有两组同类产品，第一组有 30 件，其中 10 件是优质品；第 2 组有 20 件，其中 15 件是优质品。今从两组中任选一组，然后从该组中不放回任取两次。（ 1）、求第一次取到的是优质品的概率 ；（ 2）、求在第一次取到的是优质品的条件下，第二次取到的是优质品概率 。 4事件的独立性 ： 设 A， B 是某一随机试验的任意两个随机事件，称 A 与 B 是相互独立 的，如 6 果 P( P(A)P(B) 可见事件 A 与 B 相互独立是建立在 概率基础上事件之间的一种关系所谓事件 A 与 B 相互独立就是指其中一个事件发生与否不影响另一个事件发生的可能性，即当 P(B)0时， A 与 B 相互独立也可以用 )()|( 来定义 注意 :1： 由两个随机事件相互独立的定义，我们可以得到：若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与 B，A 与 B ， A 与 B 也相互独立 注意 2： 如果事 件 A， B， C 满足),()()()(),()()(),()()(),()()(， B， C 相互独立 注意 3： 事件 A， B， C 相互独立与事件 A， B， C 两两独立不同，两两独立是指上述四个式子中前三个式子成立因此，相互独立一定是两两独立，但反之不一定 问题 (1)两个事件的 “ 独立 ” 与 “ 互斥 ” 之间有没有关系？在一般情况下，即 P(A) 0， P(B) 0 时，有关系吗？为什么？ (2)设 0 P(A) 1， 0 P(B) 1， P(B|A) P(B |A ) 1问 A 与 B 是否独立，为什么？由此可以得到什么结论？ 【例 20】 一个实习生用同一台机器接连独立地制造 3 个同种零件，第 i 个零件是不合格品的概率11 3,2,1i ，以 X 表示 3 个零件中合格品的数目，则 2 。 【例 21】 A ， B 是两个随机事件，其中 0)(,0)( 则以下正确的是（ ） A）、 A ， B 一定独立 B）、 A ， B 不一定独立 C）、 A ， B 一定独立 D）、 A ， B 不一定独立 【例 22】 从一副牌（ 52 张）中不放回取 2 次，设 A =第一次取得红牌 ， B =第 二 次取得红牌 ，C =恰有一次取得 红牌 ， D =两次都为黑牌 ， 则以下正确的是（ ） A）、 A ， B ， C 两两独立 B）、 A ， B ， C 相互独立 C）、 B ， C ， D 两两独立 D）、 B ， C ， D 相互独立 【例 23】 一袋中有 10 个球，其中 5 个白球， 3 个红球， 2 个黑球，从中放回地取 3 次， (1)、求“恰是一次白球一次红球一次黑球”的概率；（ 2）、求“恰有 2 次红球”的概率；（ 3）、求“至少有一次白球”的概率。 13 伯努利 (型 在实际问题中，我们常常要做多次 试验条件完全相同 (即可以看成是一个试验的多次重复 )并且都是相互独立 (即每次试验中的随机事件的概率不依赖于其他各次试验的结果 )的试验我们称这种类型的试验为重复独立试验 在单次试验中事件 A 发生的概率为 p(0 p 1)，则在 n 次独立重复试验中 PA 发生 )( 7 所谓 伯努利概型 就是利用关系式来讨论事件概率的数学模型伯努利概型又称为独立试 验序列概型 (或二项概型 ) 【例 24】 从一副牌（ 52 张）中放回取 5 次，已知“有 2 张是红桃”，求“ 恰 有 3 张是红桃” 的概率 。 二 练习题 1、 袋中有 4 个白球、 6 个红球，先从中任取出 4 个，然后再从剩下的 6 个球中任取一个，则它恰为白球的概率是 _ 2、 有一批产品，其中正品有 n 个，次品有 m 个，先从这批产品中任意取出 l 个 (不知其中的次品数 )，然后再从剩下的产品中任取一个恰为正品的概率为 ( ) 3、 袋中有 5 个球，其中 1 个是红球，每次取 1 个球，取出后不放回，前 3 次取到红球的概率为( ) 4、 设两两相互独立的三事件 A， B， C，满足： ， P(A) P(B) P(C)21,并且169)( 事件 A 的概率 5、 设 P(A) 0， P(B) 0，证明 (1)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 不互斥 (2)若 A 与 B 互斥，则 A 与 B 不独立 6、 设 A， B 是两个随机事件，且 0 P(A) 1， P(B) 0， )|()|( ，则 P( P(A)P(B) 7、 设两个随机事件 A， B 相互独立，已知仅有 A 发生的概率为41，仅有 B 发生的概率为41，则 P(A) _， P(B) _ 8、 设随机事件 A 与 B 的和事件的概率为 积事件 的概率为 事件 A 的概率P(A ) ( ) 9、 甲、乙两封信随机地投入标号是 1， 2， 3， 4， 5 的五个信筒内，则第 3 号信筒恰好只投入一封信的概率为 ( ) 10、 袋中有 10 个球，其中有 4 个白球、 6 个红球从中任取 3 个，求这 3 个球中至少有 1 个是白球的概率 11、 从 52 张扑克牌中任取 13 张，求 (1)至少有两种 4 张同号的概率 (2)恰有两种 4 张同号的概率 12、 三只外观相同的钢笔分别属于甲、乙、丙三人如今三人各取一只，恰好取到自己的笔的概率是 ( )；都没有取到自己的笔的概率是 ( ) 13、 一批产品共 100 件，对产品进行不放回地抽样检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的 5 件产品中至少有一件是废品如果在该批产品中有 5 件是废品，求该批产品被拒 绝接收的概率 14、 由以往记录的数据分析，某船只在不同情况下运输某种物品，损坏 2， 10， 90的概率分别为 在从中随机地取三件，发现这三件全是好的，试分析这批物品的损坏率为多少？ 15、 若有 M 件产品中包括 m 件废品，从中任取 2 件，求 (1)已知取出两件中有一件次品件条件下，另一件也是次品的概率 8 (2)已知取出两件中有一件不是次品的条件下，另一种是次品的概率 (3)取出 2 件中至少有一件是次品的概率 16、 袋中有 15 个小球，其中 7 个是白球， 8 个是黑球现在从中任 取 4 个球，发现它们颜色相同，问它们都是黑色的概率为多少？ 17、 某班车起点站上车人数是随机的，每位乘客在中途下车的概率为 且它们下车与否相互独立求在发车时有 10 个乘客的条件下，中途有 3 个人下车的概率 18、 设有甲、乙两个口袋，甲袋中有 9 个白球、 1 个黑球，乙袋中有 10 个白球现从两个口袋中各任取一球，交换后放回袋中，求交换三次后，黑球在乙袋中的概率 19、 在对某厂的产品进行重复抽样检查时，从抽取的 200 件中 发现 有 4 件次品，问能否相信该厂产品的次品率不超过 20、 在第一个 箱中有 10 个球，其中 8 个是白的；在第二个箱中有 20 个球，其中 4 个是白的现从每个箱中任取一球，然后从这两球中任取一球，取到白球的概率为 ( ) 9 第 2 讲 随机变量及其分布 1定义 ： 在条件 S 下，随机试验的每一个可能的结果 都用一个实数 X X()来表示，且实数 ( )X 是由 唯一确定 ( )对于任意给定的实数 x，事件 X x都是有概率的，则称 X 为一 随机变量 一般用英文大写字母 X， Y， Z 等表示 2分类 3 离散型随机变量的分布形式 ( )分布律 PX (k 1， 2， )，即 X 的分布是由公式的形式给出 ( )分布列 X x1 P(X p1 即 X 的概率分布是由列表的形式给出 ( )分布阵 1 21， 即 X 的概率分布是由矩阵的形式给出的 这里 下列性质： .,2,1,0 一般来说，对于实数集 R 中任一个区间 D，都有 ).()( 4几种常见的离散型随机变量的概 率分布 (1)0 1 分布 设随机变量 X 的分布为 P(X 1) p， P(X 0) 1 p (0 p 1)，则称 X 服从参数为 p 的 0 1 分布，记为 X B(1， p) (2)二项分布 设随机变量 X 的分布为 () k k n k C p q (k 0， 1， 2， ， n； 0 p 1， q 1 p)，则称X 服从参数为 n、 p 的二项分布，记为 X B(n， p) (3)几何分布 设随机变量 X 的分布为 P(X k) 1(k 1， 2， ， n， ； 0 p 1， q 1 p)，则称 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 X G(p) (4)泊松 (布 设随机变量 X 的分布为 ( ) e ( 0 , 1 , 2 , , , ; 0 ) ,! k k 则称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X P() (5)超几何分布 设随机变量 X 的分布为 ),m i n (,;,2,1,0( 则称 10 X 服从参数为 n， M， N 的超 几何分布 ，记为 X H(n， M， N) 【例 1】 设某医院男婴的出生率为 昨天该院共有 5 个新婴儿出生，且已知“至少有一名男婴” ， 则昨天该院“恰有一名男婴”的概率为 。 【例 2 】 设 X 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 21 则 2 。 【例 3】 一公司有 3000 多个职工，其中 30是女职工，从公司全体职工的花名册中随机一个一个（不放回地）抽取职工名单，直到抽到 3 名女职工就结束，设结束时共抽取了 X 次，则 5 。 【例 4】 设随机变量 X 和 Y 分别服从参数为 ),2( p 和 ),3( p 的二项分布，若951 1 。 【例 5】 甲乙两人独立投篮 3 次，设甲、乙两人每次投篮命中率分别为 则甲投中次数小于乙投中次数的概率为 。 【例 6】 甲、乙两人各抛 3 次硬币，设硬币是均匀的，且甲有 X 次正面，乙有 Y 次正面，且 X 、Y 独立同分布，则以下正确的是（ ） A）、 1 B）、 C）、165 31 7】 一个袋子中有 6 个编号为 1,2,3,4,5,6 的球，从中不放回的取 3 次，每次 1 只球，设取到每一个球的概率相等， X 表示取出的 3 只球中的最大号码，写出 X 的概率分布。 【例 8】 一个由 n 个独立 原件组成的系统，每个元件正常工作的概率为 p ，若至少有一半元件正常工作时系统正常。问 p 取何值时 5 个元件的系统比 3 个元件的系统更有效？ 【例 9】 设某次射击每人 5 发子弹，击中目标两次就结束射击。设小王每次命中率为 p ，10 p ，求小王射击次数的概率分布 。 【例 10】 一本书有 50 页，设一页的错误个数 X 服从参 数为 的泊松分布，且已知一页平均有 书中有 Y 页“恰有 1 个错误”。 (1)、写出 Y 的概率分布；（ 2）、求 2 近似值。 5. 连续型随机变量的分布形式 ： 连续型随机变量 X 的分布密度 )(下列性质： )(0， x d)( P x P() 1 与离散型随机变量类似，对于实数集 R 中任一区间 D，事件 (X D)的概率都可以由分布密度算出： ,d)()( 其中 )(一可求积函数 6 一般的随机变量 X 的分布函数 11 .)(,d)(),()()(可求积并且为离散型随机变量为离散型随机变量布函数是一个以全体实数为其定义域，以事件 | X() x的概率为函数值的一个实值函数分布函数 F(x)具有以下的基本性质： 0 F(x) 1 F(x)是非减函数 F(x)是右连续的 )( ()( 7几种常见的连续型随机变量的分布 (1)均匀分布 设随机变量 X 的分布密度函数为 .,0,1)(其他 则称 X 服从参数为 a， b 的 均匀分布 ，记为 X U(a， b) (2)指数分布 设随机变量 ,0,e)( x 则称 的指数分布，记为 X E() (3)正态分布 设随机变量 X 的分布密度函数为 2)(e x p 21)( 22 其中 ， 为常数且 0，则称 X 服从参数为 ， 2 的 正态分布 ，记为 X N(， 2) 特别地，称 0， 2 1 的正态分布为 标准正态分布 ，其密度函数为 .2/e 2 1)( 2其分布函数记为 )(x ，且 )(1)( 。 若 X N(0， 1)，则 )()( ； 若 X N(， 2) 则 )()( 【例 11】 设 X N(1， 2)，且已知 0 则 2 。 【例 12】 设随机变量 X U(2)，使方程 022 实根的概率为 。 【例 13】 设随机变量 X 的 概率密度为 2)( ， ，则 a ；且 2 。 12 【例 14】 设随机变量 Z N(0， 1)，记 当 1| ， x （ ） A）、2 1 21 2 2 1 u【例 15】 设随机变量 X 的 概率密度为 x,0,)( ，则 的值为 （ ） 。其中 )0,0( A）、 与 c 无关，随 b 的增大而增大 B）、 与 c 无关，随 b 的增大而减小 C）、 与 b 无关，随 c 的增大而增大 D）、 与 b 无关，随 c 的增大而减小 【例 16】 设随机变量 X 的 概率密度为 )(分布函数 )(则以下正确的是（ ）。 A）、 2 定是某一随机变量的概率密度函数 B）、 22 1 定是某一随机变量的概率密度函数 C）、 22 定是某一随机变量的概率密度函数 D）、 221 定是某一随机变量的概率密度函数 【例 17】 设某门课考试成绩 X 服从 N(， 2)，教师将超过 u 的评为 A ，分数在 u 到 ，分数在 u 到 u 之间的评为 C ，分数在 2u 到 u 之间的评为 D ，其余的评为 F 。求考生得 , 的比例。（已知 97 (,84 ( ） 【例 18 】 设 随 机 变 量 X 和 Y 具 有 相 同 的 分 布 ， 且 设 X 的 概 率 密 度 为 其他,020,83)( 2 知事件 和 独 立 ， 且43)( 常数 a 。 【例 19 】 设 随 机 变 量 X U( 4) ，且 其他, 则 X 的分布函数)( ； Y 的分布函数 )( 。 【例 20】 从 A 校区到 B 校区要经过 2 个交通灯，每灯为红灯的概率为 设 2 灯是否为红灯相互独立，且设 X 为遇到的红灯数，则 X 的分布函数 )( 。 13 【例 21】 以下可以作为分布函数的是（ ）。 A）、2,121,210,0,0)(1 B）、1,110,32310,0)(2C）、1,110,2310,0)(2 D）、 其他,010,3231)(2【例 22】 、设随机变量 X 的概率密度为 )(且 )()( ， )( X 的分布函数，则对任 意的实数 a ，有（ ） A)、 a (1)(B)、 a (21)( C)、 )()( D)、 1)(2)( 【例 23】 设 )(1 )(2 别为随机变量 1X 与 2X 的分布函数，为使 )()()( 21 为某一随机变量的分布函数，以下正确的是（ ）。 A）、32,31 32,32 23,21 23,21 24】 设 )(1 )(2 别为两 个相互独立的随机变量 1X 与 2X 的分布函数， )(1 )(2 别为随机变量 1X 与 2X 的概率密度函数，则以下正确的是（ ）。 A）、 )()( 21 必为某一随机变量的概率密度 B）、 )()( 21 必 为某一随机变量的概率密度 C）、 )()( 21 必为某一随机变量的分布 函数 D）、 )()( 21 必为某一随机变量的分布函数 【例 25】 设随机变量 X 在 5,2 上服从均匀分布，现对 X 进行三次独立观察，则“至少有 2 次大于 3”的概率为 。 【例 26】 某公交站候车的时间 X 服从于 参数为 的指数分布，已知平均候车时间为 10 分钟。如果候车时间不超过 10 分钟，则小李以 80的概率要在中途下车去办另一件事； 如果候车时间超过 10 分钟，则小李 在中途下车的概率为 10。现已知小李中途下车了，则小李 候车时间超过 10 分 14 钟的概率为 。 【例 27】 一厂生产的元件 80可直接出厂， 20需调试，调试后其中的 70可以出厂， 30要报废。今该厂生产了 n 只元件。（ 1）、求 n 只元件都可出厂的概率 ；（ 2）、求 n 只元件中恰有一只不能出厂的概率 ；（ 3）、求 n 只元件中至少有 2只不能出厂的概率 . 【例 28】 一汽车售票处有 3 个窗口对外售票，每个窗口等待时间（以分计） X 服从于参数为151的指数分布， 3 人同时分别排在 3 个独立的队伍中。求经过了 10 分钟， 3 人至少有一人结束等待的概率 【例 29】 设某小型商场在时间区间 ,0( t 内进入的顾客数 )(从于参数为 t 的泊松分布，设前后两人到达 商场的时间差为 T ，（ 1）、求 T 得概率分布函数 )(（ 2）、求 )2|5( 值 8 函数的分布 已知随机变量 X 的分布 Y f(X)，求 Y 的分布 离散型对离散型 X x1 P(X 2 记 ),2,1)( 果 )(么 Y 的概率分布为 Y y1 P(Y 2 但是，如果 f(值中 有相等的，那么就把那些相等的值分别合并，并根据概率加法公式把相应的概率相加，便得到 Y 的分布 连续型随机变量函数的分布 (1)定义法 ： 设 X 是连续型随机变量，其分布密度函数为 )(我们用分布函数的定义导出 Y g(X)的分布 )( )()()()( 30】 设 X N(0， 2)，求 2得概率密度。 【例 31】 设 X 服从于参数为51的指数分布，求 2, 得概率密度。 二 练习题 1、 掷两枚匀称的骰子， X 点数之和 ，求 X 的分布 15 2、 设,0,0,0,1 1)( 2 f(x)是否为分布密度函数？如何改造？ 3、 设随机变量 X 的分布密度函数为 .,0,10,)(其他 求 ( )常数 C； ( )P(X ( )P( X 4、 从一批有 13 个正品和 2 个次品的产品中任意取 3 个，求抽得的次品数 X 的分布列和分布函数，并求 )2521( 设连续型随机变量 X 的分布函数 ,0,0,0,e)( 22 和 B 6、 设连续型随机变量 X 的分布函数为 ()1 e ， x ， 求 ( )常数 A ( )X 的分布密度函数 p(x) ( )PX 0 7、 设 X 服从指数分布，则 Y ， 2的分布函数 ( ) (A)连续 (B)至少有两个间断点 (C)阶梯函数 (D)恰有一个间断点 8、 设 X B(1， p)，即 P(X 1) p， P(X 0) 1 p，则 )(9、 一袋中装有 5 只球，编号为 1， 2， 3， 4， 5在袋中同时取 3 只球，用 X 表示取出的 3 只球中的最小号码数，求 X 的分布函数 10、 设 X U(a， b)，即 .,0,1)(其他 )(11、 设 X N(0， 1)，求 P(X P(X 及 P(|X| 12、 设 X N(1， 22)，求 P(0 X 5) 13、 若 X N(， 2)，求 ( )P X ； ( )P 2 X 2； ( )P 3 X 3 14、 设 X N(2， 32)，求： ( )P 1 X 8； ( )PX 4； ( )PX 11 15、 设 X N(3， 2)，并且 P(3 X 7) P(X 1) 16、 设某机器生产的螺栓的长度 (从参数 正态分布，规定长度在范围(为合格品，求螺栓的次品率 17、 设随机变量 X 的分布为 X 2 1 0 1 2 P(X 515151101103求 Y 1 的概率分布 18、 设 X U(0， 1)，并且 Y Y 的分布密度 )( 16 19、 设随机变量 )2,2( 随机变量 Y 的分布密度 )( 20、 X U(0， )， Y )( 21、 设随机变量 X 的分布律分别为 (1) .,2,1, (2) ,! k k 0， 1， 2， ， 0 且 为常数，试确定常数 A 和 B 22、 某店内有 4 名售货员，据经验每名售货员平均在 1 h 内只用秤