几何综合讲义

1 第 讲：如何做几何证明题 【知识梳理】 1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法： （ 1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （ 2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要 证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （ 3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【例题精讲】 【专题一】证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证 明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 【例 1】 已知：如图所示， C C B ， ，。 求证： A 2 【巩固】 如图所示，已知长 D，延长 E，并且使 结 求证： 例 2】 已知：如图所示， 求证： E F 【专题二】证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于 90，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 【例 3】 如图所示，设 角平分线， 别为 A 到 垂线。 求证： 【例 4】 已知：如图所示， ， ，A F C 90。 求证： 专题三】证明线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 【例 5】 如图，四边形 ， E 是 一个动点，若 B 60， C， 且 60； 求证： 巩固】 已知：如图，在 角平分线 交于 O。 求证： B （二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法） 【例 6】 已知：如图 7 所示，正方形 ， F 在 ， E 在 ， 5。 求证： 专题四】证明几何不等式： 【例 7】 已知：如图 所示，在 分 C 。 求证：C【拓展】 D 于 D，求证： B C 14B D 讲： 全等三角形 【知识梳理】 1、全等三角形： 全等三角形、能够完全重合的两个三角形。 2、全等三角形的判定方法有： “ “ “ “ “ 3、 全等三角形的性质： （ 1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。 （ 2）全等三角形的周长、面积相等。 4、 全等三角形常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形 全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 【例题精讲】 例 1： 已知，如图 ， 5， 3，则中线 取值范围是 _. 6 【巩固】 如图所示，已知在 ， 上的中线， E 是 一点，且 C，延长 F，求证 : 例 2： 已知等腰直角三角形 ， 分 证： 巩固】 1、已知 ， 分 证： 、 如图所示，已知四边形 ， 60， 120，求证 : E 例 3： 如图，已知在 ， B 60， 角平分线 交于点 O 求证： 例 4： 如图，在 ， 平分线与 垂直平分线 垂直平分线 交于点 P，过点 P 分别作 N， 点 M 求证： 例 5： 角平分线，直线 A， E 为 一点， 长记为 长记为证P. 【拓展】 正方形 ， E 为 的一点， F 为 的一点， 后练习】 1、如图， 60， C 40， 分 P， 分 求证： 、如图， ， E、 F 分别在 ， D 是中点，试比较 大小 . 3、如图， ， 分 平分 E， F. （ 1）说明 理由； （ 2）如果 a ， b ，求 长 . 第 讲：直角三角 形与勾股定理 【知识梳理】 一、直角三角形的判定： 1、有两个角互余的三角形是直角三角形。 2、 勾股定理逆定理 二、直角三角形的性质 1、直角三角形两锐角互余 2、直角三角形中 30所对的直角边等于斜边的一半 3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半； 4、勾股定理： 直角三角形两直角边 a， b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a， b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响在 ， (1)若 C 90； (2)若 C 90； (3)若 C 90 勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形 (及多边形 )的问题中有着广泛的应用 5、勾股定理逆定理 ：如果三角形三边长 a， b， c 有下面关系： 6、勾股数的定义：如果三个正整数 a、 b、 c 满足等式 么这三个正整数 a、 b、c 叫做一组勾股数。简单的勾股数有： 3， 4， 5； 5， 12， 13； 7， 24， 25； 8， 15， 17； 9， 40， 41。 【典例精析】 例 1： 在 ， 90， 3， 5，现将它们折叠，使 B 点与 C 点重合，求折痕 长。 10 【巩固】 1、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 6 8 将 叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 长为（ ） A.4 B.5 C.6 、 四边形 ， 60 ， B D 90， 1， 2；求对角线 长？ 例 2： 如图所示已知：在正方形 ， 平分线交 E，作 ，作 G求证： 2 【巩固】 已知 ， A 90， M 是 中点， E， F 分别在 ， F 求证： 1 例 3： 已知正方形 边长为 1，正方形 接于 a， b,且2求： 的值 例 4： 已知： P 为 一点，且 3， 4， 5，求 度数 【巩固】 如图，四边形 ， 于 O 点， 15， 40， 50，则 _. 例 5： 一个直角三角形的三条边长均为整数，它的一条直角边的长为 15，那么它的另一 条直角边的长有 _种可能，其中最大的值是 _. 【拓展】 是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等？若存在，求出它的各边长；若不存在，说明理由。 2 【课外练习】 1、如图，在 ， 90 3,4,垂直平分线 延长线于点 E，则 长为（ ） A 32B 76C 256D 2 2、如图，等腰 中， C ， 底边上的高，若 5 c m 6 c B C， ， 则 3、 已知 是等腰三角形， 8， 3，则 长等于（ ） D. 34 4、如 图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形 A、 B、 C、 D 的边长分别是 3、 5、 2、 3，则最大正方形 E 的面积是 A 13 B 26 C 47 D 94 5、 如图，在矩形 ，在 存在一点 E，沿直线 叠，使点 D 恰好落在 此点为 F，若 面积为 30么折叠的 面积为 _. A D B E C A C D B 3 第 讲：平行四边形（一） 【知识梳理】 1、平行四边形： 平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质： （ 1） 平行四边形对角相等； （ 2） 平行四边形对边相等； （ 3） 平行四边形对角线互相平分。 除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法： （ 1） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （ 2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （ 3） 对角线互相平分的四边形是平行四边形； （ 4） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2、特殊平行四边形： 一、 矩形 （ 1）有一角是直角的平 行四边形是矩形 （ 2） 矩形的四个角都是直角； （ 3） 矩形的对角线相等。 （ 4）矩 形判定定理 1： 有三个角是直角的四边形是矩形 （ 5）矩 形判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形 二、 菱形 （ 1） 把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 . （ 2） 定理 1:菱形的四条边都相等 （ 3） 菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角 . （ 4） 菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以 2 （ 5） 菱形判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形 （ 6）菱形判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 三、正方形 （ 1）有一组邻边相等，并且 有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 （ 2）性质：四个角都是直角，四条边相等 对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 （ 3）判定：一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 【例题精讲】 【例 1】 填空题： 14 【巩固】 1、下列说法中 错误 的是（ ） 2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( ) 形或正方形 3、下面结论中，正确的是（ ） 4、 如图，在 中 ，点 D、 E、 F 分别在边 ，且 A ， A 下列四种说法： 四边形 平行四边形； 如果 90，那么四边形 矩形； 如果 分 ，那么四边形 菱形； 如果 C 且 C ，那么四边形 菱形 . 其中，正确的有 .（只填写序号） 在下列特征中， （ 1） 四条边都相等 （ 2） 对角线互相平分 （ 3） 对角线相等 （ 4） 对角线互相垂直 （ 5） 四个角都是直角 （ 6） 每一条对角线平分一组对角 （ 7） 对边相等且平行 （ 8） 邻角互补 平行四边形具有的是： 矩形具有的是： 菱形具有的是： 正方形 具有的是： 15 【例 2】 如图，在平行四边形 ，点 E， F 分别是 中点 . 求证：四边形 平行四边形 . 【巩固】 已知，如图 9， E、 F 是四边形 对角线 的两点， F 四边形 平行四边形吗？请说明理由 【例 3】 如图，梯形 ， 分 点 E 求证：四边形 菱形 【 例 4】如图，在等边 ，点 D 是 的中点，以 边作等边 （ 1）求 度数； （ 2）取 的中点 F，连结 证明四边形 矩形 【巩固】 如图， O 为矩形 角线的交点， A E D C F B A 6 （ 1） 试判断 四边形 形状，并说明理由 ； （ 2）若 6， 8，求 四边形 面积 【例 5】如图所示，在 ，分别以 边在 同侧作等边 边 边 （ 1）求证：四边形 平行四边形； （ 2）探究下列问题：（只填满足 的条件，不需证明） 当 足 _条件时，四边形 矩形； 当 足 _条件时，四边形 菱形； 当 足 _条件时，以 D、 A、 E、 F 为顶点的四边形不存在 . 第 讲：平行四边形（二） C B A D F E 17 【知识梳理】 由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行 线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、正方形。 另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。 【例题精讲】 【例 1】四边形四条边的长分别为 、 ，且满足 22222 ，则这个四边形是（ ） 【例 2】 如图， 四边形 正方形， 点 G 是 任意一点， 点 E， 点 F. (1) 求证： (2) 当点 G 为 中点时， 试探究线段 间的数量关系， 并说明理由 (3) 若点 G 为 长线上一点，其余条件不变请你在图中画出图形，写出此时 F、 间的数量关系（不需要证明） 【巩固】如图 1，在边长为 5 的正方形 ，点 E 、 F 分别是 上的点，且 F ， 2. 18 （ 1）求 值； （ 2）延长 正方形外角平分 线 于 点 （如图 13 2），试判断 大小关系，并说明理由； （ 3）在图 2 的 上是否存在一点 M ，使得四边形 平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由 【例 3】如图，在矩形 ，已知 12， 5， P 是 上任 意一点， ， F，求 值。 【例 4】如图，在 ， 90， 别是 平分线， 于 G，求证： 【例 5】如图所示， ， 90， D， 分 A D C B E 图 2 B C E D A F P F 19 且交 F。求证： 【巩固】如图，在平行四边形 ， B， D 的平分线分别交对边于点 E、 F，交四边形的对角线 点 G、 H。求证： 第 讲：梯 形 0 【知识梳理】 与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用。 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形，其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。 通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是： 1、 平移腰：过一顶点作一腰的平行线； 2、 平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线； 3、 过底的顶点作另一底的 垂线。 熟悉以下基本图形、基本结论： 【例题精讲】 中位线概念： (1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 (2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。 梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半。 【例题精讲】 【例 1】 如图所示，在梯形 ， 8， 6， B 45， 10，求梯形上底 长 . 21 【例 2】 如图所示，在直角梯形 ， A 90， 15， 16， 17. 求 长 . 【例 3】 如图所示，在等腰梯形 ， 角线 6求梯形面积 . 【例 4】 如图所示，四边形 ， 平行于 判断四边形形状，并证明你的结论 . 【巩固】 1、如图所示，已知等腰梯形的锐角等于 60，它的两底分别为 15 49 它的腰长 . 2 2、如图所示，已知等腰梯形 ， 10， E，求 长 . 3、如图所示，梯形 ， D 2 B， 8，求 长 . 【例 5】 已知：如图，在梯形 ， E 是 中点，且 3 求证： 巩固】如图所示，梯形 ， E 是 中点，且 证： 【例 6】 如图，在梯形 ， E、 F 分别是 中点，若 BC 90 7 ， 15 ，求 第 讲：中位线及其应用 D 24 【知识梳理】 1、三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 2、中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。 3、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作 出辅助线。 4、中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的