蔡中兵《材料力学》3扭转.ppt

mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 3-1 概述 第3章 扭 转 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 杆件受到一对方向相反的力偶作用于杆件的两个横截面。 外力特点： 变形特点： 1、杆件的相邻横截面绕轴线发生相对转动。 此类以扭转变形为主的等截面直杆称为轴。 2、杆件表面的纵向线将变成螺旋线。 3-1 概述 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 薄壁圆筒通常指 的圆筒 当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶 矩扭矩 m m T Me l Me m m Me r0 O 3-2 薄壁圆筒的扭转 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 1.实验前 （1）画纵向线,圆周线; （2）施加一对外力偶. 一、应力分析 薄壁圆筒：壁厚（r0圆筒的平均半径） dx x Me Me 2.实验后 （1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和 间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动； （2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ； （3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形. 3-2 薄壁圆筒的扭转 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 圆筒两端截面之间相对转过的圆 心角 相对扭转角 表面正方格子倾斜的角度直角 的改变量 切应变 A B D C Me Me 薄壁圆筒受扭时变形情况： A B C D B1 A1 D1 C1 D D1 C1 C mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 3.推论 （1）横截面上无正应力，只 有切应力； （2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切，且数值相等. dx 圆周各点处切应力的方向于圆周相切, 且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处 切应力的数值无变化. Me Me A B D C mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 4.推导公式 静力学条件 因薄壁圆环横截面上各点处的切应力相等 得 t dA n n Me r0 x 根据精确的理论分析, 当r/10时, 上式的误差不超过 4.52%,是足够精确的。 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直, 指向与扭矩的转向一致. T mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 二、剪切胡克定律 由前述推导可知 薄壁圆筒的扭转实验曲线 Me Me A B D C mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 钢材的切变模量值约为： 这就是剪切胡克定律 其中：G材料的切变模量 t p剪切比例极限 三个常数关系为： mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 3-3 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图 从动轮主动轮从动轮 一、外力偶矩的计算 Me作用在轴上的力偶矩( N m ) P轴传递的功率(kW) n轴的转速( r/min ) n Me2Me1Me3 主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，从动轮上的 外力偶矩转向与传动轴的转向相反。 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 Me 在n-n 截面处假想将轴截开取 左侧为研究对象 二、内力的计算 1.求内力 截面法 T Me Me mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 Me x n n MeMe x T Me x T 采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正,反之为负. 2.扭矩符号的规定 3.扭矩图 用平行于杆轴线的坐标 x 表示 横截面的位置;用垂直于杆轴线的 坐标 T 表示横截面上的扭矩,正的 扭矩画在 x 轴上方,负的扭矩画在 x 轴下方. T x + _ mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 1 1 T T Me Me AB 1 1 B Me A Me 1 1 x Me T 图 + mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 Me4 A BC D Me1 Me2 Me3 n 例题3-3-1 一传动轴如图所示,其转速 n = 300 r/min ,主动轮A输 入的功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动 轮输出的功率分别为P2 = 150 kW ,P3 = 150 kW , P4 = 200 kW. 试做扭矩图. mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 解: 计算外力偶矩 Me4 A BC D Me1 Me2 Me3 n mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 计计算 CA 段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩.假设设 T 2为为正值值. 结结果为负为负 号,说说明T 2 应应是负值负值 扭矩 由平衡方程 ABCD Me1 Me3 Me2 2 2 BC x Me2Me3 T2 Me4 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 ABCD 同理,在 BC 段内 在 AD 段内 1 13 3 注意：若假设扭矩为正值, 则扭矩的实际符号与计算符号相同. Me4Me1 Me3 Me2 Me2 Me4 T1 T3 作出扭矩图 4775 Nm 9550 Nm 6366 Nm + _ 从图可见,最大扭矩在 CA段内. mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 例题3-3-2 图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm, M1=6kNm, M2=4kNm, 材料的切变模量 G=80GPa. 画轴的扭矩图； M1M2 A BC ll mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 解:（1）画轴的扭矩图 M1M2 A BC ll BC段 1 M2 C T1 T1+M2=0 2 M2 C M1 B T2 T2+M2-M1=0 T2 =2kNm AB段 （+） （-）T1 = -4kNm 最大扭矩发生在BC段 Tmax=4kNm 4kNm 2kNm + _ mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 A B C 解：作轴的扭矩图 MA MB MC 22 kNm 14 kNm + _ 例题3-3-3 图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC 段的直径 d2=100mm.扭转力偶矩为MA = 22 kNm, MB = 36 kNm ,MC =14 kNm. 试作扭矩图. T图 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 例题3-3-4 图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切 弹性模量，试作扭矩图。 aa2a M2M3M ABCD + M 2M 3M 解：画扭矩图 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 ABCD mBmCmAmD mB B BC mB mC 同理可得： 解: 1.计算外力偶矩 2.计算扭矩 得： 同理可得： 3.画扭矩图 例 3-2 已知：传动轴转速n=300r/min，主动轮A输入功率PA =400KW三个从动轮输出功率分别为PB =120KW ，PC =120KW , PD =160KW 试作扭矩图。 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 3-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件 实验: mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 1、实验现象 2、假设 *各圆周线的形状、大小， 两圆周线间的距离都没有发 生变化，但都绕轴转过了不 同的角度。 *纵线仍近似为直线，但都 倾斜了一个角度，使原来的 矩形都变成了平行四边形。 平面假设：圆轴扭转时，各横截面如同刚性平面一样绕轴 转动，即：假设圆轴各横截面在变形过程中，始终保持为 平面，其形状和大小不变，半径仍为直线。 一、横截面上的应力 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 二、横截面上二、横截面上的应力的应力 1 1、变形几何关系、变形几何关系 变形前变形后 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 变形几何关系关系式 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 2、物理关系(胡克定律) 由此，得：由此，得： 当当 = = 0 0 时时 当当 = = R R 时时 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 3、静力学关系 令：令：极惯性矩 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 令： 抗扭截面系数 圆轴扭转时横截面上的最大切应力 现在的问题是如何求 和 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 补 极惯性矩与抗扭截面系数 1. 实心圆截面 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 2. 空心圆截面 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 3. 薄壁圆截面 注意: R0 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 例 2: 一直径为D1的实心轴，另一内外径之比d2D2 0.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大切应力 相等。求两轴外直径之比D2/D1。 解：由 得： mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 例 ：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴，受扭矩 T=1kNm作用，计算横截面上A点的切应力及横截面上的最 大和最小切应力。 解： mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 组成顺时针转向力偶，其矩为 组成逆时针转向力偶，其矩为 得 二、斜截面上的应力 由于微体处于平衡状态，则必有 单元体上只有切应力，而无正应力的状态。称为纯剪切应力状态。 两互相垂直的平面上，切应力成对存在且数值相等；两 者都垂直于两平面的交线，方向则共同指向或背离此交线。 切应力互等定理 表明： M mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 1. 点M的应力单元体如图(b)： (a) M (b) (c) 2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)： (d) x 二、斜截面上的应力 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 (d) x n t 转角规定： 轴正向转至截面外法线 逆时针：为“+” 顺时针：为“” 由平衡方程： 解得： mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 分析：当 = 0时， 当 = 45时， 当 = 45时， 当 = 90时， 45 由此可见：圆轴扭转时，在 横截面和纵截面上的切应力为最 大值；在方向角 = 45的斜截 面上作用有最大压应力和最大拉 应力。 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 圆轴扭转时的破坏现象 脆性材料扭转破坏 塑性材料扭转破坏 （比如：铸铁、粉笔） （比如：低碳钢） 沿横截面被剪断 沿450螺旋曲面被拉断 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 例 1：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心 圆轴，可节省材料的百分比为多少? 解：设实心轴的直径为 d1 ，由 得： mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 （实心截面）（空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。 圆轴合理截面 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 例: 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW，转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴，CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大切应力，CB段横截面上内、外缘处 的切应力。 解：（1）计算外力偶矩和扭矩 （2）计算极惯性矩 AC段： CB段： （3）计算应力 AC段最大切应力： CB段上内外缘的切应力： mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 三、圆轴扭转的强度条件 设材料的许用切应力圆轴扭转的强度条件为 说明： （2）对等截面杆，max在扭矩Tmax的截面上；对变截面杆 ，max不一定在扭矩Tmax的截面上，需综合分析。 （3）圆轴强度计算的三类问题： （a）强度校核： （b）截面设计： （c）许用载荷计算： （1） 由材料的扭转实验测定 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 例：图示传动轴。齿轮2为主动轮，而齿轮1和3消耗的功率分别为 0.756kW和 2.98kW。若轴的转速为183.5r/min，材料为45号钢， =40MPa。试根据强度要求确定轴的直径。 解： 1、求外力偶矩 2、求各截面扭矩，作扭矩图，确 定危险截面。 轮2、3间的截面为危险截面 3、由强度条件设计轴的直径 可取D=27.2mm。 + - mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 3-5 等直圆杆扭转的变形、刚度条件 一、圆轴扭转时的变形 扭转变形： 两截面的相对扭转角 单位长度杆件的相对扭转角： l 称为扭转刚度 说明： （1）当T 变化，或轴为阶梯 轴时，应分段计算，即 长为l的杆件的相对扭转角： mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 3-5 等直圆杆扭转时的变形、刚度条件 单位：rad/m 单位：rad/m 单位：/m 值可由有关手册查到。 设单位长度的扭转角为： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： 刚度条件的三种应用: 一般规定单位长度的扭转角的最大值不超过某一许用 值 ，则有扭转刚度条件为： mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 解： （1）计算扭矩 例 3: 已知:传动轴m1=2.5KNm， m2=4KNm， m3=1.5KNm，G=80GPa。求：截面A相对截面C的扭 转角 （2）计算A、C两截面间的相对扭转角 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 解： （1）计算外力偶矩 例 : 已知:传动轴d=4.5cm，G=80GPa ，PA=36.7KW， PB=14.7KW， PC= PD= 11KW，n=300r/min, =40MPa， =2 o/m 。试校核轴的强度和刚度。 （2）画扭矩图，求最大扭矩 同理： 所以： mC BC mB A mA mD D mechanics of materials 盐城工学院力学课程组 材料力学 （3）校核强度