经济数学复习第一章函数极限连续.ppt

ESC 第一章 函数 极限 连续 第一章 函数 极限 连续 函数的定义域 函数的极限 极限的性质与四则运算法则 函数的连续性 洛必达法则 无穷小的等价代换 两个重要极限 ESC 一、函数的定义域 例1 求下列函数的定义域 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； ESC 解 (1)在分式 中，分母不能为 零，所以 ，解得 ，且 ， 即定义域为 (2)在偶次根式中，被开方式必须大于等于 零，所以有 ，解得 ，即 定义域为 一、函数的定义域 【 ESC (3)在对数式中，真数必须大于零，所以有 ，解得 ，即定义域为 (4)反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须 小于等于1，所以有 ,解得 ， 即定义域为 即定义域为 一、函数的定义域 ESC 极限存在的充分必要条件： 和 是否存在 设函数 , 试讨论极限 , 例2 二、函数的极限 ESC 解 由图可看出 在 处, 函数 的左、右极限都存在, 但 不相等, 故 不存在 二、函数的极限 ESC 三、极限的性质与四则运算法则 设 , , 则 (1)代数和的极限 存在, 且 . (2)乘积的极限 存在, 且 . 特别地, 有(i) 常数因子 可提到极限符号的前面, 即 . (ii) 若 是正整数, 有 . ESC 设 , , 则 (3) 若 ,商的极限 存在, 且 . 三、极限的性质与四则运算法则 ESC 三、极限的性质与四则运算法则 例3 求下列极限 ESC 四、无穷小的性质 性质1.1 有限个无穷小量的代数和仍然 是无穷小量 性质1.2 有界变量乘无穷小量仍是无穷 小量 性质1.3 常数乘无穷小量仍是无穷小量 性质1.4 无穷小量乘无穷小量仍是无穷 小量 ESC 四、无穷小的性质 例4 求 解 因为 ，所以 是有界变 量； 根据性质1.2，乘积 是无穷小量即 练习 求 ESC 五、无穷小的等价代换 定义1.7 设 、 是同一变化过程中 的两个无穷小量， (1)若 ,则称 是比 高阶的 无穷小量也称 是比 低阶的无穷小量 (2)若 ( 是不等于零的常数)， 则称 与 是同阶无穷小量若 ，则称 与 是等价无穷小量记为 。 ESC 2.等价无穷小的传递和代换的性质 设在同一变化过程中 （1）若 则 。 （2）若 且 存在 ， 则 五、无穷小的等价代换 ESC 3. 常用的等价无穷小 当 时，有： 五、无穷小的等价代换 ESC 例4 求下列极限 五、无穷小的等价代换 练习已知： ESC 六、两个重要极限 一、第一个重要极限 推广公式 该极限的特征是（1） 型未定式（2）无穷小的 正弦与自身的比。 二、第二个重要极限 推广形式 ESC 第二个重要极限的特征 （1） 型未定式。（2） 例5 求 解： 六、两个重要极限 ESC 练习 求下列极限 六、两个重要极限 ESC 七、函数的连续性 定义1 设函数 在点 的 某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量 趋于零时，相应函数的改变量 也趋于零 ，即 ， 则称函数 f (x)在点 x 连续 0 ESC 定义2 设函数 在点 的某 个邻域内有定义,如果当 时,函数 的极限存在，且等于 在点 处的函数值 ，即 ， 则称函数 f (x)在点 x 连续 0 七、函数的连续性 ESC 七、函数的连续性 定义3 如果函数 在点 不 连续，则称为 为 的一个间断点 由函数在某点连续的定义可知，如果 在点 处有下列三种情况之一，则点 是 的一个间断点 ESC 七、函数的连续性 (1)在点 处， 没有定义； (2) 不存在； (3)虽然 存在，但 ESC 七、函数的连续性 例6求函数 的连续区间和间断点. 解：函数的连续区间为 函数的间断点为 练习 函数 在 处连续，且 求 。 ESC 八、洛必达法则 洛必达法则（一） 若函数 与 满足条件： (1) ， ； (2) 与 在点 的某个邻域内( 点 可除外)可导，且 ； (3) （或 ） 则 （或 ） ESC 洛必达法则（二） 若函数 与 满足条件： (1) ， ； (2) 与 在点 的某个邻域内(点 可除外)可导，且 ； 八、洛必达法则 ESC (3) 或 . 则 或 对于法则(一)和法则(二)，把 改 为 ，仍然成立. 八、洛必达法则 ESC 八、洛必达法则 例7 求 . 解 当 时，有 和 ，这是 型未定式由洛必达法则 ESC 八、洛必达法则 例8 求 解 当