金砖国家优势研究数学建模论文.docx

摘要本文通过建立主成分分析评价模型、偏相关分析模型、聚类分析模型、0-1线性规划模型、多元线性回归模型、灰色预测模型，利用、等软件求解，对金砖五国在全球发展中的优势进行了研究，得到了合理的结果。问题一中，对经济发展进行优势分析，选择澳大利亚、德国与金砖五国进行比较。引入经济适应度对经济优势进行刻画，通过经济适应度大小直接反映经济发展速率。首先根据经济发展的影响因素，选择人均gdp增长率、国家财政支出增长率等9个指标作为经济适应度的评价指标，建立综合评价模型。但指标较多，应先使用主成分分析法将9个指标重新组合成新的评价指标，建立主成分分析评价模型，求解得到中、印、南、巴、俄、德、澳的经济适应度为0.78、0.27、0.26、0.22、-0.33、-0.59、-0.61。为了寻找经济优势的主要原因，首先初步筛选出相关性较大的5个指标，然后建立偏相关分析模型，求解出5个指标与经济适应度的偏相关系数，通过偏相关系数大小即可判定经济优势的主要原因为财政支出、经济活动人口、教育支出、医疗支出。问题二中，金砖五国的优势差异表现在各指标上的差异，因此可通过各指标的数据，建立聚类分析模型，对5个国家进行分类，而同一类别的国家差异较小，不同类别的指标差异较大，故可通过这一分类直观描述其差异性。其中，第一类为巴西、印度、中国；第二类为俄罗斯；第三类为南非。问题三中，成员之间的协作分工模式较为抽象，本文将其形象转化为探讨最优方案的线性规划问题。首先假定一份额的经济增长需要多种原料，每个国家必须提供一种原料，而不同国家的原料成本不同，故以原料总成本为决策目标，建立0-1线性规划模型，求解出最优方案，即可形象描述成员之间的协作分工模式。问题四中，需要对各国的经济优势进行预测。首先以经济适应度为因变量，以4个重要指标为自变量，建立多元线性回归模型，通过最小二乘法，求出经济适应度与4个指标的关系式。然后根据4个指标的数据序列特点，建立灰色预测模型，对4个指标的未来变化进行预测，将指标的预测值代入关系式，即可得到经济适应度的预测值，发现金砖五国的经济优势在未来呈现扩大的趋势。关键词： 主成分分析 偏相关分析 聚类分析 0-1线性规划 多元回归 灰色预测一问题重述金砖国家在全球发展中的优势研究2003年10月高盛公司发表了一份题为“与brics一起梦想的全球经济报告”，首次提出了“金砖四国”这一概念。“金砖四国”（bric）的名称来源于巴西、俄罗斯、印度和中国的英文首字母。由于该词与英文中的砖（brick）类似，因此被称为“金砖四国”。该报告估计，到2050年，世界经济格局将会经历剧烈洗牌，全球新的六大经济体将变成中国、美国、印度、日本、巴西、俄罗斯。在2010年，南非加入金砖四国，“金砖四国”即将变成“金砖五国”，并更名为“金砖国家”(brics)。2011年4月14日，金砖国家领导人第三次会晤在中国三亚举行，五国领导人商讨了如何协调应对重大国际问题，如何深化和扩大彼此间合作，如何加强金砖国家合作机制等问题。根据华尔街日报的报道，中国打算提升金砖集团作为新兴经济体平台的地位，从而获得对发达国家更有力的优势。由于这种优势可能体现在多个侧面，请你选择某个感兴趣的侧面，建立数学模型分析以下问题：1、 尽管目前金砖国家在很大程度上还是一个松散的团体，但它们拥有世界40%的人口、18%的全球贸易以及约45%的当年增长。因此，请分析在世界范围内，金砖国家在该此方面的优势，并指出产生这种优势的主要原因；2、 在感兴趣的侧面上，金砖五国是否存在着相同的优势，或者建立模型研究成员之间在该种优势上的差异性；3、 为了提高金砖国家在此侧面的优势，请建立数学模型探讨成员之间更好的协作分工模式；4、 预测研究在若干年后，金砖国家在此侧面的优势会继续保持、缩小还是扩大？利用数学模型支持你的结论。二 基本假设1. 所照数据真实可靠。2. 所找的9个评价指标可全面反映经济发展程度。三.符号说明四.问题分析4.1问题一分析： 首先引入经济适应度对经济优势进行刻画，经济适应度可直接反应经济发展速率。查阅文献寻找影响经济发展的因素，将其作为经济适应度的评价指标，然后寻找各国各年份的数据。但由于评价指标较多，因此需要通过主成分分析进行降维，找出主成分和方差贡献率，求出各个国家的经济适应度大小，通过比较便可反映金砖五国的经济优势。为了寻找经济优势的主要原因，本文进行相关性分析，但由于变量较多，要想研究两个变量之间的关系，需要控制其他变量不变，因此需要进行偏相关分析，求解出偏相关系数，找出主要原因。4.2问题二分析成员之间的经济优势差异表现在各个指标上的差异，因此，需要通过指标差异来确定其优势差异。通过聚类分析，将5个国家分为3类，不同类别之间的指标差异较大，同一类别之间的指标差异较小。4.3问题三分析 题中的探讨分工模式较为抽象，应先将其形象化，分工模式的探讨可视为方案的规划问题，寻求最优方案，故可将其置于线性规划环境下求解。将单位份额的经济增长作为要求，将各指标作为原料，而各国对各种原料的支付成本不同，最终目标即为原料总成本最少，对这一线性规划模型进行求解，即可得到最优合作方案。4.4问题四分析 本问要求对各国的经济优势进行预测，即需要对经济适应度进行预测。由问题一的偏相关分析可知经济适应度与财政支出、经济活动人口、教育支出、医疗支出4个指标之间的偏相关性较大。因此可建立多元回归模型找到经济适应度与4个指标的关系。然后需要对4个指标进行预测，根据指标的数据特点选择合理的预测模型，将预测出来的数据代入多元回归模型，间接实现对经济适应度的预测。五模型建立与求解5.1.问题一本问要求分析在世界范围内，金砖国家在经济发展上的优势，并指出主要原因。我们认为应有以下步骤组成:步骤一：选取国家进行比较，根据经济适应度的影响因素确定评价指标，收集数据；步骤二：使用主成分分析法对指标进行降维处理，建立经济适应度评价模型，求得各国家的经济适应度；步骤三;建立偏相关分析模型，分别求出经济适应度与评价指标的偏相关系数，以此来判定影响度较大的因素。5.1.1.模型准备5.1.1.1.确定评价指标及数据收集题中要求在世界范围内进行分析，本文选取澳大利亚、德国与金砖五国进行综合评价，即可反映出金砖国家的优势。由于金砖五国与某些发达国家现实差距较大，因此在评价经济发展方面，不可对各指标进行数值比较，这样不太客观，而应该比较各个指标的年均增长率才较为合理客观。根据经济发展的影响因素，可以确定以下9个评价指标：第一产业（占gdp）比重的增长率、第二产业（占gdp）比重的增长率、第三产业（占gdp）比重的增长率、人均gdp增长率、国家财政支出增长率、经济活动人口增长率、外汇储备增长率、教育支出增长率、医疗支出增长率。查阅相关网站，找到各个国家在2006-2011年的指标数据，以下为巴西的相关原始数据;表1：巴西的原始数据表第一产业比重%第二产业比重%第三产业比重%人均gdp（美元）财政支出（亿雷亚尔）经济活动人口比重%外汇储备教育支出%医疗支出%20065.528.865.85813797869.08584.34.520075.627.866.67213838568.618034.64.720085.927.966.28631969168.619384.84.720095.626.867.583801136968.623855.25.120105.328.166.6109591115667.428865.14.920115.527.567.0125331179666.235205.25.85.1.1.2.数据标准化处理首先对指标的原始数据计算，求出各国家各指标的年均增长率。由于各指标之间的差异较大，为了方便建立模型，需要对数据进行标准化处理，计算公式如下：式中：第个指标标准化处理后的数据；第个指标的原始数据； 原始数据的最大值；原始数据的最小值；将9个指标数据标准化处理后的结果如下表：表2：标准化处理后数据表第一产业比重第二产业比重第三产业人均gdp财政支出经济活动人口比重外汇储备教育支出医疗支出巴西0.4529 0.1472 0.2601 0.6900 0.4120 0.5650 0.6905 0.3024 1.0000 俄罗斯0.8390 0.6560 0.0004 0.3508 0.6429 0.0002 0.1862 0.0729 0.0000 印度0.5632 0.2339 0.6093 0.4578 0.8338 1.0002 0.1390 0.3166 0.8455 中国1.0001 0.0209 1.0003 1.0000 1.0000 0.2697 1.0000 0.5376 0.3854 南非0.0001 1.0000 0.5517 0.0978 0.0000 0.6453 0.3443 1.0000 0.8141 澳大利亚0.2128 0.0114 0.1152 0.1852 0.1133 0.1947 0.1784 0.0000 0.1011 德国0.1829 0.0000 0.2877 0.0000 0.0160 0.2079 0.0000 0.0970 0.4041 5.1.2.模型的建立(一)主成分分析评价模型建立对于经济适应度综合评价，根据9个指标可初步确立以下模型;式中; 经济适应度；第个指标数据；第第个指标权重由于评价指标较多，该模型不可直接引用，应首先通过主成分分析法对9个指标进行处理，设法将原来众多具有一定相关性的9 个指标，重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标，再进行加权求和。具体过程如下;step1.计算相关系数矩阵 利用spss对指标之间进行因子分析，求解相关系数矩阵（附录），通过对系数矩阵的观察，可以发现多个指标之间存在较大的相关性，因此在信息上会发生重叠，需要进行主成分提取。step2.主成分的提取为了提取主成分，利用 spss 进行方差分解主成分提取分析，得到总方差分解表及主成分载荷矩阵如下：表3：总方差分解表表4：主成分载荷矩阵step3主成分载荷矩阵旋转至此建立的主成分模型还只是初步模型，不能反映问题的实质特征，所代表的实际意义也不一定容易解释，因此需要进行主成分旋转，旋转后的载荷矩阵如下：表5：旋转后的主成分矩阵step4.主成分得分对主成分载荷矩阵进行旋转后，根据回归法确定主成分得分函数的系数，进而得到主成分得分函数，然后以各主成分的方差贡献率占总方差贡献率的比重作为权重，即可确立最终的主成分评价模型。对于7个国家，各主成分的得分及权重如下表;表6;各主成分得分及权重表f1f2f3巴西0.246130.78093-0.48643俄罗斯0.13548-1.734670.45087印度0.155021.21158-0.64256中国1.945520.492-0.152760.3620.142060.146南非-0.707530.683682.01005澳大利亚-0.75174-0.63033-0.75109德国-1.02287-0.15844-0.7229至此，可建立最终的主成分综合评价模型;式中; 经济适应度；第个主成分得分；第第个主成分权重（二）偏相关分析模型的建立 探究经济适应度的主要影响因素，本文通过分析指标与经济适应度之间的偏相关性，以偏相关系数大小作为选定主要原因的依据。step1.初步相关性分析由于影响经济适应度的指标较多，故首先进行各指标与经济适应度之间的简单相关分析，以相关性大小初步筛选指标，利用spss求解可得相关系数表如下;表7：相关系数表指标第一产业第二产业第三产业人均gdp财政支出经济活动人口外汇储备教育支出医疗支出相关系数0.4540.1240.5930.4450.6350.4990.4920.6920.548通过相关系数大小进行初步筛选，选取第三产业比重、财政支出、经济活动人口、医疗支出、外汇支出5个指标进行下一步的分析。step2.偏相关分析模型建立此时需要求解各个指标与经济适应度之间的关系。但由于多个变量存在，为研究任意两个变量之间的关系，需要使这两个变量有联系的其它变量都保持不变，即控制了其它多个变量的影响下，计算两个变量的相关性，因此选择建立偏相关分析模型。本文需要控制4个变量不变，因此需要建立4阶偏相关分析模型。假设经济适应度与5个指标之间的相互依存关系为：以和为例，要求解两者之间的关系，首先要清除其他变量的干扰，因此先做和之间的回归： 其中，残差部分分别为与中未被其余 4个变量解释的部分，即去掉其余变量影响后与的值。这 7个残差间的相关关系就表示了与之间的净相关关系。因为存在4个共同影响的变量，故以与为例，建立 4阶偏相关分析模型如下：符号说明：与之间的4阶偏相关系数与之间的3阶偏相关系数与之间的3阶偏相关系数与之间的3阶偏相关系数5.1.3.模型的求解(一)主成分分析评价模型求解将各国家的主成分得分代入评价模型可以求得各国家的经济适应度如下：表8：各国的经济适应度最终得分表由上表直观发现，金砖五国在经济发展方面高于其他国家，也就说明了在经济发展方面他们具有较大的优势。(二)偏相关分析模型求解利用spss求解可以分别得到经济适应度与5个指标的偏相关系数，列表如下：表9：偏相关系数表第三产业比重财政支出经济活动人口教育支出医疗支出经济适应度0.45000.9540-0.74000.899900.8570根据上表可知：有4个指标与经济适应度呈现强相关关系，因此影响经济适应度的重要原因为财政支出、经济活动人口、教育支出、医疗支出。第三产业比重与经济适应度为正弱相关关系，同样具有一定的影响，对于一个国家提高第三产业的发展力，同样会对国家的经济发展起到不小作用。财政支出、教育支出、医疗支出与经济适应度均为强正相关关系，因此若加大力度，增加在这三方面的投入，必然促进国家的经济发展；而经济活动人口对经济适应度为强负相关关系，说明经济活动人口的数目对经济发展存在较大的牵制作用，故应尽量减少经济活动中的人数需求，提高效率。5.2.问题二此问需要探讨金砖五国在经济增长优势方面的差异性，他们的差异性表现在各个指标上的差异，为了更具体地刻画，需要建立聚类分析模型，对5个国家进行分类，即可描述不同类国家之间的差异性。5.2.1.聚类分析模型的建立聚类分析是将某组对象划分为若干组的过程，使得同一组内的数据对象具有较高的相似度，而不同组间的数据对象是不相似的。聚类分析有多种办法，本文采用系统聚类进行分析。系统聚类是一种逐次合并类的办法，在规定了样品之间的而距离和类与类之间的距离后，先让个样品各自成为一类，类与类之间的距离和样品与样品之间的距离是相等的；然后，将距离最近的两个类合并；如此重复，每次循环减少一类，直至所有样品归为一类。对于聚类分析，如何定义样品之间和类之间的距离是关键，对于样品之间的距离本文采用欧氏距离去度量，以样品与为例，他们之间的距离记为，距离越小表示他们越相似。对于类别之间的距离，设两个类别分别为与，它们之间的距离定义为，两个类之间的距离一般用类中某些特殊点之间的距离来定义。由此，可以建立如下聚类分析模型;符号说明：样品之间的距离；类别之间的距离。5.2.2.聚类分析模型的求解问题一对各国的指标数据进行标准化处理，在此只需选取金砖五国的数据，如下表：表10：金砖五国的指标数据表第一产业比重第二产业比重第三产业人均gdp财政支出经济活动人口比重外汇储备教育支出医疗支出巴西0.4529 0.1472 0.2601 0.6900 0.4120 0.5650 0.6905 0.3024 1.0000 俄罗斯0.8390 0.6560 0.0004 0.3508 0.6429 0.0002 0.1862 0.0729 0.0000 印度0.5632 0.2339 0.6093 0.4578 0.8338 1.0002 0.1390 0.3166 0.8455 中国1.0001 0.0209 1.0003 1.0000 1.0000 0.2697 1.0000 0.5376 0.3854 南非0.0001 1.0000 0.5517 0.0978 0.0000 0.6453 0.3443 1.0000 0.8141 利用spss进行求解，可对5各国家进行分类，可得分类表如下;表11：最终聚类表 其中，巴西、印度、中国归为第1类；俄罗斯为第2类；南非为第3类。为描述三个类别之间的差异，对三个类别的9个指标数据进行均值统计，所得结果如下表：表12:聚类结果数据分析表类别第一产业第二产业第三产业人均gdp财政支出经济活动人口外汇储备教育支出医疗支出10.6720.1340.6230.7160.7480.6160.6090.3850.74320.8300.6560.0030.3500.6420.002 0.1860.0720.00030.0011.0000.5520.0980.0010.645 0.3441.0000.814由表可知：第一类国家为巴西、印度、中国。它们的第一产业比重与财政支出都比其他国家高一些，经济活动人口比重也比较大，但是整体经济发展会受到经济人口比重的牵制，应适当减少经济活动人口比重，提高效率。第二类国家为俄罗斯，它的第一产业比重明显高于其他国家，但是在其它指标上却大大低于其他国家，可见俄罗斯应加快经济发展力度，综合考虑各方面的发展。第三类国家为南非，它的情况较为乐观，在第三产业、教育支出、医疗支出等方面均处于第一位，说明该国正处于经济迅速发展的阶段。5.3.问题三此问需要探讨成员之间的协作分工模式，我们认为应由以下步骤组成：步骤一：首先将它们的协作分工虚拟为具体的规划问题。假定一份任务，需要多种原料，每个成员国必须提供一种原料，探讨最优方案。即可将该问题转化为线性规划问题。步骤二：建立0-1线性规划模型，求解出最优方案，即可描述各国之间的协作分工模式。5.3.1模型准备为具体描述成员之间的分工模式，首先虚拟假定出一份任务，即合作完成一单位份额的经济增长。然后将与经济增长相关的指标作为完成任务的原料，但同种原料在不同成员的成本不同，每个成员都必须提供一种原料。由问题一的相关分析可知对经济增长影响最大的5个因素为第三产业比重、财政支出、经济活动人口、教育支出、医疗支出。所以选取这5个指标作为完成任务的5种原料，而5个成员分别提供一种原料，使得总成本最少。接着考虑每种原料的成本。不同成员对同种原料的支付成本不同，成本大小与该成员国在该指标上的优势大小成反比，即在某指标上的数值越大，所需支付成本就越少。因此，本文对各成员在各指标上的数值大小进行比较，并赋予具体的原料价格，如下表所示：表13:原料价目表（美元）第三产业财政支出经济活动人口比重教育支出医疗支出巴西7499 59804450 7076 100 俄罗斯10096 3671 10098 9371 10098 印度4007 1762 98 6934 1645 中国97 100 7403 4724 6246 南非4583 100973647 100 1959 5.3.2模型建立与求解首先对于原料价格，现假设以来表示第个国家在第种原料上的价格，表13即为列表。然后引入变量表示第个国家是否采用第种原料。若采用，；若不采用，。由于一个成员提供且只提供一种原料，故在变量矩阵中，每一行都只存在一个，其余数值为。由此可得约束条件与。最终目标即可寻找最低价格，故目标函数应为。可得线性规划模型为：利用软件对模型进行求解，可以得到最优方案如下：表14：最优方案表成员巴西俄罗斯印度中国南非提供原料医疗支出财政支出经济活动人口第三产业教育支出成本（美元）10036719897100该方案的总成本为4066美元。由表可知：通过最优方案的探讨即可表示出成员之间的合作模式。巴西的医疗事业发展较快，故应当与其他成员建立医疗合作关系，促进医疗事业的共同发展；俄罗斯的财政投入变化较大，其他成员应与俄罗斯商讨财政投入的门路；印度的经济活动人口的利用率较大，故应与印度进行经济合作，提高活动效率；中国第三产业发展较快，也可通过合作关系，帮助其他成员国的产业发展；南非的教育事业发展迅速，成员之间可通过教育合作实现资源共享。5.4.问题四本问要求对金砖五国的优势进行预测，我们认为应有以下步骤组成：步骤一：对各国的指标数据进行标准化处理步骤二：以经济适应度为因变量，以4个重要指标为自变量，建立多元线性回归模型，求出它们的关系式；步骤三：建立灰色预测模型，对4个指标的未来变化进行预测，将预测值代入关系式，即可间接得到经济适应度的预测值5.4.1.数据处理本文需要建立经济适应度与4个指标之间的关系式，每个国家的数据特点不同，因此应分开求解。在模型求解中不能带入原始数据，因此需首先进行标准化处理使其量纲统一，处理公式如下:式中：第个指标标准化处理后的数据；第个指标的原始数据； 原始数据的最大值；原始数据的最小值；以中国为例，数据标准化处理后如下表;表15：中国的数据标准化处理结果第三产业比重财政支出教育支出医疗支出经济适应度20070.99880.68870.21960.68460.318120080.07750.99980.16790.37200.001020091.45500.53340.00050.99890.215920100.00100.00060.43120.49740.328120110.32310.86291.00040.00101.00055.4.2.模型的建立（一）多元线性回归模型建立对于经济适应度与4个指标第三产业比重、财政支出、教育支出、医疗支出的关系，在第一问中已经求出他们之间的偏相关系数，表明4个指标与经济适应度之间存在较大的偏相关性，为了具体刻画它们的关系，因此本文建立如下多元线性回归模型:符号说明：标准化后的经济适应度；各指标的系数；标准化后的第三产业比重；标准化后的财政支出；标准化后的教育支出；标准化后的医疗支出（二）灰色预测模型建立 对于4个指标的数据，