广东省深圳市2018届高三第二次4月调研考试数学文答案.pdf

2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第1页（共 12 页） 深圳市 2018 年高三年级第二次调研考试 深圳市 2018 年高三年级第二次调研考试 数学(文科) 数学(文科) 选择题答案 一选择题 （1）A （2）C （3）C （4）D （5）B （6）C （7）D （8）C （9）A （10）B （11）D （12）B 非选择题答案 二填空题 （13） 30 （14）16 3 （15）1009 （16）222 （12） 解析一：） 解析一： 原不等式可转化为， 2 lne2xxxxa ， 易知，当 1 e x 时( )lnf xxx取到最小值为 1 e ，且当 1 e x 时函数 2 ( )e2g xxxa取 到 最 大 值 1 + e a， 利 用 图 形 可 知 ， 11 + ee a，即 2 e a . 解析二：解析二：原不等式可转化为， 2 ln(e2 )axxxx，令( )lnf xxx， 2 ( )e2g xxx，令 ( )( )( )h xf xg x，当 1 e x 时，( )f x与( )g x同时取到最小值， min 12 ( )( ) ee h xh ， 2 e a . （16）解析：）解析：设PBA，则20sinPA，20cosPB，2020sincosPQ，总造价函数 6 (20sin20cos )5 (2020sincos )20 6(sincos )5(1 sincos )y ， 令 sincost，则 2 10( 51215)ytt，易知1, 2t，当 6 5 t 时， max 222y. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 在ABC中， 记内角ABC， ，所对的边分别为abc， ， 已知B为锐角， 且cos+ sinaB bBc. （1）求角C； （2）若 3 B ，延长线段AB至D，使得3CD，且ACD的面积为 3 3 4 ，求线段BD的长度. 解： （1）由正弦定理可知： 2 sincos +sinsinABBC. 1 分 sinsin()sincoscossinCABABAB， 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第2页（共 12 页） 2 sin=cossinBAB. 3 分 0 2 B ，sin0B ， sin=cosBA，即 coscos 2 BA . 4 分 0A， 0 22 B ， = 2 B A,即 + = 2 A B. = 2 C. 6 分 （2）设BDx，CBa. 3 ABC， = 2 ACB， = 3ACa，=2ABa，2 +ADa x. 1113 sin323 2224 ACD SAC ADAaax ， 即23aax. 8 分 在BCD中，由余弦定理可得 222 2cosCDBCBDBC BDDBC， 即 22 3xaax. 10 分 联立可解得1xa. 即=1BD. 12 分 【说明】本题考查正、余弦定理，三角形的面积公式，三角恒等变形等知识点，主要考查考生逻辑推 理能力和方程思想. （18）（本小题满分12分） 耐盐碱水稻俗称“海水稻” ，是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻.海水稻的灌溉是将海水稀释后进行 灌溉.某实验基地为了研究海水浓度x（）对亩产量y（吨）的影响，通过在试验田的种植实验，测得了 某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如下表： 绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计 算得y与x之间的线性回归方程为 0.88ybx. （1）求 b，并估计当浇灌海水浓度为8时该品种的亩产量； 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第3页（共 12 页） （2） （i）完成下列残差表： 海水浓度 i x（） 3 4 5 6 7 亩产量 i y（吨） 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差ie （ii）统计学中常用相关指数 2 R来刻画回归效果， 2 R越大，模型拟合效果越好，如假设 2=0.8 R，就 说明预报变量y的差异有80%是由解释变量x引起的.请计算相关指数 2 R，并指出亩产量的变化多大程度 上是由浇灌海水浓度引起的？ （附：残差公式 iii eyy，相关指数 2 2 1 2 1 () 1 () n ii i n i i yy R yy .） 解： （1）经计算：5x ，0.48y ， 1 分 由 0.4850.88b可得， 0.08b . 2 分 当8x 时，0.08 8024880y ， 3 分 所以当海水浓度为 8时，该品种的亩产量为0.24吨. 4 分 （2） （i）由（1）知0.080.88xy ，从而有 浓度（千分之） i x 3 4 5 6 7 亩产量 i y（吨） 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差ie -0.02 0.02 0.01 0 -0.01 8 分 （ii） 2 22222 0.00040.00040.0001 00.0001 1 0.140.10.01( 0.08)0.17 R ， 0.00164 1=0.98 0.06565 . 11 分 所以亩产量的变化有98%是由海水浓度引起的. 12 分 【说明】本题通过收集数据、分析处理数据、得出结论从而指导实践，重现了统计（尤其是回归分 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第4页（共 12 页） 析）的一般步骤；同时培养同学们分析问题、处理问题的能力，并且通过数据处理，提高考生的计算能力. （19）（本小题满分12分） 在四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD， / /ABCD， o 90BAD， M是PC的中点，N在线段AB上，且3ABAN，已知2CDADPA，3AB （1）证明：MN平面PCD； （2）将过DMN，三点的平面与侧棱PB的交点记为Q， （i）确定点Q的位置说明理由； （ii）求四棱锥PDMQN的体积 （1）证明： （法一法一）取PD的中点E，连接AEME， / /MECD， 1 = 2 MECD，/ /ANCD， 1 = 2 ANCD， / /MEAN，=ME AN，即四边形AEMN为平行四边形 / /MNAE 2 分 PAAD，E是PD的中点， AEPD 3 分 PA平面ABCD， PACD ADCDADPAA， CD 平面PAD， CDAE 4 分 CDPDD， AE 平面PCD， 即MN平面PCD 5 分 （法二）（法二） 连接PNCN，易证= 5PN CN M是PC的中点， MNPC 2 分 易证CD 平面PAD， CDPD， 1 3 2 DMPC 22 5DNADAN， 22 2MNPNPM， 222 DMMNDN， MNDM， 4 分 DMPCM， MN平面PCD 5 分 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第5页（共 12 页） （2）解： （i）Q为PB的中点 6 分 / /DNCB，CB，DN， / /BC BC 平面PBC，平面PBC平面=MQ， / /BCMQ M是PC的中点 ， Q是PB的中点 7 分 （ii） （法一）（法一）由（1）知，MNDM， 116 23 222 DMN SDM MN / / /MQBCDN， 11 = 22 MQBCDN， 16 24 QMNDMN SS 梯形DMQN的面积为 3 +6 4 DMNQMN SS 9 分 设点P到平面DMQN的距离为d，则由 P DMNN PDM VV 可得 11 33 DMNPDM SdSMN 即 161 22 323 d，故 2 6 3 d 11 分 1132 66=1 3343 P DMQNDMQN VSd 梯形 12 分 （法二）（法二） 112 =22 333 P MNDN PMDPMD VVSNM 9 分 1 3 P MNQMPNQPNQM VVSd ， 其中， 111 =2 21 222 PNQPNB SS ， 1 / /= 2 MQDNMQDN， 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第6页（共 12 页） 点M到平面PNQ的距离等于点D到平面PNQ的距离的一半，等于 1 111 =1 1= 333 P MNQMPNQPNQM VVSd 11 分 21 =+=1 33 P DMQNP MNDP MNQ VVV 12 分 （法三）（法三）连接BM P DMQNP BCDNM BCDNM BNQ VVVV 其中 118 =2 22 333 P BCDNBCDN VSPA 平行四边形 8 分 M是PC的中点，PA底面ABCD， M到平面BCDN的距离 1 1 1 2 dPA， 1 114 =2 21 333 M BCDNBCDN VSd 平行四边形 9 分 Q是PB的中点， 在BNQ中，Q到底边BN的距离 1 1 2 Q dPA 1 1 2 BNQQ SBN d 1 / /= 2 MQDNMQDN，AD平面PAB， M到平面BNQ的距离 2 1 1 2 dAD 2 111 =1 1 333 M BNQBNQ VSd 11 分 841 =1 333 P DMQNP BCDNM BCDNM BNQ VVVV 12 分 【说明】本题考查空间中线面位置关系，尤其是线面垂直与面面垂直关系，线面平行的性质与判定定 理，以及空间几何体的体积计算等知识点，重点考查学生直观想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力和 转换化归思想. （20）（本小题满分12分） 直线l经过抛物线 2 :4C xy的焦点F，且与抛物线C交于AB，两点，抛物线 C 在AB，两点处的 切线分别与x轴交于点MN， （1）证明：AMMF； 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第7页（共 12 页） （2）记AFM和BFN的面积分别为 1 S和 2 S，求 12 S S的最小值 解： （1）不妨设 11 A xy， 22 B xy，其中 22 12 12 = 44 xx yy， 由导数知识可知，抛物线C在A点处的切线 1 l的斜率 1 1 2 x k ， 则切线 1 l的方程为 1 11 () 2 x yyxx，令=0y，可得 1 (,0) 2 x M2 分 0,1F ， 直线MF的斜率 1 1 1 02 0 2 MF k x x 4 分 1 1 MF k k， AMMF 5 分 （2）由（1）可知 1 1 2 SAM MF， 其中 2 2 222 11 1111111 =1 24 xx AMxyyyyyy ， 2 1 1 =11 2 x MFy ， 1 1 2 SAM MF 11 1 (1) 2 yy 7 分 同理可得 222 1 (1) 2 Syy 8 分 121212121212 11 (1)(1)1 44 S Syyy yy yyyy y 9 分 设直线l的方程为+1ykx，联立方程 2 +1 4 ykx xy 可得 2 440xkx， 12 4x x 2 12 12 =1 16 x x yy 10 分 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第8页（共 12 页） 121212 11 222 =1 44 S Syyy y，当且仅当 12 =yy时，等号成立 12 S S的最小值为 1 12 分 【说明】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，三角形面积的最值，基本不等式等知识，重点考查 考生运算求解能力和数形结合等数学思想以及函数的观点. （21）（本小题满分12分） 设函数 1 ( )eln x f xax ，其中e为自然对数的底数 （1）若1a ，求( )f x的单调区间； （2）若0ea，求证：( )f x无零点 解： （1）若1a ，则 1 ( )eln (0) x f xx x ， 1 e1 ( )(0) x x fxx x 2 分 令 1 ( )e1(0) x t xxx ，则 1 ( )(1)e(0) x t xxx 当0x 时，( )0t x ，即( )t x单调递增 3 分 又(1)0t， 当(0,1)x时，( )0t x ，( )0fx，( )f x单调递减， 当(1,)x时，( )0t x ，( )0fx，( )f x单调递增 ( )f x的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,) 5 分 （2） （解法一法一）由 1 ( )eln (0) x f xax x 可知， 1 e ( )(0) x xa fxx x ， 当0a 时， 1 ( )exf x ，显然( )f x没有零点； 当0ea时，由（1）可知函数 1 ( )exg xxa 在0 ，单调递增， 且(0)0g，(e)0g 存在唯一的 0 (0,e)x 使得 0 ()0f x，即 0 1 0e x xa ， 7 分 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第9页（共 12 页） 当 0 (0,)xx时，( )0fx，( )f x单调递减， 当 0 (,)xx时，( )0fx，( )f x单调递增， ( )f x的最小值为 0 1 00 ()eln x f xax ， 8 分 由可知， 0 1 0e x ax ， 当时，有 0 1 0 0ee x x ， 00 ln1 1xx ，即 00 ln2xx 10 分 000 111 00000 min ()eelne1ln xxx f xf xxxxx 9 分 00 2 11 000 min e12=e10 xx f xxxx ， 上式中两个等号不同时成立 故 0 min ()0f xf x， 综上所述，函数( )f x无零点 12 分 （解法二法二） （2）当0a 时， 1 ( )e0 x f x 显然成立6 分 当0ea时， （i）当01x时，ln0ln0xax， 1 ( )eln0 x f xax 显然成立8 分 （ii）当1x 时，易证：0ln1xx， ln1e1axa xx， 11 ( )elnee(1)0 xx f xaxx 11 分 （此处可构造函数，也可利用ee x x进行放缩 ） 综上，( )0f x 恒成立， ( )f x没有零点 12 分 （解法三法三）由可知， 0 1 0 ex a x ，且 00 lnln1xax，代入式可得， 00 0 1 ()(ln1)f xaxa x ， 9 分 0 (0,e)x ， 0ea 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第10页（共 12 页） 0 0 1 2x x ，当且仅当 0 1x ，即1a 时取等号， 0 ()lnf xaaa， 令( )ln (0e)h xxxxx，则( )lnh xx ， 当(0,1)x时，( )0h x，( )h x单调递增， 当(1,e)x时，( )0h x，( )h x单调递减， 当(0,1)x时，ln0x ，则ln0xx ，即ln0xxx， 又(e)0h， 10 分 当(0,ex时，( )0h x 恒成立，当且仅当ex时取等号， 0ea， ( )ln0h aaaa， 11 分 由于 0 ()lnf xaaa，当且仅当1a 时取等号， ( )ln0h aaaa，当且仅当ea时取等号，两个等号不能同时成立， 0 ()0f x， ( )0f x恒成立， 综上所述，函数( )f x无零点 12 分 【说明】本题考查利用导数研究函数单调性、函数极值和最值以及函数零点等知识，考查考生数学 抽象，逻辑推理等能力. 请考生在 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 请考生在 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中， 直线l的参数方程为 3 2 1 2 xt yt ， ， （t为参数） ， 圆 1 C的参数方程为 1 cos sin x y ， ， （为参数） ，圆 2 C的参数方程为 4cos 44sin x y ， ， （为参数）.若直线l分别与圆 1 C和圆 2 C交于不同于 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第11页（共 12 页） 原点的点A和B （1）求圆 1 C和圆 2 C的极坐标方程； （2）求 2 C AB的面积 解： （1）由题意可知，圆 1 C的直角坐标方程为 22 (1)1xy，即 22 20xyx， 极坐标方程为2cos， 2 分 由题意可知，圆 2 C的直角坐标方程为 22 (4)16xy，即 22 80xyy， 极坐标方程为8sin. 4 分 （2）直线l