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第九章 重 积 分 一元函数积分学 多元函数积分学 重 积 分 曲线积分 曲面积分 二重积分的定义及计算 三重积分的定义及计算 重积分的应用 1 一、二重积分的定义及计算 1.定义: 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点若存在一个常数 I , 使 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界闭区域 D上的有界函数 , 则称 称为积分变量 2 说明： 表示一个确定的数值， 它只与 有关， 与D的分割法、的取法、积分变量所使 用的字母无关，即 (1 ) (2)当在闭区域D上连续时， 定义中和式的极限 必存在， 即二重积分必存在. (3)底为D，顶为的曲顶柱体的体积为： 平面薄片的质量为： 3 （4）二重积分的几何意义 即 当被积函数大于零时， 当被积函数小于零时， 二重积分 二重积分是柱体的体积 特殊地：若在D上,则 D的面积 是柱体的体积的负值. ？ 4 则面积元素为： D （5）直角坐标系下的面积元素 如果 在D上可积, 也常 二重积分记作： 这时分区域D , 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作： ？ 5 性质 (k为常数) 性质 (二重积分与定积分有类似的性质)2. 二重积分的性质 性质 性质 若 为D的面积， 性质 若在D上 则有 6 性质6 （二重积分中值定理） (二重积分估值不等式) 设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值 和最小值，为D的面积， 则 性质7设函数f(x,y)在闭区域D上连续， 为D的面积， 则在D上至少存在一点使得 7 例1. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 的大小顺序为( ) 提示: 因 0 y 1, 故 故在D上有: 8 3. 利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化 计算二重积分. 9 注意: 10 例2.(2005) 解:由轮换对称性，有 11 4. 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择积分次序） Y型 X型 如果积分区域为： 如果积分区域为： 外限定限方法-投影法 内限定限方法-平行线穿越法 12 5.二重积分在极坐标系下的计算公式 13 说明： (1)何时用极坐标？ (2)应掌握化极坐标系下的二重积分为二次积分. 定限方法-射线穿越法： 14 6. 计算二重积分的步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便 区域边界应尽量多为坐标线. 被积函数关于坐标变量易分离. 积分域分块要少. 累次积分好算为妙(首先内积分易积). (充分利用对称性，几何意义和性质等) “平行线穿越法” “射线穿越法” 15 解: 例3. 如图 则 x y o 1 1 16 例4. 计算其中D是由 所围的区域 . 解: x y o x=y+2 (4,2) (1,-1) -1 2 区域D的图形如右阴影部分， 解方程组 得交点坐标为(1,-1),(4,2), 则D： 于是 17 解: 直接用对称性. x x o o y y -1-1 1 1 1 1 y=xy=x 18 例6. 计算二重积分 其中积分区域为 1 1 解: 如图，记 于是 19 例7. 计算二重积分其中D 是由曲线 所围成的平面域 . 解: 其形心坐标为: 面积为: 积分区域 形心坐标 x x o o y y -1-1 2 2 20 例8. 如图所示 交换下列二次积分的顺序: 解: 改变积分次序 的一般步骤： (1)由二次积分将区域D用不等式组表示 ; (2)由上面不等式组作出D的图形； (3)改写成另一形式即可. 21 例9. 将表示为极坐标下的累次积分 解: 在极坐标系下, 可表示为： 于是 原式 22 例10. 设f(x)连续,则等于 2006 可表示为：解: 23 二、三重积分的定义及计算 说明： (1)叫体积元素. (3)在直角坐标系中： 于是， 三重积分记为： 其中叫做直角坐标系中的体积元素. 24 可推广到三重积分上面可推广到三重积分上面. .二重积分的相关术语及性质，二重积分的相关术语及性质， 25 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1、“先一后二” 方法2、“先二后一” 又叫“投影法” 又叫“截面法” 26 定限方法： 1.将空间闭(积分)区域投影到xoy面上， 得投影区域Dxy; 的射线穿越闭区域若入口面的方程为 出口面的方程为 则z的范围为： “投影法” 2.在投影区域Dxy内任取一点(x,y),过该点作平行于z轴 3.写出三重积分的累次积分形式 注意: 27 外限定限方法-投影法 内限定限方法-平行线穿越法 28 截面法的定限方法: x y z o z 29 2. 利用柱坐标计算三重积分 规定：规定： 柱面坐标与直角坐标的关系为柱面坐标与直角坐标的关系为: : 设设( (x x, ,y,zy,z) )为空间内一点，为空间内一点， 并并设点设点在在xoyxoy面上的投面上的投 影影的的极坐标为极坐标为则则叫叫点点的的柱面坐标柱面坐标. . (1)柱面坐标的定义： 圆柱面； 半平面； 平 面 =常数 =常数 =常数 坐标面分别为: 30 在柱面坐标系中体积元素为 因此 实际上就是把“先一后二”中的“二”用极坐标计算. 适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 31 3. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系: 坐标面分别为: 球面 半平面 锥面 常数 常数 常数 (1)球面坐标的定义： 32 在球面坐标系中体积元素为 因此有 注意：球面坐标适用范围: 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离. 33 例1. x o y x+y=1 1 1 D 计算三重积分，其中为三个坐标面 所围成的闭区域.及平面 解: 34 例2. 利用柱面坐标计算三重积分其中 解: (1) 画 图 (2) 确定 z， 的上下限 将 向 xoy 面投影，得 用极坐标表示为 过 (, )D 做平行于 z 轴的直线,得 35 即 于是 另解 用截面法： 36 结论结论1 1 补充：利用对称性化简三重积分计算 37 如果积分区域 关于平面 对称（轮换对称性） 特别地 则 注： 关于 对称，即 互换， 保持不变. 结论结论2 2 38 例3. 解: 利用对称性 39 例4. 设由锥面和球面 所围成 , 计算 解: （利用对称性） （用球坐标） 40 三、重积分的应用 问题：满足什么条件的量可用重积分解决？ 1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 分布在有界闭域上的整体量 2. 用重积分解决问题的方法 -元素法 41 元素法的步骤： 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 42 1. 几何方面： （1）面积 平面域D的面积 曲面面积公式 设光滑曲面 （2）立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为 43 解: x o y x z y =？ 44 x o y 面积为积为 45 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 46 质量, 质心,转动惯量,引力 2. 物理方面： 47 则得： 则薄片的质心坐标为： 48 例3. 解: 49 古鲁金第二定理： 平面有界闭区域D绕该平面内不与 它相交的直线旋转而成的旋转体，其体积等于D的面 积与D的形心坐标所划出的圆周之长的乘积. 证明：用元素法 如图，取D绕x轴旋转，取一个小区域 旋转体的体积为： 由于D的形心坐标为： 故 50 (3) 转动惯量 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故