圆锥曲线专题复习.doc

1 圆锥曲线专题训练圆锥曲线专题训练 一、定义 【焦点三角形】 1、已知椭圆的左右焦点为 F1、F2，P 为椭圆上一点，1 49 22 yx （1）若F1PF2=900，求F1PF2的面积 （2）若F1PF2=600，求F1PF2的面积 2、已知双曲线的左右焦点为 F1、F2，P 为双曲线上一点，1 45 22 yx （1）若F1PF2=900，求F1PF2的面积 （2）若F1PF2=600，求F1PF2的面积 3、是椭圆的两个焦点，以为圆心且过椭圆中心的 21,F F)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 F 圆与椭圆的一个交点为。若直线相切，求该椭圆的离心率。M 12 FMF与圆 4、椭圆的焦点为。点 P 为其上的动点，当 为钝角时。1 49 22 yx 21 FF、 21PF F 点 P 横坐标的取值范围为多少？ 5、椭圆和双曲线有公共的焦点、)0( 2 2 2 2 ba b y a x )0,( 2 2 2 2 nm n y m x ) 0 , ( 1 cF ，为这两曲线的交点，求的值)0 ,( 2 cF P 21 PFPF 二、方程 已知圆，从圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段，点 M 在上，9 22 yx / PP / PP 并且，求点 M 的轨迹。 / 2MPPM 2.3【定义法】 （与两个定圆相切的圆心轨迹方程） ：一动圆与两圆：都外切，则动圆的圆心01281 2222 xyxyx和 的轨迹方程是什么？ 题型 1：求轨迹方程 例 1 （1）一动圆与圆 22 650xyx外切，同时与圆 22 6910xyx内 y x M O 1 O 2 切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 （2）双曲线 2 2 1 9 x y 有动点P， 12 ,F F是曲线的两个焦点，求 12 PFF的 重心M的轨迹方程。 3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。 已知定圆 C1：，圆 C2：9 22 yx06 22 yxx 三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标） （结合向量） 直线与圆锥曲线相交的弦长计算(1)要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦 长.弦长公式： (2)对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”. 3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法 求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是 曲线的类型未知.主要方法有： 直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程 中要仔细检查“遗漏”和“多余”. 4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的 交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、 定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解 决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用. 1、已知椭圆，过左焦点F1倾斜角为的直 x y 2 2 9 1 6 线交椭圆于AB、两点。求：弦AB的长，左焦点F1到 AB中点M的长。 2、椭圆ax2+by2=1 与直线x+y-1=0 相交于A、B两点，C是线段AB的中点.若 3 |AB|=2 ，直线OC的斜率为 ，求实数a、b的值.2 2 2 例 1已知椭圆：1 9 2 2 y x ，过左焦点 F 作倾斜角为 6 的直线交椭圆于 A、B 两点，求弦 AB 的长. 1）求直线1yx被双曲线 2 2 1 4 y x 截得的弦长； （一）中点问题 一、【已知中点坐标】以定点为中点的弦所在直线的方程 例 1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦1 416 22 yx ) 1 , 2(MM 所在直线的方程。 1、在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是 _ 2、过椭圆内一点 M（2，1）引一条弦，使弦被 M 平分，求此弦所在1 416 22 yx 直线方程 3、椭圆内有一点 P（3，2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点，那么14494 22 yx 这弦所在直线的方程为 4、中心在原点，一焦点为 F1（0，5）的椭圆被直线 y=3x2 截得的弦的中2 点横坐标是，求此椭圆的方程。 2 1 二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例 3、已知椭圆的一条弦的斜率为 3，它与直线的交点恰为这1 2575 22 xy 2 1 x 条弦的中点，求点的坐标MM 已知椭圆,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程。1 2575 22 xy 4 （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线 2 2 1 4 y x 截得的弦中点轨迹方程. 三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例 5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦)50, 0(F23: xyl 的中点的横坐标为，求椭圆的方程。 2 1 四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例 6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，1 34 22 yx mmxy 4 椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。 解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，),( 111 yxP),( 222 yxPmxy 4 为弦的中点，则，),(yxP 21P P1243 2 1 2 1 yx1243 2 2 2 2 yx 两式相减得，0)(4)(3 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 即0)(4)(3 21212121 yyyyxxxx ，xxx2 21 yyy2 21 4 1 21 21 xx yy 这就是弦中点轨迹方程。xy3 21P PP 它与直线的交点必须在椭圆内mxy 4 联立，得 则必须满足， mxy xy 4 3 my mx 3 22 4 3 3xy 即，解得 22 4 3 3)3(mm 13 132 13 132 m （二） 1、已知抛物线的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 Q，直线 l 经过点 Q 与xy8 2 抛物线交于 A、B 两点； 已知直线 y=k(x+2)(k0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点，F 为 C 的焦点.若|FA|=2|FB|,则 k= 5 四、求离心率的值或范围 1.1、已知 a=2b，求 e 1.2、已知 b=2c，求 e 1.3、已知椭圆的短轴是长轴和焦距的等差中项，求 e 2、已知 a0，l 与 C 相交；=0，l 与 C 相切；0）交于 A、B 两点，O 为坐 标原点， =（-4，-12） ，求直线 l 和抛物线 C 的方程。OBOA 11、设椭圆 C：的左右焦点分别为 F1、F2，A 是椭圆 C 上的一点，且1 2 2 2 2 y a x =0，坐标原点 O 到直线 AF1的距离为|OF1| 212 FFAF 3 1 （1）求椭圆的方程。 （2）设 Q 是椭圆 C 上的一点，过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 F（-1，0） ，交 y 轴 于点 M，若 i，求直线 l 的斜率。|2| QFMQ 10 12、已知抛物线 y2=x+1，定点 A（3，1） ，点 B 为抛物线上任意一动点，点 P 满 足，当 B 点在抛物线上运动时，求动点 P 的轨迹方程。BABP 2 1 13、已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为，过点 C（- 3 3 1，0）的直线交椭圆于 A、B 两点，且，求当AOB 的面积达到最大BCCA2 值时直线和椭圆的方程。 圆锥曲线的综合应用及其求解策略圆锥曲线的综合应用及其求解策略 有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：、定点与定值问题；、最值 问题；、求参数的取值范围问题；、对称问题；、实际应用问题。 解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的 相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等） ，再 结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类 讨论思想和数形结合思想的灵活应用。 一、定点、定值问题：一、定点、定值问题： 这类问题通常有两种处理方法：这类问题通常有两种处理方法：、第一种方法：是从特殊入手，先求、第一种方法：是从特殊入手，先求 出定点（或定值）出定点（或定值） ，再证明这个点（值）与变量无关；，再证明这个点（值）与变量无关；、第二种方法：是直、第二种方法：是直 接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值） 。 【例题 1】已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交 22 2xyFF 于 A、B 两点，又已知点的坐标是 （I）证明为常数；（II）C(10)，CA CB 11 若动点满足（其中为坐标原点） ，求点的轨迹方MCMCACBCO OM 程 解：由条件知，设，(2 0)F， 11 ()A xy， 22 ()B xy， （I）当与轴垂直时，可求得点 A、B 的坐标分别为，此ABx(22)，(22)， 时则有(12) (12)1CA CB A， 当不与轴垂直时，设直线的方程是代入ABxAB(2)(1)yk xk ，则有则是上述方程 22 2xy 2222 (1)4(42)0kxk xk 12 xx， 的两个实根， 所以，于是 2 12 2 4 1 k xx k 2 12 2 42 1 k x x k 2 12121212 (1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CBxxy yxxkxx A 222 1212 (1)(21)()41kx xkxxk 2222 2 22 (1)(42)4(21) 41 11 kkkk k kk 22 ( 42)411kk 综上所述，为常数CA CB A1 （II）设，则，()M xy，(1)CMxy ， 11 (1)CAxy ， 22 (1)CBxy ， ，由得：即于( 10)CO ，CMCACBCO 12 12 13xxx yyy ， 12 12 2xxx yyy ， 是的中点坐标为AB 2 22 xy ， 当不与轴垂直时，即ABx 12 12 2 2 2 2 2 y yyy x xxx 1212 () 2 y yyxx x 又因为 A、B 两点在双曲线上，所以，两式相减得 22 11 2xy 22 22 2xy ，即 12121212 ()()()()xxxxyyyy 1212 ()(2)()xxxyyy 将代入上式，化简得 1212 () 2 y yyxx x 22 4xy 12 当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的ABx 12 2xx(2 0)M，M 轨迹方程是 22 4xy 点拨：点拨：本题中“为常数”的证明，采用特殊位置“当与CA CB AB 轴垂直时”可轻易得出= -1；接下来再从一般情况“当不与轴xCA CB ABx 垂直时”去加以论证，有了明确的目标，推理计算就要容易得多了！ 【例题 2】已知 A,B 为椭圆(ab0)和双曲线的公共顶点, 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab P,Q 分别为双曲线和椭圆上不同于 A,B 的动点,且有+=(+) (R,|1),设 AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为 k1,k2,k3,k4,求证: k1+k2+k3+k4为一个定值. 解、点 A(-a,0)；B(a,0)；由+=(+),依据向 量加法的平行四边形法则,则有 O、Q、P 三点共线；设 P(x1,y1)、 Q（x2，y2）,则 - =1,则 x12-a2 = y12； k1+k2 = + x12 a2 y12 b2 a2 b2 y1 x1 + a = = ； y1 x1 - a 2x1y1 x12 - a2 2b2 a2 x1 y1 同样有 k3+k4= ；由于 = ， 所求的定值为 0。 - 2b2 a2 x2 y2 x1 y1 x2 y2 点拨点拨：本题中的特殊位置难以确定，因而采用直接推理、计算；并逐渐化 简，从而得到其定值为 0。 二、最值问题：二、最值问题： 常见解法有两种：几何法与代数法。常见解法有两种：几何法与代数法。若题目中的条件或结论能明显体若题目中的条件或结论能明显体 现某种几何特征及意义，或反映出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形现某种几何特征及意义，或反映出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形 的性质或圆锥曲线的定义来求解，这就是几何法；的性质或圆锥曲线的定义来求解，这就是几何法；将圆锥曲线中的最将圆锥曲线中的最 值问题通过建立目标函数，转化为二次函数或三角函数的最值问题，再值问题通过建立目标函数，转化为二次函数或三角函数的最值问题，再 充分利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去充分利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去 求解。求解。 【例题 3】 、抛物线 x2=4y 的焦点 F 和点 A(-1,8),P 为抛物线上一点,则 |PA|+|PF| 最小值是( ) A 6 B 9 C 12 D 16 若将上题中点 A 的条件改为 A(3,1),其它不变,则 应为_ 13 解析：由抛物线定义，可知当 A、P、H（如图 1）三点共线时，|PA|+|PF|最 小，其最小值为 9。 条件改动之后，则当 A、P、F 三点共线时（如图 2） ，|PA|+|PF|最小，其最 小值为 3。 点拨点拨：本题的求解，主要是扣住了抛物线的定义，充分挖掘图形的特 征，从而解决所求之问题。运用几何法求解，解答过程简单、明了，但对综合 运用图形的几何性质（或把握曲线定义的灵活运用）的能力要求较高。 【例题 4】设是抛物线的焦点设 A、B 为抛物线上异于原点的F 2 :4G xyG 两点，且满足，延长，分别交抛物线于点 C、D，求四边形0FA FB AAFBFG 面积的最小值ABCD 解：设，；由题意知，直线的斜率存在，由对称性， 11 ()A xy， 22 ()C xy，ACk 不妨设0k 因直线过焦点，所以直线的方程为点 A、C 的坐标满AC(01)F，AC1ykx 足方程组 2 1 4 ykx xy ， ， 得，由根与系数的关系知 则有： 2 440xkx 12 12 4 4. xxk x x ， 22222 12121212 ()()1()44(1)ACxxyykxxx xk 因为，所以的斜率为，从而的方程为同理可ACBDBD 1 k BD 1 1yx k 求得 2 2 2 14(1) 4 1 k BD kk 当时，等号成立所 22 2 22 18(1)1 8(2)32 2 ABCD k SAC BDk kk 1k 以，四边形面积的最小值为ABCD32 点拨点拨：本题首先通过计算，建立好四边形面积的函数表达式，然后根ABCD 据其函数特征，转化出均值不等式的形式，再利用均值不等式求出其最小值。 【例题 5】在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切xOyO34xy （1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于 A、B 两点，圆内的动点使OOxP 成等比数列，求的取值范围PAPOPB，PA PB A 解：（1）依题设，圆的半径 等于原点到直线的距离，即OrO34xy 14 ；得圆的方程为 （2）不妨设 4 2 1 3 r O 22 4xy 由即得 1212 (0)(0)A xB xxx， 2 4x ( 2 0)(2 0)AB ， 设，由成等比数列，得()P xy，PAPOPB， ， 222222 (2)(2)xyxyxyA 即由于 22 2xy( 2) (2)PA PBxyxy AA， 22 4xy 2 2(1).y 点在圆内，故由此得所以的取值范围PO 22 22 4 2. xy xy ， 2 1y PA PB A 为 2 0) ， 点拨：点拨：本题同样是先通过计算，建立好“”的函数表达式，PA PB A 然后依据“点在圆内” ，得出相应的约束条件“” ，从而得出所求。PO 2 1y 三、求参数的取值范围范围问题：三、求参数的取值范围范围问题： 求参数的取值范围问题，常用的解决方法有两种：求参数的取值范围问题，常用的解决方法有两种：、第一种是不等式、第一种是不等式 （组）求解法（组）求解法根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组）根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组） ，通过，通过 解不等式（组）再得出参数的变化范围；解不等式（组）再得出参数的变化范围；、第二种、第二种是函数的值域求解法：是函数的值域求解法： 把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化 范围。范围。 【例题 6】 、若圆 x2+(y-1)2= 1 上的任一点 P(x,y),有不等式 x+y+c0 恒成立， 则 c 的取值范围是_ 解：可设；则有 cos+sin+1+c0 恒成立，即有 c - cos sin1 x y (cos+sin+1)恒成立， c-1 为所求。 2 点拔：点拔：本题通过圆的参数方程进行三角代换，将所求问题转化成求三 角函数的最值的问题，从而简捷易解。 【例题 7】 （2007 年福建高考题1414 分分）如图，已知，直线(10)F ， ，为平面上的动点，过点作 的垂线，垂足为点，且:1l x PPlQ QP QFFP FQ AA （）求动点的轨迹的方程；PC （）过点的直线交轨迹于两点，交直线 于点FCAB，lM O y x11 l F 15 （1）已知，求的值； 1 MAAF 2 MBBF 12 （2）求的最小值MA MB A 解析：（）由得：，QP QFFP FQ AA()0FQ PQPF A ，() ()0PQPFPQPF A 22 0PQPF PQPF 所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：PCC 2 4yx （） 、 （1）：由已知，得则： 1 MAAF 2 MBBF 12 0 A 1 2 MAAF MBBF 过点分别作准线 的垂线，垂足分别为，则有：AB，l 1 A 1 B ； 1 1 MAAAAF MBBBBF 由、得：，即 1 2 AFAF BFBF 12 0 （） 、 （2）：设直线的方程为：AB1(0)xmym 设，又，联立方程组， 11 ()A xy， 22 ()B xy， 2 1M m ， 2 4 1 yx xmy ， ， 消去得：，x 2 440ymy 2 ( 4 )120m 12 12 4 4 yym y y ， 2 2 12 1 MM MA MBmyyyy A 22 1212 (1)() MM my yyyyy 2 2 24 (1)44mm mm 2 2 4 (1) 4m m 22 22 11 4(2)4 2216mm mm A 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为 2 2 1 m m 1m MA MB A16 点拨点拨：本题中“求的值” ，首先是建立好条件不等式组，再化简 12 计算得出所求。 P B Q M FO A x y 16 四、对称问题：四、对称问题： 包括两种情形：包括两种情形：、中心对称问题：常利用中点坐标公式求解；、中心对称问题：常利用中点坐标公式求解；、轴对、轴对 称问题：主要抓住以下两个条件去处理称问题：主要抓住以下两个条件去处理-垂直，即已知点与对称点的连垂直，即已知点与对称点的连 线与对称轴垂直；线与对称轴垂直；中点，即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上。中点，即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上。 【例题 7】如图, 直线 y=x与抛物线 y=x24 交于 A、B 两点, 线段 AB 的垂 2 1 8 1 直平分线与直线 y=5 交于 Q 点. (1) 求点 Q 的坐标；(2) 当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含点 A、B) 的 动点时, 求OPQ 面积的最大值. 解析:(1) 解方程组 得 或者； 即 2 1 y= x 2 1 y= x -4 8 1 1 4 2 x y 2 2 8 4 x y A(4,2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1). 由 kAB=,直线 AB 的垂直 2 1 平分线方程 y1=(x2). 2 1 令 y=5, 得 x=5, Q(5,5) (2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0, 设 P(x, x24). 点 P 到直线 OQ 的距离； 8 1 d=, ,SOPQ= 2 4 8 1 2 xx 328 28 1 2 xx25OQ 2 1 dOQ .328 16 5 2 xx P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上, 4x0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点； 、从几何角度来看：直线与圆锥曲线的位置关系对应着相交（有两个交点） 、相切（有一个公共点） 、相离（没有公共点）三种情况；这里特别要注 意的是：当直线与双曲线的渐近线平行时、当直线与抛物线的对称轴平行 时，属于相交的情况，但只有一个公共点。 2 2、直线被圆锥曲线截得的弦长问题：直线被圆锥曲线截得的弦长问题： 、直线与圆锥曲线有两个交点 A（x1,y1)、B(x2,y2) ，一般将直线方程 L：y=kx+m 代入曲线方程整理后得到关于 x 的一元二次方程则应用弦长公式： |AB|=；或将直线方程 L:x= y +t 代入曲线方程整理 22 1212 (1) ()4kxxx x 1 k 后得到关于 y 的一元二次方程则应用弦长公式：|AB|= ； 2 1212 2 1 (1) ()4yyy y k 、过焦点的弦长的求解一般不用弦长公式去处理,而用焦半径公式会更简捷; 、垂直于圆锥曲线的对称轴的焦点弦长称为圆锥曲线的通径,其中椭圆、 19 双曲线的通径长都为,而抛物线的通径长为 2p； 2b2 a 、对于抛物线 y2=2px（p0)而言，还有如下的焦点弦长公式，有时用起来 很方便：|AB|=x1+x2+p；|AB|= (其中为过焦点的直线 AB 的倾斜角） 2p sin2 3 3、直线与圆锥曲线相交的中点弦的的问题直线与圆锥曲线相交的中点弦的的问题, ,常用的求解方法有两种：常用的求解方法有两种： 、设直线方程为 y=kx+m，代入到圆锥曲线方程之中，消元后得到一 元二次方程，再利用根与系数的关系去处理（由于直线方程与圆锥曲线方程均未 定，因而通常计算量较大） ； 、利用点差法：例如在椭圆内有一定点 P（x0,y0),求以 P 为中点 22 22 1 xy ab 的弦的直线方程时，可设弦的两端点为 A（x1,y1)、B(x2,y2) ，则 A、B 满足椭 圆方程，即有两式相减再整理可得： = - 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab (x1 + x2) (x1 - x2) a2 ；从而可化出 k= = = (y1 + y2) (y1 - y2) b2 y1 - y2 x1 - x2 (x1