高数第一章映射与函数.ppt

第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 第一节 映射与函数 集合与映射 函数的概念 函数的几种特性 反函数与复合函数 初等函数 建立函数关系举例 1 1 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 一、集合与映射 1.集合 集合：具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 有限集 无限集 如且中有不在的元素， 的真子集，记为 则称是 若则必就说是的子集， 记作 2 2 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 数集分类:N-自然数集Z-整数集 Q-有理数集 R-实数集 数集间的关系: 例如 不含任何元素的集合称为空集. 例如, 规定空集为任何集合的子集. -正整数集 如果且则称集合和相等， 3 3 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 2.实数集 定义1设如果存在数使得对一切 都有则称有上(下)界, 定义2 设是一个非空数集,若存在一个上(下)界 使得对的一切上(下)界都有则称 是的上(下)确界, 定理1 任何一个非空的实数集如果有上(下)界, 则必有上(下)确界. 如果数集既有上界又有下界,则称 是有界的, 为的 一个上(下)界. 称 是无界的.否则称 记为 4 4 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 区间是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个 实数叫做区间的端点. 称为开区间 , 称为闭区间 , 5 5 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 称为半开区间, 称为半开区间 , 有限区间 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 6 6 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 7 7 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 3.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 注意 常量与变量是相对“过程”而言的 . 而数值变化的量称为变量. 常量与变量的表示方法： 通常用字母等表示常量, 用字母 等表示变量. 8 8 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 4.映射 定义3设是两个非空集合,若对每个 按照某个确定的法则有唯一确定的与它对应, 则称是到的一个映射,记作 或 其中称为在映射下的像， 称为在映射下 的一个原像(或逆像),称为映射的定义域, 记为 或所有元素的像的全体所构成的集 合称为的值域,记为或即 9 9 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 映射的两个基本要素：定义域与对应法则 设如果则称是一个满映射， 如果对中的任意两个不同元素有 则称是一个单射， 如果一个映射既是满射，又是单射 则称是个一一映射. 如果是个一一映射，则对每个有唯一的一 个适合规定则就是到 上的一个映射，称为的逆映射，记为 1010 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 其定义域值域此时也 称是可逆映射. 设则对每个对应唯一 的一个从而对应唯一的一个 这样就确定了一个从集合到集合的映射, 这个映 射称为和所确定的复合映射,记为即 任意两个映射则当且仅当 1111 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 5.绝对值: 运算性质: 绝对值不等式: 1212 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 二、函数概念 例 圆内接正多边形的周长 圆内接正n 边形 O r ) 1 函数的定义 1313 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 因变量自变量 定义4 数集 叫做这个函数的定义域 。 记作 则称映射 为定义在上的一个函数， 是一个给定的数集，设 函数的值域. 1414 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 自变量 因变量 对应法则f 函数的两要素: 定义域与对应法则. 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意 义的一切实数值. 1515 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个，这种函数又称为单值函数 . 如果给定一个法则,按照这个法则,对每个 有多个确定的与之对应,这样的一个法则称为多值 函数 一个多值函数可以分成几个单值函数来讨论 例1求函数的定义域. 解函数的的定义域为满足不等式 例如 1616 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 既满足因此 函数的定义域为 2 函数的图形 定义5 1717 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 (1) 符号函数 3 函数的表示法 1 -1 x y o 函数常用的表示法有公式法,图示法,表格法. 几种常用的函数 1818 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 (2) 取整函数 表示不超过 的最大整数 (3) 绝对值函数 1919 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 (4) 取最值函数 y x o y x o 2020 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. 2121 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 例2 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图 所示,写出电压U与时间 的函数关系 式. 解 2222 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 单三角脉冲信号的电压 2323 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 例3 解 故 2424 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 三 函数的几种特性 1 函数的奇偶性 偶函数 y xox-x 2525 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 奇函数 y xox -x 2626 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 2 函数的单调性 x y o 2727 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 x y o 2828 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 3 函数的周期性 （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 设函数的定义域为 且 则称为周期函数,称为函数的周期. 如果存在一个不为零的 数使得对于任一 2929 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 M -M y x o y=f(x) X 有界无界 M -M y x o X 4函数的有界性 3030 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 四 反函数与复合函数 1 反函数 定义6设函数是一一映射,则其逆映射 称为函数的反函数,记为 称函数为直接函数. 由定义可知,若函数存在反函数 则 (1) 对于的任意两个数定有 3131 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 (2)与互为反函数,且 (3) DD 3232 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 习惯上用字母表示自变量,表示因变量, 函数 的反函数经常表示成 例4 讨论函数的反函数. 解函数的定义域值域由于对于 有两个自变量值 都满足关系式因此此函数不存在反函数. 但如果将函数的定义域限制在则函数 的反函数为 的反函数为 3333 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 例5求函数 的反函数. 解当时,得 当时,得 当时,得 3434 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 2 反函数的图形 直接函数与反函数的图形关于直线 对称. 3535 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 3 复合函数 定义7 同复合映射一样， 函数可以构成复合函数 当且仅当如果时, 我们可以 通过改变的定义域来构造复合函数. 3636 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个 复合函数的; 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合 构成. 3737 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 例6 解 3838 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 综上所述 3939 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 五 初等函数 (2)幂函数 1 基本初等函数 (1)常数函数(其中为已知常数). 4040 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 (3)指数函数 4141 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 (4)对数函数 4242 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 (5)三角函数 正弦函数 4343 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 余弦函数 4444 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 正切函数 4545 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 余切函数 4646 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 正割函数 4747 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 余割函数 4848 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 (6)反三角函数 4949 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 5050 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 5151 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 常数函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和 反三角函数统称为基本初等函数. 5252 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 2 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数. 多项式函数 其中 有理函数 其中 5353 第一节第一节 映射与函数映射与函数 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 奇函数. 偶函数. 3 双曲函数 5454 第一节第