1804浙江五校高三联考数学试题及答案.pdf

数学试题卷第 1页（共 4 页） 20172017 学年浙江省高三学年浙江省高三“五校联考五校联考”第二次考试第二次考试 数学试题卷数学试题卷 命题学校：宁波效实中学 说明说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分全卷共 5 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟请考生按规 定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上 参考公式 柱体的体积公式：V=Sh，其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高； 锥体的体积公式：V= 3 1 Sh，其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高； 台体的体积公式： 1122 () 1 3 VhSS SS ，其中 S1, S2分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高； 球的表面积公式：S = 4R2，球的体积公式：V= 4 3 R3，其中 R 表示球的半径； 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B) ； 如果事件 A, B 相互独立, 那么 P(AB)=P(A)P(B) ； 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率 Pn(k)= k n C pk(1p)n-k(k = 0,1,2, n) 第卷（选择题部分，共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1设集合 2 |1| 1, |log2Ax xBxx ，则 R BC A=（） A.2,4B.(2,4C.0,4D.(2,4(,0) 2若复数z满足(1)1ziii （其中i为虚数单位） ，则z的虚部为（） A 12 2 B 2 1 2 C 2 1 2 i D 2 1 2 i 3已知随机变量(4, )XBp，若 8 3 EX ，则(2)P X （） A. 8 3 B. 8 27 C. 2 3 D. 4 9 4设, a b是两条直线，, 是两个平面，则“a b”的一个充分条件是（） A.,ab B.,ab C.,ab D.,ab 5如图，设A、B是半径为 2 的圆O上的两个动点，点C为AO中点， 则CO CB 的取值范围是（） A 1,3B1,3C 3, 1 D 3,1 （第 5 题图） 数学试题卷第 2页（共 4 页） 6 64 (1) (1)xx的展开式中x的系数是 （） A4B.3C.15或3D.4 7点D是ABC的边AB的中点，120ABC ， 3 2 CD AB ，若以A、B为焦点的双曲线恰好经过 点C，则该双曲线的离心率为（） A. 71 3 B. 51 2 C.21D.3 1 8. 若cossintan0 2 ，则（） A) 6 , 0( B) 4 , 6 ( C) 3 , 4 ( D) 2 , 3 ( 9已知ABC的三边长分别为a、b、c，有以下四个命题： （1）以,abc为边长的三角形一定存在； （2）以2 ,2 ,2 abc 为边长的三角形一定存在； （3）以 333 ,a b c为边长的三角形一定存在； （4）以,abc bca cab为边长的三角形一定存在 其中正确命题的个数为（） A.1个B.2个C.3个D.4个 10已知函数 2 ()1,0 ( ) 21,0 xaa x f x xaax 的最小值为21a ，则实数a的取值范围是 （） A.1a B.01aC.0a 或1a D.0a 或1a 第卷（非选择题部分，共 110 分） 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分，共 36 分 11已知213 66 loglogx ，则x的值是 12若实数x，y满足 1 |21| xy yx ，则xy的最大值为， 22 xy的取值范围为 数学试题卷第 3页（共 4 页） 13. 一个三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为， 其外接球的体积是 14点G是ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边 分别交于M、N两点，且AMxAB ，ANyAC . 若 1 2 x ， 则y ，若 2 3 AMNABC SS ，则xy 15已知正项等比数列 n a的前n项和为 n S，若 510 1,S S成 等差数列，则 105 2SS， 1510 SS的最小值为 16将一个44正方形棋盘中的 8 个小正方形方格染成红色，使得每行、每列都恰有两个红色方格，则有 种不同的染色方法 17棱长为36的正四面体ABCD的内切球上有一动点M，则 1 3 MBMC的最小值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （本题满分 14 分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c， 且 22 ()(22)bcabc， 2 sinsincos 2 C AB （）求角A和角B的大小； （）已知当Rx时，函数)sin(cossin)(xaxxxf的最大值为 3 2 ，求a的值 19 （本题满分 15 分）如图，四棱锥ABCDP 的底面是梯形./ /,1,BCAD ABBCCD 2AD ， 13 2 PB ，3PAPC （）证明；ACBP； （）求直线AD与平面APC所成角的正弦值. （第 14 题图） （第 13 题图） 数学试题卷第 4页（共 4 页） 20.（本题满分 15 分） （）求证： 1 ln1 x xx x ； （）设函数 11 1 ln1 fxx xx ()求证：( )f x是减函数； ()若不等式 1 1+ n a e n 对任意nN恒成立（e是自然对数的底数） ，求实数a的取值范围. 21.（本题满分 15 分）如图，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 离心率为 1 2 ，焦距为2. （）求椭圆C的方程； （）直线l与椭圆切于点P，OQl，垂足为Q，其 中O为坐标原点.求OPQ面积的最大值 22 （本题满分 15 分）已知正项数列 n a满足 1 4a ， 2 1 1 ln3 nnn aaa n ，nN （）求证：4 n an； （）求证： （第 21 题图） 1 20172017 学年浙江省高三学年浙江省高三“五校联考五校联考”第二次考试第二次考试 数学答案数学答案 第第卷（选择题共卷（选择题共 4040 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1B2A3B4C5A6B7A8A9B10C 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 110110 分）分） 二、填空题二、填空题: :本大题共本大题共 7 7 小题小题, ,多空题每题多空题每题 6 6 分分, ,单空题每题单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分分 112125, 1 ,13 5 13262 34, 125 2 3 141, 2 9 151,41690174 33 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （本题满分 14 分） 解： （）由 22222 ()(22)2,bcabcbcabc得 222 2 cos, 22 bca A bc . 4 A 4 分 由 2 cossinsin 2C BA，得 21cos sin 22 C B 3 2sin1cos() 4 BB 即 22 sincossin()1 224 BBB ，且 3 4 BC 故. 4 B 8 分 （） sin2cos2 ( )sin (cossin ) 22 xaxa f xxxax 22 113 sin(2) 22222 aaaa x 2 解得 4 3 a 14 分 19 （本题满分 15 分） 解答： （） , , ACFPAPCPFACABBCBFAC ACPBFACPB 取中点 ，由得由得 面 6 分 , ,120 ABCPACFACACBP ACPCACPBC PBCABCDPBFPFB 两等腰和中， 是边中点，得面， 面面在中，由余弦定理计算（9分）（下面三 （） 种解法） 222222 1, 3397 ,3,2cos60, 4444 21 sin. 14 ACPFBPACPFBPFG EGPACEPGAC PFPCCFPEPFEFPF EF EG EPG PE 方法（定义法）面面面过点E作EG于 则面，故即为所求直线与平面PAC 所成的角，EG=EFsin60o o Q 15 分 2, 2121 ,sin 714 PACDD PAC ABCD h VDPACh AD 方法（体积法）作POBE，则由面PBE面可得PO面ABCD, 由V解得点 到面距离从而 3(OOBx OyACy 方法 向量法）在方法2的情景下，以点 为空间坐标系原点，为 轴正方向， 作为 轴建立空间直角坐标系P 20 （本小题满分 15 分） 解: （）设 2 1 ln ,01 2 10, xx g xxxfxx xx x g xg xg 可得： 所以是增函数，得即欲证成立. （5分）L L （） 2 2 22 22 1 1 ln ln 1 ln01 1ln1ln x x x x xx x fxxx xxxxx 即欲证成立.（10分）L L min 11 1,ln1,1,2 1 1 1,21.15 ln2 xnNaxxaf x nx f xxaf x 设得题设即其中,亦即恒成立 由题知在为减函数，故（ 分）L L 21 （本题满分 15 分） 3 解： （）椭圆C的离心率为 1 2 ，则 2222 4 ,3ac bc，设 22 22 :1 43 xy C cc 1c，故椭圆C的方程为 22 1 43 xy 6 分 （）设直线:PB ykxm，联立 22 1 43 xy 得 222 (34)84120kxkmxm由0 得 22 3 4km 由此解得 2 84 2(34) P kmk x km 9 分 由:PB ykxm联立 1 :OQ yx k ，解得 2 1 Q km x k 2 2 4 1 1 kmk PQk km 2 2 2 14 1 221 1 OPQ PQOQmkmk Sk km k 12 分 2 2 111 2 124 2 1 kk k k 当1k 时取等号 综上： max 1 () 4 OPQ S15 分 22 （本题满分 15 分） 证明： （）首先利用ln1xx，可得 2 11 1 3ln1 nnnn aaaa n 即 2 1 1 4 nnn aaa n 3 分 以下用数学归纳法证明：4 n an 当1n 时，显然成立； 假设nk时，不等式成立，即4 k ak，则1nk时， 由函数 2 1 ( )4f xxx k 的单调性可得 22 1 11 4(4 )441244(1) kkk aaakkkk kk 这就是说1nk时不等式也成立； 4 由可知4 n an对nN均成立7 分 （）易知 121 11111 22226 n