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第五节第五节 幂级数幂级数 一、幂级数及其收敛性 二、 幂级数的一致收敛性 三、 幂级数的和函数的性质 四、 幂级数的运算 一、幂级数及其收敛性 1.定义: 2.收敛性: 证明 由(1)结论 几何说明 收敛区域 发散区域发散区域 推论 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 规定 问题如何求幂级数的收敛半径? 证明 由比值审敛法, 定理证毕. 例2 求下列幂级数的收敛区间: 解 该级数收敛 该级数发散 发散 收敛 故收敛区间为(0,1. 解缺少偶次幂的项 级数收敛, 级数发散, 级数发散, 级数发散, 原级数的收敛区间为 三、 幂级数的和函数的性质 *二、幂级数的一致收敛性 由幂函数的和函数的连续性可知,这个和函数s(x)在x=0 处是连续的,事实上有 四、幂级数的运算 1.代数运算性质: (1) 加减法 (其中 (2) 乘法 (其中 柯 西 乘 积 (3) 除法 (相除后的收敛区间比原来 两级数的收敛区间小得多) 2.和函数的分析运算性质: (收敛半径不变) (收敛半径不变) 解 两边积分得 解收敛区间(-1,1), 常用已知和函数的幂级数 小结 2.幂级数的收敛性:收敛半径R 3.幂级数的运算:分析运算性质 1.函数项级数的概念: 思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那 么它的收敛域是否也不变？ 思考题解答 不一定. 例 它们
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