《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄第十一章答案.pdf

第十一章 线性算子的谱 1 设0,1, ()( )( ),XCAx ttx txX=。证明( )0,1A=，且其中没有特征值。 证明证明 当0,1时，常值函数 1 不在IA 的值域中，因此IA 不是满射，这样 ( )A。 反之若0,1，定义算子 1 :( )RRx t t = 。则由于0,1，且 11 max( ) ( ,0,1) a t b R xx tx td = 因此R是 C0，1中有界线性算子。 易验证()()RIAIA RI =，所以( )A。 总之( )0,1A=， 若Aff=，则对任意t，( )( )tf tf t=，可推得( )0f t =。由于( )0,1f tC， 必有( )0f t ，所以 A 无特征值。证毕。 2 设0,2 ,()( )( ),. it XCAx te x txX=，证明 ( )1A =。 证明证明 对任意 000 ,() ( )() ( ) itititit ee IA x teex t=。 因为常值函数 1 不在 0 it e IA的值 域中，因此 0 ( ) it eA。这样1( )A =。 反之，若1 ，定义 1 :()( )( ) it RR x tx t e = 。类似第 1 题可证R是有界线性算 子，且()()RIAIA RI =。即( )A。 因此( )1A =。证毕。 3 设 2 1223 ,( ,)(,) nn XlAxA x xxxxx=LLLL， 试求( )A。 解解 对 任 意， 若1 。定义算子R，若 2 12 ( ,) n xx xxl=LL， 12 12 111 (,) n n R xxxx = LL 易验证 1 ( ,) R xx dF ，且()()RITIT RI =。 因此( )TF。 若 n F， 且 2 12 ( ,) n xx xxl=LL，使Txx=。则对任意 n， nnn xx=。 由于 n ，则0 n x =，1,2,n =L。这样 x=0，因此不是特征值，而是连续谱。证 毕。 5 设为线性算子 n A的特征值，则的 n 次根中至少有一个是算子 A 的特征值。 证明证明 设是 n A的特征值，的 n 次根为 12 , n L。 存在0x ， 使()0 n AI x=， 则 12 ()()()()0 n n AI xAIAIAI x=L。 若 1 ()0AI x=，则 1 就是 A 的特征值，否则必有某 i， 11 ()()()0 ii AIAIAI x L， 而 11 ()()()0 ii AIAIAI x + =L， 则 1i +是 A 的特征值。证毕。 6 设 A 为 Banach 空间 X 上的有界线性算子， 0 ( )A，又设 n A为 X 上一列有界线 性算子，且lim0 n n AA =，证明当 n 充分大后， n A也以 0 为正则点。 证明证明 00 () nn IAIAAA= 1 00 ()() () n IA IIAAA =。 当 n 充分大时， 1 0 () ()1 n IAAA 时， 1 1 0 () n n n A RAI + = =， 1 R A 。 证明证明 当A 时幂级数 0 1 n n n A = 收敛，因此级数 1 0 n n n A + = 必按算子范数收敛。 1 111 0000 ()()1 nnnn nnnn nnnn AAAA IAIA + + = = 这就证明了 1 1 0 () n n n A AI + = =， 11 00 1 n n nn nn AA R A + = = 。 证毕。 8 设 A 为 X 上的有界线性算子，,( )A ，则 ()RRR R =。 其中与,RR 的意义同第 7 题。 证明证明 在等式 11 ()()RRIAIA =两边左乘R右乘R得 ()()()RRRIAIA RRR =。 因此()RRR R =，证毕。 9 设 A 是 Hilbert 空间 H 上的有界线性算子，A*为 A 的共轭算子，证明 ( *)( )( )AAA = 证明证明 先证若 T 是 Hilbert 空间 H 上的有界线性算子，若 T 可逆，则 T*也可逆，且 11 ( *)()*TT =。 事 实 上 ， 对 任 意, x yH， 11 ,()*x yTTx yx TTy =，所以0 ij q =，()ij， 2( ) ,1,2, b iii a qpx dx i= L。 这样决定 k c的方程组 1 ,1,2,. n kiki i cq ckn = = L。 变为 ()0 kkk qc=，1,2,.kn=L。因此 1 kkk q = 就是此积分算子的全体非零特征 值。对应每一个 kk q，其相应的特征函数为 k p。 显然由 12 , n p ppL张成的有限维线性子空间 M 的正交补空间M 中任一非零函数 都是相应于 0 的特征函数。 16若( , )cos(),0,.K s tsts t=+，求积分算子 K 的特征值和特征函数。 解解 cos()cos cossin sinststst+= cos cos( sin )( sin ),stis it=+。 令 1122 ( )( )cos ,( )( )sin ,p tq ttp tq tit= 可验证 12 0 ,cos * sin0p pt itdt + 3 4 sin1, (1) kk k see = =+= ，因此 1122 3 4 1,11,1,1sin kk k eeeeees = = 所以 444 sin1sin1sin (1)1 sss =+ = + 是积分方程的解。 本题及第 16 题也可以用待定系数法直接解得。 18解方程 2 0 ( )3( )32.sxss dsx=+ 。 解解 11 ( , )3,3 ,K x sxspqx= 2 2 111 0 3 38, 8 qx dxex = 。 。 设 23 3 , 8 x e e L为 20,2 L的完全规范正交系，由本章5 定理 1， 2 0 2 133 ( )(32)*32, 1 888 kk k