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第七章 晶体中电子在电场和磁场中的运动 v 在一定条件下,把晶体中电子在外场中的运动当作 准经典粒子来处理。 v 解含外场的波动方程 处理晶体中电子在外场中的运动所采用的方法: 条件:外场较弱、恒定,不考虑电子在不同能带间的 跃迁,不涉及电子的衍射和干涉等。 7.1准经典运动 一、波包与电子速度 设波包由以k0为中心,在k的范围内的波函数组 成,并假设k很小,近似认为 不随k而变 对于一确定的k ,含时的Bloch函数为 在晶体中,可以用含时间的Bloch函数来组成波包。 一维情况: 波包 令 分析波包的运动,只需分析2,即概率分布即可。 令 0 波函数主要集中在尺度为 的范围内, 波包中心为:w0 即 若将波包看成一个准粒子,则粒子的速度为 布里渊区的宽度:2/a 即 三维情况:电子速度为 条件:k很小 以a为周期,并不会改变波包的形状。 v 电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向,即沿等 能面的法线方向。 l 在一般情况下,在k空间中,等能面并不是球面,因 此,v的方向一般并不是k的方向; 电子的运动方向决定于等能面的形状 l 有当等能面为球面,或在某些特殊方向上,v才与k的 方向相同。 kx ky k v v 电子运动速度的大小与k的关系 以一维为例: l 在能带底和能带顶,E(k)取极值, 在能带底和能带顶,电子速度v0 l 在能带中 的某处, 电子速度的数值最大 与自由电子的速度总是随 能量的增加而单调上升是 完全不同的。 二、电子的准动量 在外场中,电子所受的力为F,在dt时间内,外场 对电子所做的功为Fvdt 功能原理: l 当F与速度v垂直时,可由冲量定理证明在垂直于v 的方向上, 和外力F的分量也相等。 l 在平行于v的方向上, 和F的分量相等; 这是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式,具 有与经典力学中牛顿定律相似的形式。 电子的准动量 v 晶体中的电子在碰撞过程中所贡献的动量为 。 v Bloch电子的行为类似于波长 为 的平面波,再由de Broglie关系得其 具有 的动量。 三、电子的加速度和有效质量 晶体中电子准经典运动的基本关系式: 由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。 1. 一维情况 引入电子的有效质量: 在周期场中电子的有效质量m*与k有关 E(k)取极小值, E(k)取极大值, v 在能带底: v 在能带顶: m*0; m* 0; 在能带顶: 电子从外场所获得的动量小于它交给晶格的动量,因而 表现为具有负的有效质量m*F晶时,m* 0;而当F外 0,则k0点为能带底;k/a为能带顶 电子速度: 有效质量: 在k=/2a处, v(k)分别为极大和极小;而m* 。 在能带底k=0和能带顶k=/a处,电子速度v(k)=0; 一、在k空间中的运动图象 若沿-x方向加一恒定电场,电子受力:F=e 沿+x方向 这表明电子在k空间中做匀速运动。 由 在准经典运动中,电子在同一能带中运动。电子在k 空间中的匀速运动意味着电子的能量本征值沿E(k)函数曲 线周期性变化,即电子在k空间中做循环运动。 电子在k空间中的循环运动,表现在电子速度上是v随 时间作周期性振荡。 二、在实空间中的运动图象 E x =0 AB C 电子速度的周期性振荡也就是电子在实空间中的振荡。 附加电势能: E x v 由于电子在运动过程中不断受到声子、杂质和缺陷的 散射,上述的振荡现象实际上很难观察到。若相邻两 次散射(碰撞)间的平均时间间隔很小,电子还来 不及完成一次振荡过程就已被散射。 在晶体中: 10121013 s,a 31010 m 为了观察到电子振荡的全过程,要求 T l 对金属:无法实现高电场 满足要求所需加的电场: 104 105 V/cm l 对绝缘体:将被击穿 电子振荡周期: v 在准经典运动中,当电子运动到能隙时,将全部被 反射回来。而根据量子力学,电子遇到势垒时,将 有一定概率穿透势垒,而部分被反射回来。电子穿 透势垒的几率与势垒的高度(即能隙Eg)和势垒的 长度(由外场决定)有关。 7.3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释 在k空间中,对于同一能带有 对于同一能带,处于k态和处于k态的电子具有 大小相等方向相反的速度。 当没有外加电场时,在一定温度下,电子占据k态 和k态的概率相同,这两态的电子对电流的贡献相互 抵消。所以,无宏观电流I0。 在有电场存在时,由于不同材料中电子在能带中的 填充情况不同,对电场的响应也不同,导电能力也各不 相同。 一、满带、导带和近满带中电子的导电能力,空穴概念 v 近满带:能带的绝大部分能态已填有电子,只 有少数能态是空的 v 满 带:能带中所有的能态均已被电子所填满 v 导 带:能带中只有部分能态填有电子,而其 余的能态为没有电子填充的空态 1. 满带 满带中电子的对称分布不会因外场的存在而改变 ,所以不产生宏观电流,I0。 2. 导带 在外电场的作用下,导带中电子的对称分布被破坏, 产生宏观电流,I 0 。 3. 近满带和空穴 假设近满带中有一个k态中没有电子,设I(k)为这 种情况下整个近满带的总电流。设想在空的k态中填入 一个电子,这个电子对电流的贡献为ev(k)。但由于填 入这个电子后,能带变为满带,因此总电流为0。 在有外场时,由于近满带中仍有少量没有电子占据 的空态,所以在外场的作用下,电子也会发生能级跃迁 ,导致电子的不对称分布,所以, I0。 在有电磁场存在时,设想在空状态k中仍填入一个电 子形成满带。而满带电流始终为0,对任意t时刻都成立。 作用在k态中电子上的外力为 这表明,近满带的总电流就如同一个带正电荷e,其 速度为电子在空状态k中的速度。 而在能带顶附近,电子的有效质量为负值,m* 几个eV 常规半导体:如 Si:Eg 1.1eV; Ge: Eg 0.7 eV GaAs: Eg 1.5 eV 宽带隙半导体:如 SiC: Eg 2.3 eV 4HSiC: Eg 3 eV 如Al2O3: Eg 8 eV;NaCl: Eg 6 eV 导带 空带 空带 价带价带 Eg Eg 导体 非导体 半导体绝缘体 :106105(cm)102 109(cm)1014 1022(cm) v 半导体的本征导电性 在一定温度下,价带顶附近的电子可以被热激 发到导带中,从而在电导底有少量的电子,价带顶 有少量空穴。因此,在一定温度下半导体具有一定 的导带性,称为半导体的本征导电性。 电子跃迁的概率 exp(-Eg/kBT) 在一般情况下, Eg kBT,所以,电子的跃迁 概率很小,半导体的本征导电率很小。 温度升高,电子的跃迁概率指数上升,半导体 的本征导电性迅速增大。 v 半导体的非本征导电性:半导体通过适当掺杂,改变 电子在能带中的填充情况而获得的导电性。 T = 0T 0 导带 施主 价带 N型 ET = 0T 0 导带 受主 价带 P型 E 绝缘体的带隙很宽,Eg 几个eV,在一般情况下, 电子很难从价带顶被激发到空带中,所以,绝缘体一般 都没有可观察到的导电性。 例如:NaCl的带隙近似为Eg 6eV,在常温下 跃迁概率 电子密度:As: 2.11020 cm-3 Sb: 5.7 1019 cm-3 Bi: 2.7 1017 cm-3 Cu: 8.45 1022 cm-3 半金属:介于金属与半导体之间的中间状态 例:As、Sb、Bi都是半金属 电阻率:Bi:c 127 10-6 (cm) c 100 10-6 (cm) Sb:c 29.310-6 (cm) c 38.4 10-6 (cm) Cu: 1.55 10-6 (cm) Al: 2.5 10-6 (cm) 金属的电阻率 导电率: 电阻率: v 在高温下,当T D时, T 金属的电阻率来自电子在运动过程中受到声子、 晶体中的缺陷和杂质的散射,因而与温度有密切关系。 v 在低温下,当TD时,晶体中所有振动模式都能被热激发, 频率为j的声子的平均声子数为 在低温下,当TkBT,因 此几乎所有杂质原子都处于基态。 如果电子在与杂质的散射中把能量交给杂质原子,电 子能量将失去过多,以致费米球内没有空态可以接纳它。 因此,杂质散射所产生的电阻与温度无关,它是T0时的 电阻值,称为剩余电阻。 T 102/(200K) 如: (0)1.7109(cm)的 Cu样品,R103,相当于其杂质 浓度为2 105。在纯度很高的样 品中, R可高达106,而在合金样 品中, R可降至1左右。 通常,可用室温电阻率与(0) 之比R来表征样品的纯度。 在金属中,其导带部分填充,导带中有足够多的载 流子(电子或空穴),温度升高,载流子的数目基本上 不增加。但温度升高,原子的热振动加剧,电子受声子 散射的概率增大,电子的平均自由程减小。因此,金属 的导电率随温度的升高而下降,与半导体的本征导电率 随温度的升高而迅速上升是明显不同的。 T 半导体 金属 需要指出的是,理想导体与超导体是有区别的。 超导体的两个基本特征: Meissner效应(完全抗磁性) 零电阻现象 三、几个实例 v 贵金属(Cu、Ag和Au)的情况(fcc结构)与碱金属 相似,也是典型的金属导体。 v 碱金属晶体结构:体心立方( bcc),每个原胞中 有一个原子。碱金属原子基态:内壳层饱和,最外 层的 ns态有一个价电子。 如Li:1s22s1;Na:1s22s22p63s1 由N个碱金属原子结合成晶体时, 原子的内层电 子刚好填满相应的能带,而与外层ns态相应的能带却 只填充了一半。因此,碱金属是典型的金属导体。 碱金属的费米面贵金属的费米面 由于在这些晶体中,与ns态相应的能带与上面的能带发生 重叠,因此,2N个ns电子尚未填满相应的能带就已开始填 入更高的能带,结果使得这两个能带都是部分填充的。 v 第三族元素与碱金属的情况类似,只不过这时形成导 带的是np电子,而不是ns电子。所以,第三族元素的 晶体绝大多数为金属。 v 对于二价的碱土金属元素,与碱金属元素相似,其最 外层有两个ns电子。 如Be原子基态:1s22s2;Mg:1s22s22p63s2等 N个碱土金属原子中有2N个ns电子,应刚好填满其相 应的 ns能带而形成非导体。但实际上它们是金属导体 ,而不是非导体。 当Na原子与Cl原子结合成NaCl晶体时,Na的3s带比 Cl的3p带高约6 eV。在能量较高的Na的3s带中的N个电子 就转移到能量较低的Cl的3p带中,刚好填满Cl的3p带, 而Na的3s带成为空带,其能隙Eg 6 eV,所以,NaCl晶 体为绝缘体。 周期表中第四族及其以上的元素,由于其电子态和 结合形式比较复杂,所以必须经过具体计算之后,才能 判断是金属还是非金属。 对绝缘体,如:NaCl晶体 Na原子基态:1s22s22p63s1 Cl原子基态:1s22s22p63s23p5 四、X射线发射谱 电子在价电子能带中的填充情况可以用X射线发射 谱实验来验证。 1s 2s 2p 价电子 能 带 K L1 L2 L1:外层电子落入2s态所 发射的X射线; K:外层电子落入空 的1s态而发射的X 射线; L2:外层电子落入2p态所 发射的X射线。 发射谱的强度: X射线发射谱的强度可较直接地反映价电子能带的 能态密度状况。 EEF N(E) 7.4 在恒定磁场中电子的运动 v 求解含磁场的Schrdinger方程 一、恒定磁场中的准经典运动 准经典运动的基本方程 讨论晶体中电子在恒定磁场中运动的方法: v 准经典近似:优点是简单且物理图象清晰,缺点是 有些量子效应无法从准经典近似中得出。 1. 在k空间中的运动图象 在k空间中电子的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等 能面的交线,即电子在垂直于磁场的等能线上运动。 在k空间中,电子作循环运动 沿磁场方向k的分量不随时间而变, 即在k空间中,电子在垂直于磁场B的平面内运动。 (Lorentz力不做功) 电子的能量E(k)不随时间而变,即电子在等能面上运动 电子的循环周期: 回转圆频率: 对自由电子:电子的回旋轨道为圆 在等能线上,kconst. k 2. 在实空间中的运动图象 在实空间中,电子的运动轨迹为一螺旋线。 对于自由电子: 如设磁场沿z 轴方向,有 在实空间中电子的运动图象:沿磁场方向(z方向 ),电子作匀速运动,在垂直于磁场的平面内,电子作 匀速圆周运动。 回转频率: 对于晶体中的电子 在主轴坐标系中有 若磁场方向取在z轴方向,BBk,即可写出其相 应的准经典运动方程。 二、自由电子的量子理论 在没有磁场时,自由电子的哈密顿量为 当有磁场存在时,电子运动的哈密顿量为 A: 磁场的矢势, 若磁场B沿z方向,则可取 由于哈密顿算符中不含x和z, H和px、pz有共同本征态 设为其共同本征态,有 波函数: 代入波动方程 与及对易 其中 这是中心位置在y=y0,振动圆频率为0的线性谐振子 解为 Nn为归一化因子,Hn(y)为厄密多项式 相应的能量本征值为 n=0, 1, 2, 根据量子理论,在垂直于磁场平面内的匀速圆周运 动对应于一种简谐振动,其能量是量子化的,我们将这 些量子化的能级称为朗道能级。 三、晶体中电子的有效质量近似 晶体中电子在磁场中运动时,其哈密顿量为 其中,U(r)为 晶体的周期性势场 在有效质量近似的框架内,前面我们对自由电子的 讨论可以推广到晶体中的电子,只需用电子的有效质量 m*代替自由电子的质量m即可。 一般半导体材料中,在导带底和价带顶附近常常 可以采用有效质量近似。对有些金属材料(如碱金属 )有时也可以采用。 在有些情况下,可将哈密顿量近似写成 有效质量近似 四、电子回旋共振和De HaasVan Alphen效应 1. 电子回旋共振 将一晶片垂直置于磁场中,若沿磁场方向输入一频 率为的交变电场,且EB。 B e h 讯号 当0时,电子回旋与电 场同步,电子吸收电场能 量达到极大,这种现象称 为电子回旋共振。 从量子理论的观点,电子吸收了电场的能量,相当于实 现了电子在朗道能级间的跃迁。测量回旋共振的频率0 ,即可算出电子(或空穴)的有效质量m*。 电子回旋共振不仅可以测量载流子的有效质量m* ,还可以根据出射波的偏振方向来判断电场的能量是被 电子还是被空穴吸收的。 电子回旋共振被广泛地用来测定半导体导带底电子 或价带顶空穴的有效质量,研究其能带结构。 在半导体的导带底或价带顶附近,其等能面一般为 椭球面。 当发生电子回旋共振时, 这里,m*为电子回旋共振的有效质量,与外加磁场的方 向有关。 在主轴坐标系中,有 其中,、为磁场在主轴坐标系中的方向余弦。 由于电子在运动过程中会受到声子、晶格缺陷以及杂 质的散射,因此,为了能观察到回旋共振现象,必须满足 01,其中是电子在相邻两次碰撞间的平均自由时间。 通常,实验都必须在极低温度(液He温度)下,选用 高纯的单晶样品,以提高值,同时加强磁场以提高0 。 近年来,利用红外激光为交变讯号源,可以观测到非常清 晰的共振线。 2. De HaasVan Alphen效应 我们将磁化率随磁场的倒数1/B作周期振荡的现象 称为De HaasVan Alphen效应。 这种现象与金属费米面附近的电子在强磁场中的行 为有关,因而与金属的费米面结构有密切关系,这些现 象是研究金属费米面结构的有力工具。通过测定De Haas Van Alphen效应的振荡周期,确定极值的面积,就可 以相当准确地勾画出费米面的形状。 金属的导电率、比热等物理量在低温强磁场中也有 类似的振荡现象。 7.5 金属绝缘体转变 在一定条件下,金属和绝缘体可以相互转变。 一、纳米金属的量子尺寸效应 对于宏观大小的晶体,电子的能级是准连续的。 根据自由电子论,在费米面附近电子的能态密度为 费米能: 当粒子的大小从宏观尺度减小到纳米尺度时,金属 费米面附近的电子能级将从准连续变为离散能级,半导 体纳米颗粒存在最高被占据能级和最低未被占据能级, 能隙变宽的现象,称为量子尺寸效应。 在费米能附近,电子的能级密度为 费米能附近的能级间距为 当能级间距与热振动能、静磁能、静电能、光 子能量或超导凝聚能相当时,就必须考虑量子尺寸效 应,从而导致纳米微粒的电、磁、光、声、热和超导 电性与宏观晶体的特性明显不同。 例:Ag的电子密度n=61022cm3,可估算出在1K时出 现量子尺寸效应的临界晶粒尺寸dc。 这意味着在很低温度下,d 14 nm的Ag纳米粒子 将出现量子尺寸效应。 实验上也发现,当Ag纳米粒子的尺寸d 10 nm时, 在液氮温区,纳米Ag块体的电阻率比常规Ag高几个数量 级,并且其温度系数也由正变为负值,表现出非金属的导 电特性。 1206h 1306h1506h 在纳米块体材料中,存在大量的晶粒间界。而在 晶粒间界,原子的排列偏离周期性排列,晶粒尺寸越 小,在晶粒间界的原子数就越多,对电子运动的散射 就越强。 粒间界的散射是造成纳米金属高电阻的主要原因。 纳米金属块体的电阻可以看成是由两部分组成: l 晶粒电阻 l 界面电阻 v 当晶粒尺寸大于电子的平均自由程时,晶粒内对电 子的散射起主要作用,晶粒越大,电阻及电阻温度 系数就越接近常规粗晶材料,这时因为常规粗晶材 料的电阻主要以晶粒内的散射为主。 v 当晶粒尺寸小于电子的平均自由程时,晶粒间界对 电子的散射起主要作用。这时材料的电阻以及电阻温 度系数明显偏离粗晶材料,甚至会出现负电阻温度 系数。 二、Wilson转变 在紧束缚近似情况下,能带的宽度取决于近邻原子 间电子波函数的重叠积分,原子间距越小,电子波函数 的重叠就越多,所形成的能带就越宽。 在高压下,原子间距变小,就有可能出现能带的重 叠,从而实现绝缘体向金属的转变。 实验发现,在足够高的压强下,许多非导体材料 可以实现价带与导带的重叠,而表现出金属导电性的 特征,材料的电阻率可降低几个数量级,同时电阻率 的温度系数也由负值变为正值,材料也呈现出典型的 金属光泽。 例如:在33 GPa下可使Xe的5d能带与6s能带的发生重 叠,实现金属化转变。 这种与能带是否交叠相对应的金属绝缘体转变 称为Wilson转变。 三、Peierls转变 设有一一维单原子晶体,原胞大小为a,每个原子 中只有一个价电子。根据能带论,此晶体为金属导体, 其导带刚好填充了一半,费米波矢为kF=/2a。 如相邻原子发生一小位移,这时,原胞大小就从a 变为2a,每个原胞中有两个原子。相应的布里渊区边界 从/a移到/2a,恰好落在费米面上。 由于电子能量在布里渊区边界时发生突变,即有能 隙存在,使得电子系统的能量降低。 这种由于原子的位移畸变,导致能带分裂,使电 子在能带中的填充情况发生变化,从导带变成满带, 从而由金属变为绝缘体。这种转变称为Peierls转变。 EF 满带 空带 导带 0 对于能带不是填充半满的情况,设费米波矢为kF,那 么当位移后的晶格常数为a=/kF时,将从金属转变为绝 缘体。如a/a为有理数时,称为公度转变;若为无理数时 ,则称为无公度转变。在链状固体或片状固体中已观察 到Peierls转变。 例:Methylethylmorphorlinium tetracyanoquinodimethanide (有机导体)在335 K发生Peierls转变。 四、Mott转变 当晶格常数很大,晶格中原子间的相互作用可以忽 略时, ns能带就退化为孤立原子的ns能级。而在孤立原 子极限下,每个原子都是电中性的,电子被束缚在原子 周围,是相当局域化的。 考虑一个由其价电子只有一个ns电子的原子(如 Na)所结合成的晶体。根据能带理论,其价电子能带 是半满的,因此晶体为金属导体

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