《管理统计学》马庆国著.ppt

第五章 参数假设检验 构造假设构造假设 什么是“假设检验” 处理“可信度”的基本概念 判断样本统计量值与总体(参数)假设值之间是否存在可 以观察到的差值，以及这种差值在统计上是否明显. 可以观察到的差值 由于随机原因 或者或者 存在实质性的差别 5.1 假设检验的概念 假设检验可分为：参数假设检验和非参数假设检验。 1、参数假设检验： 已知总体分布，猜出总体的某个参数（假设H0），用一组 样本来检验这个假设是否正确（是接受还是拒绝H0 ）。 2、非参数假设检验： 猜出总体分布（假设H0），用一组样本来检验这个假设是 否正确（是接受还是拒绝H0 ）。 在检验中，我们通常设法保证“弃真”（以真为假）的错误 的概率很小，也就是概率 P拒绝H0 | H0为真很小。这是我 们在假设检验时，分析问题的主线。 原假设 (H0) 对被研究的总体参数做试探性的假设 备择假设 (HA) 原假设(H0)的对立面 H0 和 HA 是两个对抗性陈述 - 被观察的样本数据只能支 持其中一个陈述 . 构造假设构造假设 双尾 左侧尾部 右侧尾部 构造假设构造假设 举例举例： 一个电灯泡生产商想生产平均寿命为1,000小时的灯泡，如 果灯泡寿命太短，他就会失去客户；如果灯泡寿命太长，生 产成本则会上升。为此，他从灯泡中抽取了一个样本来观察 其平均寿命是否可以达到1,000小时。请构造H0 和 HA。 H0 : = 1,000 HA : 1,000 vs.vs. 构造假设构造假设 一名销售经理要求其销售人员将每天的交通费用控制在100 元之内，为此，他从日常交通费用中抽取了一个样本来检查 是否将有关费用控制在规定的范围内。请构造原假设和备择 假设。 举例举例: : H0 : 100 HA : 100 vs.vs. 统计意义上的“对”与“不对”，就有可能犯错误。 当我 们认为参数的某个假设 H0 正确时（接受假设H0时）, 有可 能假设 H0 本身是错误的，而我们把它当作正确的，称犯 了第二类错误（“存伪”的错误），我们应当保证犯这种错 误的概率很小，也就是概率=P接受H0 | H0为假很小。 反之，当我们拒绝假设H0 时，也可能犯“以真为假”的错误 （“弃真”的错误）,称为犯第一类错误。当然，我们也希望 所犯的“以真为假”错误的概率很小，也就是 =P拒绝H0 | H0为真很小。 两类错误两类错误 =第I类错误的概率 = Pr拒绝 H0 | H0 为真 显著水平 =第II类错误的概率 = Pr接受 H0 | H0 为假 与 之间的关系 与 之间具有反向关系 当进行假设检验时，必须预先确定与 哪个更重要 为了防止错误拒绝 H0 尽量减少拒绝H0 的机率 降低 ，提高 为了防止错误接受H0 尽量减少接受H0 的机率 提高，降低 举例举例: : 测试一座桥梁是否可以安全地承受至少50吨的运输量 a)你是想犯第I 类错误还是第II类错误？ b)你是采用较低的显著水平还是较高的显著水平？ H0 : 50而HA : 显著水平 ()接受 H0 p值 100 n = 36, = 3, 而且 = 101, 利用Z分布 1. 1. 2. 2. 3. 3. 检验统计量 与总体均值有关的决策与总体均值有关的决策 临界区域 99 %的面积 = 0.01 CV = 2.325 Z TS = 2.0 4. 4. 5. 5. 6. 6. 右侧尾部检验 , = 0.01 临界值 = 2.325 检验统计量落在临界区域之外 接受 H0 数据显示：当显著水平 = 0.01时，每包药品的剂量不大 例：已知生产线上生产出来的零件直径服从正态分布，已 知方差为0.09(毫米2) , 现有假设 H0 ：=10(毫米). 这个假设 可以是生产标准的要求. 现有一组样本观测值: 10.01, 10.02, 10.02, 9.99 (在实际问题样本容量大些更好). 请判断这批零件的平均直径 =10(毫米)是否正确. 解: 首先设: 原假设H0 ：=10(毫米) 备择假设H1 ：10(毫米) 其次: 构造一个统计量, 要满足: a. 其分布和参数已 知; b . 在已知条件下, 能算出这个 统计量. 构造统计量为: 设原假设H0成立, 如果原假设H0是正确的, 我们希望拒绝 H0(犯错误)的概率很小, 也就是 P( |Z| k ) = 很小. 称为显著性水平. /2 /2 -kk 算得该 z =0.067, （取=0.05 ）小于 k= z 0.025=1.96, 所以 不应当拒绝假设H0 ：=10(毫米). 与总体均值有关的决策与总体均值有关的决策 未知 大样本 无论X服从什么分布，当样本容量 n 30时，可以用样 本标准差s来估计未知标准差 近似服从以下参数的正态分布 检验统计量 与总体均值有关的决策与总体均值有关的决策 一家大型电子商店的信贷经理说，该商店赊购帐户上的平均余额 为575元。一名审计人员随机抽取了33名顾客作为一个样本，结果 发现赊购帐户上的平均余额为518.5元、标准差为181元。如果信贷 经理的陈述得不到数据支持，审计人员将检查所有的赊购帐户。 请问当 = 0.05时，审计人员应当采取什么行动？ 举例举例: : H0 : = $575 而 HA : $575 n = 33, = 518.5, s = 181, 而且 利用 Z分布 1. 1. 2. 2. 与总体均值有关的决策与总体均值有关的决策 /2 = 0.025 Z 95%的面积 /2 = 0.025 CV = 1.96CV = 1.96 TS = 1.79 3. 3. 检验统计量 4. 4. 双尾检验 , = 0.05 临界 值= 1.96 5. 5. 6. 6. 检验统计量落在临界区域之外 接受 H0 当 = 0.05时，数据看来支持信贷经理的陈述 审计人员无需 审查所有的赊购帐户 。 与总体均值有关的决策与总体均值有关的决策 未知 小样本 X的分布是正态分布或接近正态分布 当样本容量 n 0 （这是作为备择假 设出现） 例：已知生产线上生产出来的零件抗剪强度服从服从正态 分布，以往的数据表明抗剪强度的均值 0 =10(毫米). 现在 改用一种新材料来生产该零件，得到一组零件的抗剪强度 的样本观测值: 10.01, 10.02, 10.02, 9.99. 请问：改用新材料后，零件的平均抗剪强度是否提高？ /2 /2 解: 首先作原假设H0 ：= 0 =10(毫米) 备择假设H1 ： 10(毫米) 其次: 构造一个统计量, 也要满足: a. 其分布和参数 已知; b . 在已知条件下, 能算出这个 统计量. 构造统计量为: 由 P( T t0.05 ) = , 取=0.05. 算得 t0.05 =2.3534由样本点 算得 t =14.14. 有 t t0.025. 所以接受备择假设. 零件的抗 剪强度得到提高了. 5、关于正态总体的方差2的检验 关于正态总体的假设检验，分为如下两种情况： （1）未知均值 ，假设H0 ： 2 = 02 ，通过样本观测值 x1，x2，xn ， 检验H0 是否成立； （2）未知均值 ，假设H0 ： 2 02 （反之亦然），通 过样本观测值 x1，x2，xn ， 检验H0 是否成立。 第一种情况： 未知均值 ，检验假设H0 ： 2 = 02 是否成立； 例：已知生产线上生产出来的零件直径服从正态分布，长 期以来直径的根方差 = 0.3, 现材质改进, 抽出20个样本, ( 这里只给出20个样本的方差s2 = 0.16). 请判断该生产线的方差是否改变? 解: 首先作原假设H0 ：总体方差 2 = 02 =0.09 备择假设H1 ：总体方差 2 02 =0.09 其次: 构造一个统计量, 也要满足: a. 其分布和参数 已知; b . 在已知条件下, 能算出这个 统计量. 构造统计量为: 在原假设下, 由 P(2 2/2 ) = /2 或 P(2 21-/2 ) = /2 取 = 0.05, 算得 20.025 (19) = 32.9, 20.975 (19) = 8.91, 2 =33.7778. 有2 20.025 (19) = 32.9. 所以拒绝原假设, 接受 备择假设.生产线的方差有改变. (犯错误的概率只有0.05) 第二种情况： 未值均值 ，检验假设 ： 2 02 是否成立； 例：已知生产线上生产出来的零件直径服从正态分布， 长期以来直径的根方差 = 0.3, 现材质改进, 抽出9个样本, (这里只给出20个样本的方差 s2 = 0.352). 请判断该生产线的方差是否会小于0.09 ? 解: 作原假设H0 ：总体方差 2 02 =0.09 备择假设H1 ：总体方差 2 0.25 (回答者依据知识选择答案, 聘用) 这是单侧检验问题, 任意一个应聘者回答10个问题,相当 于从总体 B(1, p) 分布中抽出10个样本X1, X2,X10, 进而得 到均值函数X. 但我们不知道统计量X的分布形式, 所以不 能直接用 X 做统计检验. 但知道统计量 Y= X1+X2+ X10 的分布, 即 Y服从 二项分布B (n, p), n=10, 并该统计量中含 有要检验的参数 p, 因此, 我们可以用统计量 Y 来做参数的 检验问题. 这里, Y的含义就是(某应聘者)答对题目的个数. 设 r 是Y 的观测值. 当正确回答题目的个数 r 大于等于阀值 k 时, 就 拒绝原假设H0 , 认为某应答者的正确比例大于 0.25 的假设( 即不是随机猜出的). 如果在某个 r 大于等于 k 时就拒绝H0 , 那么在回答正确的题目数为 r +1, r +2, ,时, 也应当拒绝 H0.于是应有: 式中, k是拒绝H0的答对的最少题目数. 取 k = 6 时, 由所有大于等于k 的 r 计算出的概率之和为 0.0197 = 0.05. 一个B(1, p)总体的小样本比例值 p 的检验问题 有关某类个体在总体中的比例问题，本质上是用B（1 ，p）分布的样本X1，X2，, Xn 来检验均值 p 和先验值p0 的关系问题。 统计量 X 的均值和方差是已值的，但是不知道X的分 布形式，所以不能直接用均值函数做假设检验。 统计量 Y = X1+X2+ Xn的分布，是二项分布B（1，p ），完全已知的，并且包含要检验的参数 p，所以可以用 统计量 Y 来作为假设检验。 所以, 拒绝H0 , 认为回答者不是猜的,是靠知识回答的,可以 及格, 此时犯错误(本来是猜的,结果猜对了6道题以上)的概 率最大只是5%的可能. 首先做零假设H0 ：p=p0，备择假设H1 ： p p0 设k是拒绝H0的阀值(Y k 就拒绝H0), k的外侧概率为 , 也就是 P(Y k) = , 用Y的概率计算公式 (二项分布的概率计算公式), 把大于 等于 k 的 Y 概率都加起来, 这个概率和应当小于等于. 其中: 所以, 从Y= r = n的概率开始, 加 Y = r = n-1的概率,直 到其概率的和要超过为 为止, 此时的 r-1 就是k(拒绝 H0 的阀值). 2. 一个0-1总体的大样本比例值的参数检验 例: 一个卖男士衬衣的邮购店, 从过去的经验中总结出有15% 的购买者说衬衣的大小不合身,要求退货. 现在这家邮购店改 进了邮购定单的设计, 结果在接下来出售的500件衬衣中, 有 60件要求退货. 问: 在 5% 的 水平上, 改进后的退货的比例 与原来的退货比例有无显著性差异? 分析: 对每个购买者而言, 买来的衬衣只有两种可能的情况: 合身, 不合身. 按照过去经验, 不合身的概率为15%, 此时随机 变量 X = 1; 合身的概率是 0.85, 此时 X = 0. 从总体角度看, 即总体服从0-1分布 B(1, p)中 p = 15%. 于是由500个随机样本X1, X2,X500 构成的统计量 Y = X1+X2+ X500 服从二项分布 B (500, p). 根据题目, 可以模 仿上题来解决. 但现在的样本观测值是x1，x2，xn ， n=500, 由于n 很大, 且np=500 0.15=7510, 已足够大, 故根 据中心 极限定理, 样本均值 X 服从正态分布: , x = p, 2x= p(1-p)/n. 从已知得到不合身的比例 (退货的比例) 为 x =60/500, 即 . 统计量 X 符合做假设检验条件(分布已知, 含参数), 于是 设: 原假设H0 ：p = 0.15 备择假设H1 ：P 22 (3) 未知两个总体的方差12 , 22, 但知道12 = 22, 检验假设 H0 ： 1= 2 (4) 未知两个总体的方差12 , 22, 但知道12 22, 检验假 设H0 ： 1= 2 于是, 检验的顺序是: 当1, 2, 12 , 22均未知时, 先做 (1) , 即 检验12 = 22成立否? 若证实12 = 22, 再做(3), 检验假设H0 : 1 = 2成立否? 若不能证实12 22, 再做(4), 检验假设H0 : 1 = 2成立否? 对第(1)与第(2)个问题而言, 显然应当用 F 统计量来检验: 服从 F (n-1, m-1)分布 1. 对问题 (1): 未知两个总体的均值1, 2 , 检验假设H0 ： 12 = 22 , H1 ：12 22 由于假设H0是总体方差12 = 22 , 所以，F统计量可以 简化为：F = S12/S22 服从 F（n-1，m-1）分布。 备择假设H1为： 12 22，这是一个双尾检验。（注意： F分布是非对称的）所以，检验分析式为： 根据观测值，计算出F的观测值 f 值，与查表值f/2与f1-/2 比较，就行了。（注意：如果查表时查不到f1-/2 ，就应 用f1-/2 =1/ f/2来计算。） 2. 对问题 (2): 未知两个总体的均值 1, 2 , 检验备择假设 H1 ：总体方差 12 22 由于备择假设是H1 ：12 22 , 所以这是一个单尾检验 问题. 此时, H0 仍设定为 12 = 22 , 以便利用统计量 : F = S12/S22 . 拒绝 H0 而接受 H1 的表达式为: PF f= 根据观测值，计算出 F的观测值 f 值，与查表值f比较， 就行了。 3. 对问题 (3): 未知两个总体方差12 , 22, 但知道12 = 22, 检验假设H0 ：1= 2 由于已知12 = 22 , 要检验的零假设H0是 1= 2 (此时的 备择假设是1 2 ), 为此12 = 22条件下引入一个新的 T 统计量: 服从 t (m