统计物理学习题课-田浩.ppt

统计物理学基础 一、基本概念：热力学系统、外界、宏观量、微观量、 平衡态、状态参量、状态方程 二、宏观量和微观量的关系： 理想气体的微观模型，理想气 体的压强，温度的微观意义 三、能量均分定理，内能： 分子的自由度，能量均分定理，理想气 体的内能 统计物理学基础 四、微观态的描述概率、等概率原理、微观态的描述、 三种统计规律 1.麦克斯韦-玻尔兹曼分布(M-B分布) 2.费米-狄拉克分布(F-D分布) 3. 玻色-爱因斯坦分布(B-E分布) 4.经典极限： 五、麦克斯韦分子速率分布 vv2vp vv+dv f (vp) o f (v) v1 vpv o f (v) 1. 物理意义2.三种速率： (1).最概然速率： (2).平均速率： (3).方均根速率： 3.重力场中粒子的分布： 六、分子碰撞的统计规律 1.平均碰撞频率： 2.平均自由程： 例题1、设系统由两个近独立的粒子组成，它们的单粒子量子态 有三个，试就这个系统是玻耳兹曼系统，玻色系统和费 米系统的情形，分别列出并讨论系统有哪些微观态。 解：（1）玻耳兹曼系统：粒子可分辨。微观态有9个。 （2）玻色系统，粒子不可分辨，且每一个量子态上的粒 子数不受限制，故微观态有 6个。 （3）费米系统，粒子不可分辨，且每一个量子态最多容 纳一个粒子，微观态数有3个。 例题2、设粒子的能级i为1=0，2=，3=2，并且都是非简 并的。试分析由4个这样的粒子所组成的近独立粒子系， 当系统的能量E=2时，粒子按能级的分布及其相应的微观 态数。假设系统是玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统。 解：分布：N1=3，N2=0，N3=1，Ni=0(i4) N1=2，N2=2，Ni=0(i3) (1) (2) (3)费米系统不可能实现这种分布 例题3、假想的气体分子，其速率分布如图所示。当 v 5v0 时分子 数为零。试求（1）根据N和 v0 ,表示常数 a 的值；（2）速 率在 2v0 到 3v0 间隔内的分子数；（3）分子的平均速率。 Nf(v) v0v02v03v04v05v0 a 2a 3a 解：（1）速率分布可表示为： 由归一化条件 可得： （3）分子的平均速率为 （2）速率分布在2v0到3v0间隔内的分子数N为 附1、已知一定量的某种理想气体，在温度T1与T2时的分子最概 然速率分别为Vp1和Vp2，分子速率分布函数的最大值分别为 f(Vp1)和f(Vp2)。若T1T2则 附2、图示的两条曲线分别表示氦，氧两种气体在相同温度 T 时 分子按速率的分布。问（1）1，2分别表示哪种气体分子的 速率分布曲线？（2）画有斜线的小长条面积表示什么？ （3）分布曲线下所包围的面积表示什么？ 解：（1）1是氧，2是氦 （2）速率在vv+v范围内的分 子数占总分子数的百分率 （3）速率在0整个速率区间 内的分子数的百分率总和 例题4、根据麦克斯韦速率分布率，试求： （1）平均动能（ mV2 /2 )介于 +d之间的分子数率； （2）平均动能的最概然值 P . 解：（1） 根据麦克斯韦速率分布率，速率介于vv+dv之间的分子 数占分子数的比率为： （2） 最概然速率所对应的平均动能为： 例题5、半径为R的球型容器里贮有分子有效直径为d的气体，求容 器中最多可容纳多少个分子，才能使分子之间不至相碰。 解：为使气体分子之间不相碰，则必须使分子的平均自由程 不小于容器的直径，必须满足： 附3、一定量的理想气体，经等压过程从体积V0膨胀到2V0，求： (1)平均自由程之比；(2)平均速率之比；(3)平均动能之比。 解： (1) (2) (3) 例题6、已知尘埃的质量m=10-21kg，漂浮在空气中。试求尘埃浓 度改变不大于1%的空气层的厚度。（设空气的温度均匀， T=300K) 解：根据玻耳兹曼分布律，在重力场中分子数密度按高度的分 布为 “-”表明随高度增加（dz0），尘埃浓度减少（dn0） 附4、拉萨海拔约为3600m，气温为273K，忽略气温随高度的变 化。当海平面上的气压为1.013105Pa时，试求（1）拉萨的 大气压强；（2）若某人在海平面上每分钟呼吸17次，他在 拉萨应呼吸多少次才能吸入同样质量的空气？（空气的摩 尔质量为M=2910-3kg/mol） 解：（1） （2）设某人每次呼吸吸入的空气容积为V0 , 例题7、一容器内某理想气体的温度为T=273K，压强为 p=1.013105Pa，密度为=1.25g/m3，试求（1）气体分子 运动的方均根速率；（2）气体分子的摩尔质量；（3）气 体分子的平均平动动能和转动动能；（4）单位体积内气 体分子的总平动动能；（5）设该气体有0.3mol，气体的 内能?（气体为双原子分子） 解：（1） （2） （3） （4） （5） 附5、容器内有11kg的二氧化碳和2kg的氢气，已知混合气体的 内能是8.1106J，求(1)混合气体的温度；(2)两种气体分子 的平均动能。 解：(1) (2) 例题8、有210-3m3刚性双原子分子理想气体，其内能为 6.75102 J（1）求气体的压强（2）设分子总数为 5.41022J.K-1，求分子的平均平动动能及气体的温度。 解：(1)设分子数为N由 例题9、若某种理想气体分子的方均根速率为450ms-1,气体的压强为 7104Pa，则该气体的密度为多少？ 解： 例2：已知某气体在温度T时的速率分布函数为 ， 说明下列各表达式的意义 (1) (2) (3) (4) (2) 表示在 间隔的分子 (3) 表示某气体分子的速率在 间隔内的 概率。或者说，速率在 间隔内