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目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶导数的运算法则 第三节 一、高阶导数的概念 高阶导数 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 一、高阶导数的概念 速度即 加速度 即 引例：变速直线运动 目录 上页 下页 返回 结束 定义. 若函数的导数 可导, 或即 或 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的二阶导数 , 记作的导数为 依次类推 , 分别记作 则称 目录 上页 下页 返回 结束 设求 解: 依次类推 , 例1. 思考: 设问 可得 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设求 解: 特别有: 解: 规定 0 ! = 1 思考: 例3. 设 求 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设求 解: 一般地 , 类似可证: 目录 上页 下页 返回 结束 例5 . 设 解: 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 设求使存在的最高 分析 : 但是不存在 . 2 又 阶数 目录 上页 下页 返回 结束 规律 二、高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 莱布尼茨(Leibniz) 公式 及设函数 规律 规律 用数学归纳法可证 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 求 解: 设则 代入莱布尼茨公式 , 得 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 设求 解:即 用莱布尼茨公式求 n 阶导数 令得 由得 即 由得 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 利用已知的高阶导数公式 (4) 利用莱布尼茨公式 高阶导数的求法 如下列公式 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 如何求下列函数的 n 阶导数? 解: 解: 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 提示: 令 目录 上页 下页 返回 结束 解: 目录 上页 下页 返回 结束 各项均含因 子 ( x 2 ) 2. (填空题) (1) 设则 提示: (2) 已知任意阶可导, 且 时 提示: 则当 目录 上页 下页 返回 结束 3. 试从 导出 解： 同样可求 (见 P103 题4 ) 作业 P103 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 6 ; 9 ; 10 (2) ; *11
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