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2014 年浙江省高中数学竞赛试题解答 一、选择题（本大题共有 10 小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后 的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题 5 分，共 50 分） 1. 已知集合 2 1,|,2,PaQb=为全集 22 1,2,3,Uabab=+的子集，且 6 U CPQ =， 则下面结论正确的是（ ）. (A) 3,1ab= (B) 3,1ab= (C)3,1ab= = (D) 3,1ab= = 1 . 答案 D 解 由6 U CPQ = 22 6,abab+=显然只有答案 D 符合。 2. 已知复数 12 ,z z且 1212 22,7zzzz=+=，则 12 zz的值为（ ） (A) 5 (B) 7 (C) 3 (D) 3 答案 D 解答 因为 222 121211 223zzzzzz=+=。 3. 已知,ABC为ABC的三个内角，命题 P：AB= ；命题 Q： sinsinAB=，则P 是Q 的（ ）. (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 3 . 答案 C 解 在ABC中AB sinsinAB。 4. 已知等比数列 n a： 14 5,625aa=，则 2014 1 551 1 loglog k kk aa = + = （ ）. (A) 2014 2015 (B) 2013 2014 (C) 2012 4028 (D) 2013 4030 4 . 答案 A 解 设等比数列的公比为, q则 3 62555qq= 20142014 11 551 112014 loglog(1)2015 kk kk aak k = + = + 。 5. 已知圆 22 (2)(1)1xy+=与圆 22 (1)1xy+=关于直线l对称，则l 的方程为 （ ）. (A) 10xy+ = (B) 10xy+ = (C) 10xy = (D) 10xy+ = 5 . 答案 B 解 直线l即为两圆心（- 2 , 1 ） 、 （0 ，- 1 ）的垂直平分线，即为10xy+ =。 6. 若某立体的三视图如下，则该立体的体积为 （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 2 2 (D) 2 3 6 . 答案 B 解答 还原该几何体，是一个长、宽、高分别为 2 、2 、1的长方体，并被截去两 个底面直三棱柱，该三棱柱的底面是边长为 1 等腰直角三角形，高为 1 。 7. 若xR+，则 39 4 1 (1)x x + 展开式中常数项为 ( ). (A) 1259 (B) 1260 (C) 1511 (D) 1512 7 . 答案 A 该展开式常数项有两项，其一是所有的乘积项都取 1 ，或 4 个乘积项取 3 x，3 个 乘积项取 4 1 x ， 2 个乘积项取常数 1 ， 所以常数项为 43 4331 952 4 1 ()()11259CxCC x + = 。 8 8.设 x表示不超过x的最大整数， 则方程 2 31030xx+=的所有实数根的个数 为（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 8 . 答案 D 1 1 1 1 1 2 正视图 俯视图 侧视图 2 解 由 22 1 3103010(1)1033103 3 xxxxxxx+= +，（5 ） 令 , r s为二次函数的两个零点，则,rsb rsc+= =。（8 ） 从而 222 111 (1)(1)(1)() (). 224 rrss b ccrsrs + + +=，且当 2 01 1 a a a = ，即 0a 时，（1 2 ） 1 121121 11 0 11 nn nnn aa aaaaaaa + = + ，2n 即 1 ,2 nn aa n + ，（1 5 ） 于是01,2 n an。故0a 。（1 7 ） 四、附加题： （本大题共有四、附加题： （本大题共有 2 2 小题，每题小题，每题 2525 分，共分，共 5050 分。 ）分。 ） 21. 在 1100 的 100 个整数中，任意选取三个互不相同的数组成有序三元数 ( , , )x y z。求满足方程310xyz+=+的( , , )x y z的个数。 1 解. （1 ）当310101z +即30z 时，满足310xyz+=+的( , , )x y z的个数是 30 1 (39)1665. k Sk = =+= （5 ） （2 ）当310102z +即3163z时，满足310xyz+=+的( , , )x y z个数是 6333 311 (191 3 )191 3(30)1650. kk Tkk = =+= （1 0 ） 再来考虑,x y z有相等的情况：首先,x y z不可能都相等. （3 ）当xy=，那么满足310xyz+=+的( , , )x y z的个数是31A =（1 5 ） （4 ）当xz=，那么满足310xyz+=+的( , , )x y z的个数是45B = （5 ）当yz=，那么满足310xyz+=+的( , , )x y z的个数是45.C =（2 0 ） 综上所述题目所求的( , , )x y z个数是3194.STABC+= （2 5 ） 22.设正实数, ,a b c满足 22 22 22 3 4 37 ab acac bcbc += += += ，求, ,a b c的值。 2 2 . 解 如 图 ， 以O为 出 发 点 ， 作 长 度 为, ,a b c 的 三 条 线 段,OA OB OC ， 使 得 90 ,120AOBAOC= , 那么 150 ,COB= （5） 由余弦定理知 22 3.ABab=+=2,BC7.AC =于是90 ,CAB= ，过O作 ,OEACOFAB, 设,AEm OEn=由于,ABOOAE= 所以 OFOE BFAE =即. 3 nm mn = （1 0 ） 又120 ,