初一数学教学课件

第一讲整式的概念

概念总汇

1、代数式的有关概念

（1）代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而

成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。

说明：代数式书写时需注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前

面，如数字因数是1或一1时，“1”省略不写，如一:nn；（2）带分数与字母相乘时要化成假

2

分数，如：要写成3M的形式；（3）除号要改写成分数线，如：a+b要写成色；（4）书写单

22b

位时要把代数式用括号括起来，如平方米。

2

（2）代数式的系数：在代数式中，每一项字母前的数字因数叫做这一项的系数。

说明：当系数是1或一1时，I省略不写，如一"，,等。

2、整式的有关概念

（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式.

说明：判断•个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系.如

里就不是一个单项式，因为2y与x之间是除法运算.但是，〃拄是单项式，因为上是一个数.a2

x22

是一个单项式，因为〃可以看作是〃・①特别地，单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，

如一3,0,-，弟土等都是单项式

32

（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.

说明：单项式的次数，是指这个单项式中将所有字母指数相加得到的和.如单项式3»、2?、；』），、

‘X的次数分别是2、2、3、1.特别地，单独的一个数字，如3,—9等，可以当做。次单项式来

2

看待.

（3）单项式的系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数.

说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关.如的短的系数是1,次数为3+1

+4=8.

（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.

说明：多项式是由几个单项式相加得到的，如多项式/十合-1是由单项式/，2r和一1相加而得

到的

<5)多项式的次数；一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.

说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，然后再确定多项式的次数，即

取次数最大的项的次数作为该多项式的次数.如，多项式/一^尸+工中，单项式/的次数是3,单

项式一fy2的次数是4,单项式X的次数是1,所以多项式%y+x的次数是4.

(6)多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项.每一个单项式就是一项。

说明：多项式的项，包括符号.如多项式5—3f中，二次项是一3r.

(7)常数项的定义：在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。

(8)降骞排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这

个字母降暴排列.

(9)升暴排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这

个字母升基排列.

说明：把多项式按升基或降累排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的

指数，而后按照加法交换律交换项的位置.对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排

列多项式时，各项一定要带着符号移动位置.如：

9+2?），-7盯3-/-7=2<v+V-7xy3~/~7①

=—7—y4—+/+2xy②

=-/-Jxy3+2^y+xi-7③

=-7+9+2v4y-7x/-J#④

其中，①是按工的降舞排列；②是按x的升鼎排列；③是按)，的降累排列；④是按)，的升哥排

列.

(10)整式的定义：单项式和多项式统称整式.

说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是

整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一.如单项式一,x等都是整式，多项

式3一工，一丁一工+1等都是整式；在整式2x,1中，2x是单项式，d—1是多项式.

方法引导

1.对单项式、多项式、整式进行判断

例1判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式.

(1)-(2)2/+1；(3)；(x+y+l)；(4)—a2；(5：0；

(6)—；⑺也；(8)—；(9)^+--1；(10)—；

y32xxx+1

2、说出单项式、多项式的次数和项

例2指出下列各单项式的系数与次数：

(1)^-；(2)-mn3-.(3)4K)’(4)-3；

83

例3、填空：

(1)多项式2?-3*5-2/是次项式，最高次项的系数是,四次

项的系数是，常数项是，补足缺项后按字母x升辕排列得;

(2)多项式。3-3《必2+3/6—护是次项式，它的各项的次数都是,

按字母b降幕排列得.

例题讲解

(-)题型分类全析

1、与代数式有关的题型

例1.用代数式表示：

(1)把温度是IC的水加热到1OOC,水温升高了℃o

(2)一个两位数，个位数字是a,十位数字是b,则这个两位数可表示为o

(3)用字母表示两个连续奇数为___________。

(4)若正方体的棱长是a—1,则正方体的表面积为。

(5)如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘(上方阴影固定)，请你帮他计算

可以射进阳光的面积为米2。

咪

【搭配练习】

1.长方形的长为。厘米，宽为〃厘米，该长方形的周长为厘米，面积为

平方厘米。

2.一桶汽油倒出30%还剩。千克，则这桶汽油原有千克。

2、如果一个多项式是五次多项式，那么（）

A.这个多项式最多有六项；

B.这个多项式只能有一项的次数是六；

C.这个多项式一定是五次六项式；

D.这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数是五.

3、请你写出一个四次项系数为T的四次多项式，并指出其余各项的次数和系数.

例4说出下列各多项式分别是几次几项式.

(l)3x-23；⑵我+2。-3〃一4；

(6)2(xy+gji3—y+/).

（4）U3-Z?3+l）X-；

3

【搭配练习】

1、在X2,；(x+y),--

—3,—-341，单项式是,多项式是

71X

整式是

2、多项式外一1是次项式.

3、多项式5/一外2+1按字母），的降累排列是一

4、下列说法正确的是（）.

1A3x—2v

A.乙不是单项式；B.幺是单项式；C.x的系数是0；D..是整式.

2a2

（二）思维重点突破

例5若一是关于X、），的单项式，且系数为-6,次数为3,则4=,m=____

【搭配练习】

2y

ytF.Sabc,万蜘曰田她曰

1、单项式—--的系数是____________＞次数是_____________.

2、系数是一3,且只含有字母x和），的四次单项式共有个，分别是.

3.如果单项式342r吁4的次数与单项式11）,2Z2的次数相同，试求〃?的值。

3

例6当x为何侑时，下列多项式可化简为关于），的一次单项式.

(l)-x-5y-5；⑵K+3.V-4+6.

32

【搭配练习】

当a时，整式/+〃—1是单项式.

例7观察下列式子：

Ix4+2=6=2x3；

2x5+2=12=3x4；

3x6+2=20=4x5；

4x7+2=30=5x6…・・•

请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示来

【搭配练习】

1、用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案：

(I)第4个图案中有白色地面砖块；

2、下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上都有

〃(〃22)个棋子，每个图案棋子总数为S,按下图的排列规律推断，S与〃之间的关系可以用式子

来表示。

课后作业

A类作业:

1、填空题：

（1）某种足球。元，则涨价20%后是元；

（2）箱橘子重x依，每箱重_______kg；

（3）购买单价为a元的笔记本8本，共需人民币元；

（4）小明的体重是。kg，小红比小明重〃kg,则小纥的体重是kg；

（5）练习本每本定价0.6元，铅笔每支定价0.2元，买a本练习本，b支铅笔共需元:

（6）三个连续偶数中间的一个为2n,则这三个数的和表示为o

2、选择题：

（1）在一次数学测验中，3（）名男生平均得分为a,20名女生平均得分为b,这个班所有同学的

平均得分是（）。

a+b门30〃+20〃万30。+20/?_a+b

A.----B.---------C.---------D.----

225050

（2）一种小麦磨成面粉后重量减轻15%,要得到m千克面粉，需要小麦（）千克。

A.(1+15%)mB.(l-15%)mC./n+15%D.tn-15%

3、设某数为x,用x表示下列各式：

（1）某数与1的差：（2）某数的［与1的和；

223

（3）某数与1的差的平方；（4）某数与2的和的倒数

4、观察下列各组数，用含〃的代数式来表示第〃个数。

(1)1,2,3,4,•

(2)2,4,6,8,

(3)1,3,5,7,­

(4)3,7,11,15,

B类作业：

一、填空题：

1、如果〃表示一个自然数，则它的下一个自然数是.

2、小颖今年〃岁，去年小颖岁，6年后小颖岁.

3、止方体的棱长为表面积S=,体枳V=.

二、选择题;

4、如力两数的平方和可表示为（）

A、(a+b)2B、a+b2C、a2+bD、a2+b2

5、有三个连续偶数，最大一个是2〃+2,则最小一个可以表示为（）

A、2n~2B、2nC、2»+1D、2〃一1

6、每100千克小麦可出工千克面粉，y千克小麦可出面粉的千克数为（）

100)，B工C、100xy_

A、D、

X孙ioo

7、一个两位数，十位数字是小个位数字是〃，则这个两位数是（）

AxabB、a+bC、\0a+bD、\0b+a

8、设〃?是用字母表示的有理数，则下面各数中必大于零的是（）

A、2mBxm+2C、Im\D、nr+2

三、解答题:

9、说出两个可以用6/表示结果的实际问题.

10、用字母表示图中阴影部分的面积.

C类作业:

1、有一大捆粗细均匀的制筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为m千克，再从中

截取5米长的钢筋，称出它的质量为n千克，那么这捆钢筋的总长度为（）米

IDmn5m

B>-C、wD^

A、nbo

2、下列各式不是代数式的是（）

,2

A.0B.4x2—3x+lC.a+b=b+aD^-

y

3、两个数的和是25,其中一个数用字母x表示，那么K与另一个数之积用代数式表示为

A.x(x+25)B.x(x-25)C.25xD.x(25—x)

4、一2x3y的系数是，一叱的系数是；一a2b的系数是，/R?的系数是.

3

5、观察下列算式:2'=2,2?=4,2^8,2,=16,25:32,2包64,27:128,2^256,…那么227的未位数字

L

6、研究下列各式，你发现什么规律？

1,1111-111

―I*…I■・・I=―——・■一.・■一,'-・—i.・••••

1X2,2,2X323*3X434‘

将你找到的规律用含n的等式表示出来

7、观察下列数表：

1234••・第一■行

2345•••第二行

345.6•••第三行

4567第四行

•••,・■••••••♦••

根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为,第n行与第n列

交叉点上的数应为(用含有n的代数式表示，n为正整数)

8、观察下列各等式：

4-2=4+2.微—3="1-+3・(—J)—)=(-.........

乙乙,乙乙乙乙

(1)以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的一等于这两个实数的:如果

等号左边的第一个实数用X表示，第二个实数用y表示，那么这些等式的共同特征可用含X,y的等

式表示为.

(2)将以上等式变形，用含y的代数式表示x为；

(3)请你再找出一组满足以上特征的两个实数，并写出等式形式：

第二讲整式的加减

概念总汇

1、整式加减的有关概念

(1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。几个常数项也是同类

项。如：6x?y2和-4x2y2就是同类项，一3和5也是同类项：但418与”从就不是同类项，因为相

同字母的指数不相同。

(2)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，即把同类项的系数相加，字母和字母的指数不

变。如：6x2y2+(-4x2y2)=2x2y2

说明：①只有同类项才可合并，不是同类项的不能合并；

②合并同类项，只合并系数，字母与字母的指数不变；

③合并同类项后若其系数是带分数，要把它化成假分数；

④多项式中，如果两同类项的系数互为相反数，合并后这两项互相抵消，结果为0。

(3)去括号法则：括号前面是正号，把括号和括号前的正号去掉后，括号里的各项不改变符号；括

号前是负号，把括号和括号前的负号去掉，括号里的各项都要改变符号。如：A+(5A+3B)-(A

—2B)=A+5A+3B-A+2B=5A+5Bo

说明：去括号法则相当于乘法分配律的应用，如：A+(5A+3B)—(A—2B)=A+1X(5A+3B)+

(-1)X(A-2B)=A+5A+3B+(-1)A+(-1)X(-2B)=A+5A-3B-A+2B=5A+5Bo如果括号前面有数

字因数，就按乘法分配律去括号。如：

1333

—(3a2-2ab+4b2)-2(—a2-ab-3b2)=—a2-ab+2b2--a2+2ab+6b2=ab+8b2

2422

(4)添括号法则：给括号前添正号，括在括号里的各项都不改变符号；给括号前添负号，括到括号

里的各项都要改变符号。

说明：去括号与添括号是互逆的过程，它们的依据是乘法分配律的顺逆运用。

可把+(a~b)看作(+1)(a~b)»把-(a-b)看作(~1)(a-b)则有+(a~b)=a-b,

-(a-b)=-a+b,这样乘法分配律的一个应用便是去括号；添括号可理解为乘法分配律的逆用。

2、整式加减法法则

几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接.整式加减的一般步骤是：

①如果遇到括号，按去括号法则去括号；②合并同类项

说明：整式的加减实际上就是去括号和合并同类项。合并同类项时，只能把同类项合为一项。

如果同类项的系数互为相反数，合并同类项后为0,不是同类项的不合并，但每步运算中不能漏掉,

在运算中，如果遇到括号，应先运用去括号法则去掉括号。当遇到多重括号时，每去掉一个括号后

要及时合并同类项，以减少项数避免错误及简化计算。整式加减运算的结果书写形式的要求：

①结果按照某个字母的降辕或升舞排列；

②每一项的数字系数写前面；

③结果不出现带分数；带分数要化成假分数；

④结果不出现号，改写成分数的形式；

⑤结果中不再有括号(一般情况)。

方法引导

1、同类项的概念及合并同类项的注意点

例1已知代数式(广。3与—是同类项，那么a、b的值是()

a=2a=2a=-2a=-2

b=1

A."B.iC."D.lb=l

【搭配练习】

1、若单项式2/j严和是同类项，求m、n的值

2、已知—4x%2y3与炉),7-2”是同类项，求m—n的值

例2三角形的周长为48,第一边长为3a+2b,第二边的2倍比第一边少a-2b+2,求第三边长是多

少？

【搭配练习】

已知一个三角形的周长为5。+3〃—2,第一条边长为a—〃+2,第二条边比第一条的2倍还

少2,试求第三条边

2、求代数式值要注意的问题

(1)化简求值法

例3.若工二一4，求代数式

6

2(3/-4x2+5x-6)-7(3/-5x-7)+10(—31+2x2-4x-5)的值?

【搭配练习】

先化简，再求值。

1、3x~—8x+丁—12x~—+1,其中x=2

2、4x2+2xy+9^2-2x2-3xy+y2,其中x=2,y=l.

(2)整体代入法

门.a—b.4小皿45(〃—b)a+b“』八

例4若-----=4,求代数式二~一--------二的值？

a+ha+b2(a-b)

【搭配练习】

31,,

1、当〃二一二8=一时，求5(2〃+8)2-3(3〃+26)—3(2。+»?+2(3〃+2b)的值。

42

2^已知。一/?=2,/?一。二一3,(?-1=5,求(a-c)(/?-d)+(a-d)的值

例题讲解

(-)题型分类全析

1、整式加减类型题

整式包括单项式和多项式，因此，整式的加减就包括单项式与单项式、单项式与多项式及多项

式与多项式的加减.。求两个多项式的和或差时，要把每个多项式应作为一个整体，用括号括起来，

再进行加或减，然后去掉括号，合并同类项，化简。整式的加减实际上就是合并同类项，在运算中，

23222

有括号要先去括号.去括号时一定要注意括号前的符号，如(x+x)-(1-3X+2X)=X+X-1+3X-2X=-X+4X-1z

要特别注意括号前是负号的时候，不要只对括号中的首项变号，其他项也要变号。

例1：求3/-6x+5与4x?+7X一6的和与差。

【搭配练习】

1、求多项式2x-3y与5x+4y的和.

2、求多项式8a-7b与4a-5b的差

例2：.已知A=a2+b2dB=-4a2+2b2+3c2,并且A+B+C=O,问C是什么样的多项式.

【搭配练习】

已知多项式A=/+2y2—z2,8=-4x2+3)，2+2z2且A+B+C=0,则C为()

(A)5x~--z~(B)3x~-5)卢一z"

(C)3x~—y~-3z2(D)3x~-5y"+z~

例3已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小红年

龄的L还多1岁，求这三名同学的年龄之和是多少？

2

【思维直现】已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，可以用含m的

代数式表示小红的年龄；小华的年龄比小红年龄的,还多1岁，可以用含m的代数式表示小华的年

2

龄，这样三个人的年龄和就是三个多项式的和。

【搭配练习】

某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，

进货后这个商店有大米多少千克

2、求代数式值的题型

例4已知：|x+2|+(y+l)2=0,求—3。一2)，)3—2(2x—)，)3的值。

【搭配练习】

已知|1加一2|+(14〃-1)2=°，求5。-{7人一[11。-6〃-5(2。+3)]}的值。

例5.设a=-0.7,b=0.49,求代数式的值:

2348

京9+2b-0.28)一盆—切一5(3。一h)

例6：已知：A=5a+3b,B=3a2—2a2b,C=a2+7a2b—2,当a=l,b=2时，

求A-2B+3C的值,

【搭配练习】

已知n?与一2n2的和为A,1+/与一2m2的差为B,求2A—4B

(二)思维重点突破

例7两个多项式的次数都是n,这两个多项式的差的次数能否小于n?为什么？

【搭配练习】

如果A是x的3次多项式，B是x的5次多项式，那么A-B是().

A.3次多项式B.2次多项式C.8次多项式D.5次多项式

例8.已知2。2-3。—5=0,求4/—12々3+9/—io的值？

【搭配练习】

已知x=2,y=-4,代数式+2007,求工=-4,丁二一工时，代数式

3ax-24Z?y3+5010的值。

例9.已知A=2F+4.p—2x—3,B=-x2+.ry+2o且3A+6B的值与x无关，你能求出)，的值

吗？

【搭配练习】

(-3A7+?yx-3)+(xyz2-4Ay-1)一(lxyz2+xy)的结果()

A.与x、y、z的大小无关

B.与x、y的大小有关，而与z的大小无关

C.与x的大小有关，而与)，、z的大小无关

D.与X、丁、z的大小有关

课后作业

A类作业：

一、填空题

43、

1、化简：a-2(a-3b)+3(a-b)=_______,—ah—ab-h~=_________。

54

22

2、-9X+6X-1=(/-1)+()=y-()=6x-l-()

二、选择题

1、下列去括号正确的是()

A.a-(lb-c-d)=a-2b-c+dB.-(3a+2b+c-d)=3a-2b-cd

C.(a+l)-(-〃+c)=a+l+Z?+cD.3a-\5b-2(c-\)]=3a-5b+2c-2

三、解答题

I、合并下列各式的同类项:

1

22

-22222222

XV5XV(2)-3xy+2xy+3xy-2xy；(3)4a+3b+2ab-4a-4b

2、求多项式3a+abc-Lc2-3a+，c2的值，其中a=-'，b=2,c=-3

336

3、水库中水位第一天连续下降了a小时，每小时平均下降2cm,(3第二天连续上升了a小时，每小

时平均上升0.5cm,这两天水位总的变化情况如何？

4、化简下列各式：

(1)8a+2b+(5a-b)；(2)(5a-3b)-3(a2-2b)

B类作业：

一、选择题

1、若)，=2x1,z=3y,则x+y+z=()

A.2x-lB.29x-2C.9工一3D.9x-4

2、一条铁丝正好可•围成一个长方形，一边长为2〃+〃，另〜边比它大人，则长方形的周长是

()

A.5a+bB.\0a+3bC.10^+22?D.1Otz+6Z?

2、个位上数字是a,十位上数字是b,百位上的数字是c的三位数与把该三位数的个位数字、百位数

字对调位置后所得的三位数的差为_______.

三、解答题

1、先化简再求代数式的值：

5a2+[a2+(5a2-2a)-2(a2-3a)],其中a=--：

2

2、设一个多项式与多项式一2。%一4/+2出?的差比4"-〃小一"〃一3b2,求这个多项式。

3、大客车上原有(3a-b)人，中途下车一半人,又上车若干人，这时车上共有乘客(8a-5b)人,问上车乘客是

多少人?当a=10,b=8时,上车乘客是多少人？

C类作业:

I、设多项式A和B都是五次多项式，那么/VB一定是（)

A.五次多项式B,十次多项式

C.次数不高于五次的整式D.次数不低于五次的整式

2、如果a-b二!，那么—3（b-a）的值是（）.

2

A.--B.-C.-D.-

5326

3、已知上二3,求2H小的值

x+y-x+3xy-y

4、若代数式（2/+。工-），+6）-（2〃/-31+5》+1）的值与字母式的取值无关，求多项式

#一2〃一；（〃3一2〃）的值。

5、两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，团两船在静水中的速度都是50千米/

时，水流速度是a千米/时.

（1）2小时后两船相距多近？

（2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？

6、周长相同的正方形和圆，哪一个面积比较大？（提示：用字母表示其周长）

7、某公司计划砌一个形状如下图（1）的喷水池，后有人建议改为如下图（2）的形状，且外圆直径

不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种需用的材料多（即比较两个图

形的周长）？若将三个小圆改为n个小圆，又会得到什么结论？

8、如图，大正方形的边长为a,小正方形的边长为2,求阴影部分的面积.

BE

第三讲整式的乘除

概念总汇

1、同底数幕的乘法

（1）同底数基的乘法法则，其推到过程是特殊到一般的过程，即由103•102,33-3?到23-a?

到a'"-a",把舞的底数与指数分两步进行概括抽象，要注意推出这一法则每一步的依据

（2）同底数幕的乘法法则是：

同底数基相乘，底数不变，指数相加

a*a”=a"""（字母m,n表示正整数）

当三个或三个以上的同底数制相乘时，也具有这样的性质，即：

an,•a”・ap=a/M+M+p（字母m,n,p表示正整数）

说明：

（1）同底数幕相乘，就应用同底数幕的乘法法则；整式加减就要合并同类项。两者不能混淆。

（2）、一a?的底数a,不是一a。计算一a?・a?的结果是一（a?-a2）=-a4,而不是（一小，）=a'。

（3）、若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算

2、嘉的乘方

⑴、暴的乘方的性质推导

当乘方的运算中底数变成基时，这种运算就变成一种新的运算：即累的乘方，其运算法则可由乘方

运算的定义和同底数幕的乘法法则推导出来。

（2）＞事的乘方法则

幕的乘方,底数不变，指数相乘。用字母表示就是（an）5（m、n都是正整数底如（103）2=106

说明：

（1）、幕的乘方是单项式乘除运算的基础，应学会运用乘方的定义及同底数基乘法推导其运算法则,

同时注意与同底数累乘法法则的区别，应用时不能混淆。

（2）、不管是同底数累的乘法运算，还是哥的乘方运算，要学会正确识别嘉的“底”是什么？事的

指数是什么？乘方的“指数”是什么？若在底数中有负号，则要根据指数的奇偶性决定正负号，即

乘方的指数为奇数，负号保留，乘方的指数为偶数，负号去掉。

3、积的乘方

（1）积的乘方

当事的底数有两个或两个以上数或字母相乘时，就是枳的乘方。如(2X3)2,(abc)3等等。

(2)积的乘方法则

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的鼎相乘，用字母表示就是(ab)。=a。b。(n

nnnn

为正整数)。三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质。如(abc)=abco

说明：

(1)用积的乘方的法则进行计算时，我们要认清“因式有几个？分别是什么？”特别是系数和负号

这样的特殊因式不能搞错。

(2)在同底数暴的乘法、暴的乘方与积的乘方的混合运算中，要学会灵活正确的分析算式的每一部

分和每一种运算，然后采取合理简捷的方法进行运算。

4、整式的乘法

(1)整式的乘法有3种：单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘。其中

单项式与单项式的乘法是整式的乘法的基础，其他两种乘法都可以转化为这种运算，所以我们要熟

练、牢固地掌握单项式乘以单项式的运算法则。

(2)单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幕分别相乘的

积作为积的因式，其余的字母连同它的指数不变，也作为积的因式

(3)单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把

所得的积相加，用字母表示为

b,(p+q)=bp+bq或(p+q)•b=bp+bq

(4)多项式与多项式相乘的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘以另一

个多项式的每一项，再把所得的积相加。用字母表示为

(a+m)(b+n)=ab+an+bm+mn

说明：

(1)整式的乘法包括单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法三种。其中单项式

与单项式的乘法是整式的乘法的基础，其他两种乘法都可以转化为这种运算，所以我们要熟练、牢

固地掌握单项式乘以单项式的运算法则

(2)在学习多项式与多项式的乘法时，要熟练地掌握公式：

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

这可以为以后学习乘法公式打下良好的基础

5、同底数基的除法

(1)同底数幕的除法法则

同底数塞相除，底数不变，指数相减

(m、n是正整数且m>n,aXO)

(2)规定任何不等于零的数的零次哥为1,即a°=l(aWO)

说明：

(1)始终抓住法则中的二个要素：判定同底，指数相减，并注意过程和运算结果的规范表示

6、单项式除以单项式

(1)一般地，单项式除以单项式有如下法则：

两个单项式相除，把系数、同底数基分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连

同它的指数作为商的一个因式

说明：

(1)计算的时候分三步：①系数相除②同底数幕相除③只在被除式里的塞不变

7、多项式除以单项式

(1)多项式除以单项式有如下法则：

多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加

方法引导

1、寨的运算

例1下列计算错误的是()

(A)a2•a4=a8(B)2a34-a=2a2(C)(-a3)2=a6(0包一】产二二

a-

【搭配练习】

在下列计算中，正确的是()

A.(ab2)3=ab6B.(3xy)3=9x3y3C.(~2a2)2=-4a4D.(-2)

例2计算x2y3+(xy)2的结果是()

A.xyB.xC.yD.xy2

【搭配练习】

计算：(-2y5)2-i-(2y3)

例3若小3二］,则a等于()

A.l,0；B.l,3；C.l,-1；D.l,-1,3.

【搭配练习】

若(2r+l)°=l,则()

AYE2——B.xW——C.xW——D/W—

2222

例4计算：

(l)(a+2b)(3a-7b)；

(2)(16x2y3z+8x3y2z)4-8x2y2

计算

21

I(-2ax)2•(―-x4y3z3)4-(―-a5xy2)

2、a,f2+2anl)-r(―^a11-1)

2、巧用箱的运算简化计算

例5

(1)计算：(―3严1.(3,严2。

1()3

(2)已知3X9mx27m=321,求m的值。

(3)已知X?n=4,求(3x3n)2—4(x2)2n的值。

【搭配练习】

1、已知：39*27"'=36,求m.

2、若0=5,求(301-4(9"的值.

3、己知4'=2*T,求x的值。

例题讲解

(-)题型分类全析

1、整式乘除类型题

例1：下列计算正确的是()

(A)(-x)•(-X)•(-xj=(-X)'=_/(B)_小(7)2工2=―/.£./=―/

(C)(-x)2.(-%)3-(-x)4=x9(D)(-x)-(-x)3-(-x5)x=-x10

【搭配练习】

1、计算：(—x)~•(—X)'+2x'(―x)4—(―X),x4-

2、计算:一(打位力3(一67=------------

3、下列计算中正确的是()

(A)xn-2-i-xnl=x2(B)(xy)5-T-xy3=(xy)2

,04284n2n3n3n2

(C)x-F(X4-X)=X(D)(x4-x)•x=x*

例2：计算：(一1.2xIO?1x(5x10邛x(2x104)2=.

【搭配练习】

计算(4x1071.(2x10岁

2、求值的题型

例3若2x+5y—3=0,求2v的值

【搭配练习】

1、xn=5,yn=3,则仅丫产=,若2x=m,2y=n,则8"丫=.

2、已知。2〃=3,/'"=5,求/"9，〃的值。

(二)思维重点突破

例4一个长方形的长增加4cm,宽减少1cm,面积保持不变；长减少2cm,宽增加1cm,面

积仍保持不变。求这个长方形的面积

【搭配练习】

1、求不等式仪+16）3+4）＞a+12尸的解集

2、解方程3（x+2）?+（2x—I）2—7（x+3）（x-3）=28

3、四个连续自然数中，已知两个大数的积与其余两个数的积的差等于58,求这四个数的和

例5.比较25⑻，64120,81"的大小

【搭配练习】

I、比较a—??,b=322,c=4"的大小

2、比较29、4182的大小

课后作业

A类作业：

一、填空题

1、IO3X1O5=；(a-b)3.(a-b)5=.

2、-(a3)4=.若/m=2,贝Ijx9m=.

3、a6+a2=,(—a)5+(-a).=.

4、若A=3x—2,B=l-2x,C=-5x,则A・B+A・C=.

二、选择题

1、下列各式中，①②丁・X3=2X6,③/•/=/,④/+/="2,⑤

（一。）4•（一/）=/.正确的式子的个数是（）

A.1个；B.2个；C.3个;D.4个.

2、计算（-3a?）2的结果是（）

A.3a4B.-3a4C.9a4D.-9a4

3、下列计算正确的是（）

A.(—y)74-(—y)4=yJ；B.(x+y)5+(x+y)=x4+y4：

C.(a-1)6+(a-1)2=(a-1)3；D.—x5-r(—x3)=x2.

4、下列说法完整且正确的是（）

A.同底数幕相乘，指数相加；

B.幕的乘方，等于指数相乘:

c.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的寝相乘;

D.单项式乘以单项式，等于系数相乘，同底数塞相乘

5、下列计算正确的是()

A.(2x-5)(3x-7)=6X2-29X+35

B.(3x+7)(IOx-8)=30X2+36X+56

C.(—3x+—)(--x)=3x2+—x+-

2326

D.(I—x)(x+1)+(x+2)(x—2)=2x2—3

三、计算题

(1)x2,x3+(x3)2(2)[-(x3y2n)3]2

⑶(町)4+(冷，)2(4)(-ab21-i-(-ah2)2；

(5)-5a(a+3)-a(3a-13)(6)—2a2(—ab+b2)-5ab(a2—1)

2

(7)(x—2y)(x+3y)(8)(x—I)(x2—x+J)

B类作业：

一、选择题

1、若2,川二16,则x等于()

A.7；B.4；C.3；D.2.

2、计算(-0.25)2010X4?⑴。的结果是()

A.-1B.1C.0.25D.44020

3、下列各式计算结果不正确的是()

A.ab(ab)2=a3b3；B.a3b2-r2ab=-a2b；

2

C.(2ab2)3=8a3b6；D.a34-a5*a3=a2.

4、i|算：(xD"-36xn-()

A.36xnB.36xn3C.36xn2*nD.36x2，B

5、若x(3x—4)+2x(x+7)=5x(x—7)+90,则x等于()

11

A.-2B.2C.--D.一

22

二、解答题

1、计算

(1)in3•nr'm74-m2•m6(2)4-子面了；

2ii

(3)(-Q)7+(-Q)4X(-〃)3；(4)(-)lWx(1-)*00X(-\2009义423°

324

(5)(2a2-1)(a-4)一(a2+3)(2a-5)

2、(一题多变)已知am=5,an=3,求a?"1，3n的值.

(1)一变：已知am=5,a2m*n=75,求a\

(2)二变：已知am=5,bm=2,求(a2b3)m.

3.已知32m=5,3"=10,求(1)9叱〃；(2)922”.

C类作业：

一、填空题

I、若a2n=3,则(2a3n)2=___.

2、计算：X9-rX5•X5=,/+(/+工3)=.

二、选择题

1、若3、=5,3、=4,则32=等于()

?5

A.—；B.6；C.21；D.2().

4

2、对于非零实数〃7,下列式子运算正确的是()

A.